Giáo án Toán 7 - Chuyên đề: Toán lũy thừa

Nội dung tài liệu: Giáo án Toán 7 - Chuyên đề: Toán lũy thừa

1. Lũy thừa được xem là dạng bài tập tương đối phổ biến đối với học sinh.Thế nhưng chỉ cần học sinh biết phương pháp giải thì kết quả sẽ tương đối tốt. Đây là dạng bài tập giúp học sinh có thể hình dung và tư duy. Nhờ vậy, sau này có thể học tốt và làm được những dạng bài tập khó hơn, yêu cầu khả năng tư duy và phân tích vô cùng cao. Tuy nhiên, rất nhiều bạn học sinh cho rằng đây là dạng toán khó nên lười suy nghĩ, nản chí không cần tìm hiểu sâu. Vì vậy không tập trung vào việc học, phân tích cách giải mà chỉ làm qua loa để cho xong. Việc đó dẫn đến tính trạng kết quả học tập không cao. Như vậy, có thể thấy các dạng bài tập này chính là tiền đề để cho học sinh có thể phát triển tư duy và khả năng phân tích cho những dạng bài tập phân thức khó hơn. Ngoài ra, cách tính lũy thứa không chỉ áp dụng cho riêng môn toán lớp 7 mà này còn sử dụng ở các lớp cao hơn . Vì vậy, việc học tốt và làm tốt các dạng bài tập về lũy thừa sẽ giúp cho học sinh dễ dàng chinh phục những cột mốc quan trọng hơn trong tương lai. Nhằm đẩy mạnh hoạt động chuyên môn, tạo điều kiện cho các giáo viên trao đổi phương pháp dạy học, hệ thống lại các dạng toán. Tổ Toán lên kế hoạch tổ chức chuyên đề “ Chuyên để toán lũy thừa – Toán 7”nhằm giúp các em nhận diện dạng toán, khắc phục những lỗi sai khi thực hiện dạng toán này và nâng cao khả năng tư duy toán học. 1/ Nội dung: Chuyên để toán lũy thừa – Toán 7 2/ Hình thức: Thuyết trình 3/ Đối tượng: GV tổ Toán-Tin 4/ Thời gian: 14h00’ đến 16h00 thứ 5 ngày 25 tháng 12 năm 2024 5/ Địa điểm: Trường THCS Tân Xuân 6/ Dự kiến phân công: - Nội dung: Đ/c Trần Thị Truyền - Thuyết trình: Đ/c Trần Thị Truyền - Góp ý kiến cho nội dung: Tổ Toán-Tin - Công việc cụ thể: + Soạn nội dung: Đ/c Trần Thị Truyền + Làm chương trình trình chiếu: Đ/c Trần Thị Truyền ***** NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN ĐỂ TOÁN LŨY THỪA I. NỘI DUNG CHÍNH 1. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản 2. Kiến thức mở rộng, nâng cao 3. Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải 3.1. Dạng1: Tìm số chưa biết 3.1.1. Tìm cơ số, thành phần trong cơ số của luỹ thừa 1
2. 3.1.2. Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của luỹ thừa 3.1.3. Một số trường hợp khác 3.2. Dạng 2. Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ thừa 3.2.1. Tìm một chữ số tận cùng 3.2.2. Tìm hai chữ số tận cùng 3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên 3.3. Dạng 3. So sánh hai luỹ thừa 3.4. Dạng 4. Tính toán trên các luỹ thừa 3.5. Dạng 5. Toán đố với luỹ thừa II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản Muốn học tốt kiến thức toán lũy thừa, các em học sinh cần phải hiểu, nhớ các công thức lũy thừa cơ bản, rồi từ đó vận dụng để giải quyết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. a) Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên: n * a = a.a.........a (n N ) n thừa số b) Một số tính chất: Với a, b, m, n N ▪a m. an = am+n, ▪a m : an = am-n (a ≠ 0, m > n) ▪ (a.b)m = am. bm (m ≠ 0) ▪ (am)n = am.n (m,n ≠ 0) ▪a m. an . ap = am+n+p (p N) Quy ước: ▪a 1 = a ▪a 0 = 1 (a ≠ 0) Với : x, y Q; m, n N; a, b Z n * •x = x.x.........x (x N ) n thừa số n a a n • (b ≠ 0, n ≠ 0) b b n •x o = 1 •x m . xn = xm+n 2
