Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp Huyện môn Toán - Năm học 2018-2019 - PGD An Phú (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp Huyện môn Toán - Năm học 2018-2019 - PGD An Phú (Có đáp án)

1. PHÒNG GD ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN AN PHÚ Năm học 2018-2019 Khóa ngày 19-01-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Số báo danh: ............................... (Không kể thời gian phát đề) Phòng:......................................... Câu 1: (4,0 điểm) Chứng minh rằng 3 + 5 + 3 − 5 = 10. Câu 2: (4,0 điểm) Tìm các số ; ; ; ; 푒; ; tại bảy đỉnh ở hình vẽ bên sao cho tổng các số ghi ở hai đỉnh liền kề là số được ghi trên mỗi cạnh tương ứng. Câu 3: (4,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho ba điểm ; 0 ; 0; 푛 với > 0; 푛 > 0 và (3; 2). a. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm . b. Tìm hệ thức liên hệ giữa , 푛 sao cho ba điểm ; ; thẳng hàng. c. Tìm ; 푛 sao cho diện tích tam giác có diện tích nhỏ nhất. Câu 4: (4,0 điểm) 5 Cho hai số > > 0 thỏa 2 + 2 = . Hãy tính 2 + − Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình thoi có = 20; = 600. là một điểm nằm trên cạnh ; gọi 푃; 푄 lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và . a. Tính diện tích hình thoi . b. Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn 푃푄. -------- Hết ---------- Chú ý: Đề thi có 01 trang, thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài, giám thị coi thi không giải thích gì thêm./.
2. PHÒNG GD ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN AN PHÚ Khóa ngày 19/01/2019 MÔN: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM I- YÊU CẦU - Tổ chấm trong quá trình thảo luận đáp án có thể phân điểm chi tiết trong từng câu đến 0,25 đ. - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. II- NỘI DUNG CHI TIẾT Câu Nội dung gợi ý Điểm Câu 1 1 4,0 đ 3 + 5 + 3 − 5 = . 6 + 2 5 + 6 − 2 5 4,0 đ 2 2 = . 5 + 2 5 + 1 + 5 − 2 5 + 1 2 2 2 2 = 5 + 1 + 5 − 1 2 2 = 5 + 1 + 5 − 1 2 = 10 Vậy 3 + 5 + 3 − 5 = 10 Câu 2 Theo đề bài ta có hệ 4,0 đ + = 2 + = −8 + = 13 + 푒 = 7 푒 + = −5 + = −9 + = −4 Cộng trừ hai vế của các phương trình ta được + − + + + − + 푒 + 푒 + − + + + = 2 + 8 + 13 − 7 − 5 + 9 − 4 ⟺ 2 = 16 ⟹ = 8 Khi đó = −6; = −2; = 15; 푒 = −8; = 3; = −12 Các số cần tìm là (8; −6; −2; 15; −8; 3; −12). Câu 3a ; 0 ; 0; 푛 với > 0; 푛 > 0 và (3; 2). 2,0 đ Phương trình đường thẳng có dạng = + . đường thẳng qua ; 0 ⟹ 0 = . + đường thẳng qua 0; 푛 ⟹ 푛 = . 0 + 푛 ⟹ = 푛; = − = − 푛 Vậy phương trình đường thẳng : = − + 푛 ⟺ = − + 1 ⟺ + = 1. 푛 푛
3. Câu ; ; thẳng hàng khi đường thẳng qua (3; 2) 1,0 3 2 3b ⟹ + = 1 ⟺ 3푛 + 2 = 푛 điểm 푛 Vế trái là số dương nên > 3; 푛 > 2 1 Câu 3c Diện tích tam giác là 푆 = . 푛 1,0 2 3 2 3 2 6 điểm Mặt khác 1 = + ≥ 2 . = 2 ⟺ 푛 ≥ 2 6 ⟺ 푛 ≥ 24. 푛 푛 푛 1 Vậy 푆 = 푛 ≥ 12 dấu bằng xảy ra khi 2 3 2 3 2 = ; + = 1 ⟹ = 6; 푛 = 4 푛 푛 diện tích nhỏ nhất của tam giác bằng 12 khi = 6; 푛 = 4. 5 + Câu 4 Cho hai số > > 0 thỏa 2 + 2 = . Hãy tính 4,0 đ 2 − 5 + 2 2 + 2 + 2 + 2 9 = = 2 = 2 2 5 − + − 2 − 2 1 2