3. xm • xm n (x ≠ 0) xn •x -n = 1 (x ≠ 0) x n • (xm)n = xm.n • (x.y)m = xm. ym n n x x • n (y ≠ 0) y y 2. Kiến thức mở rộng, nâng cao Đây là các kiến thức không được giới thiệu trong sách giáo khoa toán 7 nhưng khi giải các bài tập nâng cao thì cần phải có những kiến thức này. Với mọi x, y, z Q: • x x + z < y + z • Với z > 0 thì: x x . z < y . z • z x . z > y . z Với x Q, n N: • (-x)2n = x2n; (-x)2n+1 = - x2n+1 Với a, b Q: • a > b > 0 => an > bn • a > b a2n +1 > b2n + 1 • a > 1, m > n > 0 => am > an • 0 n > 0 => am < an 3. Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải 3.1. Dạng 1: Tìm số chưa biết 3.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa Phương pháp chung: Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ. Bài 1. Tìm x biết rằng: a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = 8 c) (x – 2)2 = 16 d) (2x – 3)2 = 9 Phương pháp giải Đối với những bài toán dạng này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm được, lưu ý đối câu a) và câu b), biểu thức có số mũ lẻ thì ta áp dụng công thức tổng quát: A2n + 1 = B2n + 1  A = B 3
4. a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = 8  x3 = (-3)3  (2x – 1)3 = 23  x = -3  2x – 1 = 2 Vậy x = - 3  2x = 2 + 1  2x = 3 3  x = 2 3 Vậy x = 2 Còn đối với câu c) và câu d) thì biểu thức có số mũ chẵn nên ta áp dụng công thức tổng quát: A2n = B2n  A = B hoặc A = -B c) (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 2x 3 3 x 3 . Vậy x = 3 hoặc x = 0. 2x 3 3 x 0 d) (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 x 2 4 x 2 . Vậy x = -2 hoặc x = 6 x 2 4 x 6 Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết: x2 = x5 Phương pháp giải Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa đã cùng cơ số chưa biết, số mũ đã biết lại khác nhau. Vậy phải làm cách nào đây? Nhiều học sinh sẽ “tìm mò” được x = 0 hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không thuyết phục lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mãn đề bài thì sao ? Giáo viên có thể gợi ý: x 2 0 x 0 x 0 x2 = x5  x5 – x2 = 0  x2.(x3 - 1) = 0 => => => 3 3 x 1 0 x 1 x 1 Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau: Bài 3. Tìm số hữu tỉ y biết: (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*) Phương pháp giải Hướng dẫn: Đặt 3y – 1 = x. Khi đó (*) trở thành: x10 = x20 4
5. x 0 x10 0 x 0 Giải tương tự bài 2 ở trên ta được: => => x 1 10 10 x 1 0 x 1 x 1 Rất có thể học sinh dừng lại ở đây, vì đã tìm được x. Nhưng đề bài yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y. • Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0  3y = 1  y = 1 3 • Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1  3y = 2  y = 2 3 • Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1  3y = 0  y = 0 Vậy y = 1 ; 2 ; 0 3 3 Bài 3. Tìm x biết: (x - 5)2 = (1 – 3x)2 Phương pháp giải Bài này ngược với bài trên, hai lũy thừa đã có số mũ đã biết giống nhau nhưng cơ số chưa biết lại khác nhau. Lúc này ta cần sử dụng tính chất: bình phương của hai lũy thừa bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau. 3 x 5 1 3x x 2 2 Ta có: (x - 5) = (1 – 3x) 2 x 5 3x 1 x 2 Bài 4. Tìm x và y biết: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 0 (*) Phương pháp giải Với bài toán này, cơ số và số mũ của hai lũy thừa không giống nhau, lại phải tìm hai số x và y bên cạnh đó là dấu “ ”, thật là khó! Lúc này chỉ cần gợi ý nhỏ của giáo viên là các em có thể giải quyết được vấn đề: hãy so sánh (3x - 5)100 và (2y +1)200 với 0. Ta thấy: (3x - 5)100 0, x Q (2y +1)200 0, x Q => Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0, không thể nhỏ hơn 0. Vậy: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0 => 3x – 5 = 2y + 1 = 0  x = 5 và y = 1 3 2 Bài 5. Tìm các số nguyên x và y sao cho: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 3 Phương pháp giải Theo bài 3, học sinh sẽ nhận ra ngay: (x + 2)2 0,  x Z (1) 5
6. 2(y – 3)2 0,  x Z (2) Nhưng nảy sinh vấn đề ở “ < 3 ”, học sinh không biết làm thế nào. Giáo viên có thể gợi ý: Từ (1) và (2) suy ra, để: (x + 2) 2 + 2(y – 3)2 < 3 thì chỉ có thể xảy ra những trường hợp sau: x 2 •Trường hợp 1: (x + 2) 2 = 0 và (y – 3)2 = 0 y 3 x 2 •Trường hợp 2: (x + 2) 2 = 0 và (y – 3)2 = 1 y 4 y 2 x 1 2 2 •Trường hợp 3: (x + 2) = 1 và (y – 3) = 0 x 3 y 3 x 1 x 3 •Trường hợp 4: (x + 2) 2 = 1 và (y – 3)2 = 1 y 4 y 2 Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đề bài là : x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 y 3 4 2 3 3 4 2 Thật là một bài toán phức tạp! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp, bỏ sót những cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài. Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tương tự sau: 1) Tìm x biết: a) (2x – 1)4 = 81 b) (x– 2)2 = 1 c) (x – 1)5 = – 32 d) (4x – 3)3 = -125 2) Tìm y biết : a) y200 = y b) y2008 = y2010 c) (2y – 1)50 = 2y – 1 d) ( y – 5 )2000 = ( y – 5 )2008 3 3 3) Tìm a, b, c biết : a) (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c – 6)2 0 b) (a – 7)2 + (3b + 2)2 + (4c – 5)6 0 c) (12a – 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 0 d) (7b – 3)4 + (21a – 6)4 + (18c +5)6 0 6
7. 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa. Phương pháp chung: đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số Bài 1. Tìm n N, biết: a) 2008n = 1 c) 32-n. 16n = 1024 b) 5n + 5n+2 = 650 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Phương pháp giải Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a. a) 2008n = 1  2008n = 20080  n = 0 Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ. Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên: b) 5n + 5n+2 = 650  5n + 5n.52 = 650  5n.(1 + 25) = 650  5n = 650 : 26  5n = 25 = 52  n = 2 Theo hướng làm câu b) học sinh biết ngay cách làm câu c) và d). c) 32-n. 16n = 1024  (25)-n. (24)n = 1024  2-5n. 24n = 210  2-n = 210  n = -10 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162  3n-1 + 5 . 3n-1 = 162  6 . 3n - 1 = 162  3n-1 = 27 = 33  n – 1 = 3  n = 4 Bài 2. Tìm hai số tự nhiên m, n biết: 2m + 2n = 2m+n Phương pháp giải Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này, không biết phải làm như thế nào để tìm được hai số mũ m và n. Giáo viên gợi ý : 2m + 2n = 2m+n  2m+n – 2m – 2n = 0  2m.2n - 2m - 2n + 1 = 1  2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1  (2m - 1)(2n - 1) = 1 (*) 7
8. Vì 2m 1, 2n 1,  m, n N 2m 1 1 2m 2 m 1 Nên từ (*) => => => . Vậy: m = n = 1 n n 2 1 1 2 2 n 1 Bài 3. Tìm các số tự nhiên n sao cho: a) 3 < 3n 234 b) 8.16 2n 4 Phương pháp giải Đây là dạng toán tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số. a) 3 n 2;3;4;5 b) 8.16 2n 4  23.24 2n 22  27 2n 22 => n 2;3;4;5;6;7 Bài 4. Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216 Phương pháp giải Với bài này, giáo viên gợi ý học sinh quan sát, nhận xét về số mũ của các lũy thừa trong một tích thì học sinh sẽ nghĩ ngay ra hướng giải bài toán: 415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216  (4. 9)15 < (2.3)n < (18.2)16  3615 < 6n < 3616  6 30 n = 31 Bây giờ, học sinh không những biết làm các bài toán tương tự mà còn có thể tự ra các bài toán dạng tương tự. 1) Tìm các số nguyên n sao cho: a) 9 . 27n = 35 b) (23 : 4) . 2n = 4 c) 3-2. 34. 3n = 37 d) 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: a) 125.5 5n 5.25 b) (n54)2 = n c) 243 3n 9.27 d) 2n+3. 2n =144 3) Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng: a) 2x+1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y 4) Tìm số tự nhiên n biết rằng : a) 411 . 2511 2n. 5n 2012.512 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b) . 2n 35 35 35 25 25 Phương pháp giải 3) a) 2x+1 . 3y = 12x 2x+1 . 3y = 22x.3x 3 y 22x  3x 2 x 1 8
9. 3y-x = 2x-1  y - x = x - 1 = 0  y = x = 1 b) 10x : 5y = 20y 10x = 20y . 5y 10x = 100y 10x = 102y  x = 2y 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 4) b) . 2n 35 35 35 25 25 4.45 6.65  . 2n 3.35 2.25 46 66  . 2n 36 26  46 = 2n  212 = 2n  n = 12 3.1.3. Một số trường hợp khác Bài 1. Tìm x biết: (x - 1) x+2 = (x - 1) x+4 (1) Phương pháp giải Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài toán rất phức tạp, vì số cần tìm có mặt cả trong số mũ và cơ số. Vì thế, học sinh rất khó xác định cách giải. Nhưng chúng ta có thể đưa về bài toán quen thuộc bằng một phép biến đổi sau: Đặt x - 1 = y ta có: x + 2 = y + 3  x + 4 = y + 5 Khi đó (1) trở thành: yy+3 = yy+5  y y+5 - yy+3 = 0  y y+3(y2 – 1) = 0 yy 3 0  2 y 1 0 * Nếu: yy+3 = 0 => y = 0 Khi đó: x – 1 = 0  x = 1. 2 2 2 y 1 * Nếu: y – 1 = 0  y = (±1) y 1 Với y = 1 ta có: x – 1 = 1  x = 2 Với y = -1 ta có: x – 1 = -1  x = 0 Vậy: x 0;1;2 Bài 2. Tìm x biết: x(6 - x)2003 = (6 - x)2003 9
10. Phương pháp giải Với bài này, x xuất hiện cả trong cơ số và cả ở ngoài (không phải ở trong số mũ như bài trên). Học sinh sẽ lúng túng và gặp khó khăn khi tìm lời giải, khi đó giáo viên hướng dẫn. x. (6 - x)2003 = (6 - x)2003  x. (6 - x)2003 - (6 - x)2003 = 0  (6 - x)2003 (x - 1) = 0 6 x 2003 0  x 1 0 Nếu (6 - x)2003 = 0  (6 - x) = 0  x = 6 Nếu (x - 1) = 0  x = 1 Vậy: x 1;6 Bài 3. Tìm các số tự nhiên a, b biết: a) 2a + 124 = 5b b) 10a + 168 = b2 Phương pháp giải Với bài toán này, nếu học sinh sử dụng các cách làm ở trên sẽ đi vào con đường bế tắc không có lời giải. Vậy phải làm bằng cách nào và làm như thế nào ? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt của lũy thừa và tính chất chia hết của một tổng để giải bài toán này: a) 2a + 124 = 5b (1) Xét a = 0, khi đó (1) trở thành: 20 + 124 = 5b  5b = 125  5b = 53 Do đó a = 0 và b = 3 Xét a 1. Ta thấy vế trái của (1) luôn là số chẵn và vế phải của (1) luôn là số lẻ với mọi a 1, a, b N, điều này vô lí. Kết luận: Vậy a = 0 và b = 3. b) 10a + 168 = b2 (2) Tương tự câu a. Xét a = 0: khi đó (2) trở thành: 100 + 168 = b2 169 = b2 2 2  (±13) = b => b = 13 (vì b N) Do đó a = 0 và b = 13. Xét a 1: 10
11. Chúng ta đều biết với mọi số tự nhiên a 1 thì 10a có chữ số tận cùng là 0 nên suy ra 10a + 168 có chữ số tận cùng là 8, theo (2) thì b2 có chữ số tận cùng là 8. Điều này vô lý. Vậy: a = 0 và b = 13. Giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau: Tìm các số tự nhiên a, b để: a) 3a + 9b = 183 b) 5a + 323 = b2 c) 2a + 342 = 7b d) 2a + 80 = 3b 3.2. Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa 3.2.1 Tìm một chữ số tận cùng Phương pháp chung: cần nhớ một số nhận xét sau: • Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó. • Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một trong các chữ số đó. • Lưu ý: những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4, những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9. • Chú ý: 24 = 16; 74 = 2401; 34 = 81; 84 = 4096 CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài 1. Tìm chữ số tận cùng của các số: 20002008; 11112008; 987654321; 204681012 Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án: • 20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0 • 11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1 • 987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5 • 204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6. Bài 2. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 20072008; 1358 2008; 23456; 5235; 204208; 20032005; 9 7 99 ; 4 56 ; 996; 81975; 20072007; 10231024. Phương pháp giải Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6. 11
12. • 20072008 = (20074)502 = (......1)502 = ......1 nên 20072008 chữ số tận cùng là 1. • 135725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = ......1. 1357 = ......7 =>13 5725 có chữ số tận cùng là 7. • 20072007 = 20072004. 20073 = (20074)501. ......3 = (......1)501. ......3 = ......1. ......3 => 20072007 có chữ số tận cùng là 3. •2 3456 = (24)864 = 16864 = ......6 => 23456 có chữ số tận cùng là 6 . • 5235 = 5232. 523 = (524)8. ......8 = (......6 )8 . ......8 = ......6 . ......8 = ......8 => 5235 có chữ số tận cùng là 8. • 10231024 = (10234)256 = (......1)256 = ......1 =>10231024 có chữ số tận cùng là 1. • 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( ......1)501. 2003 = ......1 . 2003 => 20032005 có chữ số tận cùng là 3. • 204208 = (2042)104 = (......6 )104 = ......6 => 204208 có chữ số tận cùng là 6. 7 67 Ta thấy 56 là một số lẻ nên 45 có chữ số tận cùng là 4. • 1358 2008 = (13584)502 = (......6 )502 = ......6 => 1358 2008 có chữ số tận cùng là 6. •8 1975 = 81972. 83 = (84)493. ......2 = ......6 . ......2 => 81975 có chữ số tận cùng là 2. •9 96 = (94)24 =(......1)24 = ......1 => 996 có chữ số tận cùng là 1. 9 Ta thấy 99 là một số lẻ nên 99 có chữ số tận cùng là 9. Bài 3. Cho A = 172008 – 112008 – 32008. Tìm chữ số hàng đơn vị của A. Phương pháp giải Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng, ta phải tìm chữ số tận cùng của tong số hạng, rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại. Tìm chữ số tận cùng của 172008; 112008; 32008 ta có: A = 172008 – 112008 – 32008 = ......1 - ......1 - ......1= ......0 - ......1 = ......9 Vậy A có chữ số tận cùng là 9. Bài 4 : Cho M = 1725 + 244 – 1321. Chứng tỏ rằng: M  10 Phương pháp giải Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M  10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0. 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = (......1)6.17 = ......1.17 = ......7 244 = (242)2 = 5762 =.....6 1321 = (134)5.13 = (......1)5.13 = ......1 . 13 = ......3 Vậy M = ......7 + .....6 - ......3 = ......0 => M  10 Đến đây, sau khi làm bài 2) bài 3) giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tổng quát sau: 12
13. Bài 5. Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng: 4n a) A = 2 – 5 (n N, n ≥ 1) 4n + 2 b) B = 2 + 1 (n N) 4n c) C = 7 – 1 (n N) Hướng dẫn: a) Ta có: 24n = (24)n = 16n có chữ số tận cùng bằng 6. => 24n – 5 có chữ số tận cùng bằng 1. 4n + 2 b) B = 2 + 1 (n N) Ta có 24n + 2 = 22 . 24n = 4. 16n có chữ số tận cùng là 4. => B = 24n + 2 + 1 có chữ số tận cùng là 5. c) C = 74n – 1 Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận cùng là 1. Vậy 74n – 1 có chữ số tận cùng bằng 0. Bài 6. Chứng tỏ rằng, các số có dạng: 2n a) A = 2 1chia hết cho 5 (n N, n ≥ 2) 4n b) B = 2 4 chia hết cho 10 (n N, n ≥ 1) 2n c) H = 9 3 chia hết cho 2 (n N, n ≥ 1) Phương pháp giải Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho cả 2 và 5. Đọc đầu bài, học sinh sẽ định hướng được phải tìm chữ số tận cùng như bài 5, n n n nhưng khi bắt tay vào làm thì gặp khó khăn lớn với các lũy thừa 22 , 24 , 92 học sinh n n không biết phải tính như thế nào, rất có thể học sinh sẽ nhầm: 22 22n ; 24 24n ; n 92 92n Khi đó giáo viên hướng dẫn như sau: a) Với n N, n ≥ 2, ta có : n 2 n 2 2n 2 n 2 22 = 22 .2 24 162 có chữ số tận cùng là 6. n => A = 22 1 có chữ số tận cùng là 5. Vậy A  5 b) Với n N, n ≥ 1, ta có : n n 1 4n 1 n 1 24 = 24 .4 24 164 có chữ số tận cùng là 6. n => B =24 4 có chữ số tận cùng là 0. Vậy B  10 c) Với n N, n ≥ 1, ta có : n n 1 2n 1 n 1 92 = 92 .2 92 812 có chữ số tận cùng là 1 n => H = 92 3 có tận cùng là 4. Vậy H  2 Bài tập luyện tập : 13
14. 1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 22222003; 20082004; 20052005; 20062006 ; 9992003; 20042004; 77772005; 1112006; 20002000; 20032005. 2) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n a) 34n + 1 + 2 chia hết cho 5 b) 24n + 1 + 3 chia hết cho 5 c) 92n + 1 + 1 chia hết cho 10 3) Chứng tỏ rằng các số có dạng: 2n a) 2 + 1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n N, n ≥ 2) 4n b) 2 1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n N, n ≥ 1) 2n c) 3 + 4 chia hết cho 5 (n N, n ≥ 2) 4n d) 3 - 1 chia hết cho 10 (n N, n ≥ 1) 4) Tìm chữ số hàng đơn vị của: a) A = 66661111 + 11111111 - 665555 b) B = 10n + 555n + 666n 2n 2n+1 n * c) H = 9999 + 999 + 10 (n N ) 4n 4n 4n * d) E = 2008 + 2009 + 2007 (n N ) 5) Trong các số sau số nào chia hết cho 2, cho 5, cho 10? 4n+1 a) 3 + 1 (n N) 4n+1 b) 2 - 2 (n N) 2n c) 2 + 4 (n N, n ≥ 2) 4n d) 9 - 6 (n N, n ≥ 1) 6) Tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên a để a2 + 1  5 7) Tìm số tự nhiên n để n10 + 1  10 8) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n thì: a) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n  10 (n > 1) b) 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2  6 Phương pháp giải 6) a2 + 1  5 => a2 + 1 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. => a2 phải có chữ số tận cùng là 9 hoặc 4. => a phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7 hoặc 2 hoặc 8. 7) n10 + 1  10 => n10 + 1 phải có chữ số tận cùng là 0. => n10 = (n2)5 phải có chữ số tận cùng là 9. => n2 phải có chữ số tận cùng là 9. => n phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7. 14
15. 8) a) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = 3n. (32 + 1) – 2n-1.( 23 + 2) = 3n. 10 – 2n-1. 10 = 10 . (3n – 2n-1)  10,  n N b) 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 = 3n. (33 + 3) + 2n+1.( 22 + 2) = 3n. 30 + 2n+1. 6 = 6. (5.3n + 2n+1)  6, n N 3.2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa. Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý những số đặc biệt sau: • Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng chính nó. • Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76. • Các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76. • Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01. n • Số 26 (n N, n >1). Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của: 2100 ; 3100 Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này : 2100 = (220)5 = (......76 )5 =......76 3100 = (320)5= (......01)5 = ......01 Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101.16101 Phương pháp giải Đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76. a) 5151 = (512)25.51 = (......01)25.51 = ......01.51 = ......51 => 5151 có 2 chữ số tận cùng là 51. Tương tự: b) 9999 = (992)49.99 = (......01)49.99 = ......01.99 = ......99 c) 6666 = (65)133.6 = (......76 )133.6 = ......76 .6 = ......56 d) 14101.16101 = (14.16)101 = 224101 = (2242)50.224 = (......76 )50.224 = ......76 .224 = ......24 Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát: Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của: 2k 2k+1 * a) 51 ; 51 (k N ) 2n 2n+1 9999 * b) 99 ; 99 ; 99 (n N ) 15
16. 5n 5n+1 6666 * c) 6 ; 6 ; 6 (n N ) Phương pháp giải a) 512k = (512)k = (......01)k => 512k+1 = 51. (512)k = 51.(......01)k b) 992n = (992)n = (......01)n => 992n+1 = 99. (992)n = 99.(......01)n 9999 99 9999 2n+1 => 99 , ta có 99 là một số lẻ => 99 có dạng 99 (Với n N, n > 1) 9999 2 n n => 99 = 99.(99 ) = 99 . (......01) (Với n N, n > 1) c) 65n = ( 65)n = (......76 )n => 65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. (......76 )n 6666 66 6666 5n+1 Xét 6 , ta có 66 là một số có tận cùng là 6, => 6 có dạng 6 (n N, n > 1) 66 => 666 = 6.(......76 )n Bài tập luyện tập: 1) Tìm hai chữ số tận cùng của: 9 a) 72003 b) 99 c) 742003 d) 182004 e) 682005 f) 742004 2) Tìm hai chữ số tận cùng của: 2n 2n+1 a) 49 ; 49 (n N) 4n 8n b) 2 . 3 (n N) 3n n 3n+3 n+1 c) 2 . 3 ; 2 . 3 (n N) 2n 2n+1 d) 74 ; 74 (n N) 3) Chứng tỏ rằng: 2n a) A = 26 - 26  5 và  10 (n N, n > 1) 2n+1 b) B = 24 + 76  100 (Với n N) c) M = 512000.742000.992000 có 2 chữ số tận cùng là 76. 3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên. Phương pháp: Chú ý một số điểm sau: • Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng chính số đó. • Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625. Bài 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000. Học sinh có thể làm phần này không mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ các phần trước. 16
17. 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 Vậy: 52000 có ba chữ số tận cùng là 625 có bốn chữ số tận cùng là 0625. Bài 2. Tìm ba chữ số tận cùng của: 3n n * a) 2 . 47 (n N ) 3n+3 n+2 b) 2 . 47 (n N) Phương pháp giải Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất khó. Đối với học sinh khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên. a) 23n . 47n = (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n 376n có tận cùng là 376 => 23n . 47n có tận cùng là 376. b) 23n+3. 47n+2. Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng túng ở số mũ. Giáo viên có thể hướng dẫn: 23n+3 . 47n+2 = 23(n+1) . 47n+1 . 47 = (23)(n+1) . 47n+1 . 47 = (8.47)n+1 . 47 = 47. 376n+1 Ta có: 376n+1 có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376n+1 có chữ số tận cùng là 672. Bài 3. Chứng tỏ rằng: 4n a) 5 + 375  1000 (n N, n ≥ 1) 2n b) 5 - 25  100 (n N, n ≥ 2) c) 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng bằng 002. Phương pháp giải Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ không gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan và kĩ năng biến đổi. 4n 4.4n 1 4n 1 a) Ta có: 5 = 5 = 625 tận cùng là 625 ( n N, n ≥ 1) n n => 54 + 375 có tận cùng 000. Vậy: 54 + 375  1000 n 2 n 2 n 2 n 2 2 2 .2 4 2 2 b) Ta có 5 = 5 = 5 = 625 (n N, n ≥ 2) n n Vậy 52 - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00. Do đó : 52 - 25  100 c) 2001n + 23n . 47n + 252n 17
18. Ta thấy: 2001n có tận cùng là 001. 23n . 47n = (8 . 47 )n = 376n có tận cùng là 376 252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625 Vậy: 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng là 002. 3.3 Dạng 3: So sánh hai lũy thừa Phương pháp chung: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh). Lưu ý một số tính chất sau: • Với a, b, m, n N, ta có: a > b  an > bn,  n N* m > n  am > an, (a > 1) a = 0 hoặc a = 1 thì am = an (m.n 0) • Với A, B là các biểu thức ta có: An > Bn  A > B > 0 Am > An  m > n và A > 1, hay m < n và 0 < A < 1 Bài 1. So sánh a) 33317 và 33323 b) 200710 và 200810 c) (2008 - 2007)2009 và (1998 - 1997)1999 Phương pháp giải Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ. a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323 b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810 c) Ta có: (2008 - 2007)2009 = 12009 = 1 và (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1 Vậy (2008 - 2007)2009 = (1998 - 1997)1999 Bài 2. So sánh a) 2300 và 3200 e) 9920 và 999910 b) 3500 và 7300 f) 111979 và 371320 c) 85 và 3.47 g) 1010 và 48.505 d) 202303 và 303202 h) 199010 + 1990 9 và 199110 18
19. Phương pháp giải Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa để đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ. Hướng dẫn: a) Ta có: 2300 = (23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100 Vì 8100 < 9100 nên 2300 < 3200 b) Tương tự câu a, ta có: 3500 = (35)100 = 243100 7300 = (73)100 = 343100 Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300 c) Ta có: 85 = 215 = 2.214 85 < 3.47 d) Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 e) Ta thấy: 992 (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 f) Ta có: 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1) 371320 = 372)660 = 1369660 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 111979 < 371320 g) Ta có: 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510 (*) 48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510 (**) Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505 h) Có: 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909 199110 = 1991. 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110 Bài 3. Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 Phương pháp giải Với bài này, học sinh lớp 7 sẽ không định hướng được cách làm, giáo viên có thể gợi ý: hãy chứng tỏ 263 > 527 và 263 < 528 Ta có: 263 = (27)9 = 1289 và 527 = (53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) Lại có: 263 = (29)7 = 5127 và 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2) Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52 19
20. Bài 4. So sánh: a) 10750 và 7375 b) 291 và 535 Phương pháp giải Nếu ở bài trước có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ sử dụng một lũy thừa trung gian thì bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó tìm ra lời giải cho bài toán. Với bài này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian: a) Ta thấy: 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 (1) 7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 (2) Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375. Vậy 10750 < 7375. b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 và 535 291 > 3218 > 2518 > 535. Vậy 291 > 535. Bài 5. So sánh a) (-32)9 và (-16)13 b) (-5)30 và (-3)50 c) (-32)9 và (-18)13 d) ( 1 )100 và ( 1 )500 16 2 Phương pháp giải Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên. a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52 Vì 245 - 252. Vậy (-32)9 > (-16)13. b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10. Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50. c) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 Mà 245 - 245 > -1813 = (-18)13. Vậy (-32)9 > (-18)13. 1100 ( 1)500 d) Ta có: ( 1 )100 = = 1 = 1 và ( 1 )500 = = 1 16 16100 16100 2400 2 2500 2500 Vì 2400 1 2400 2500 1 1 Vậy ( )100 > ( )500. 16 2 20082008 1 20082007 1 Bài 6. So sánh A và B biết: A = ; B = 20082009 1 20082008 1 Phương pháp giải 20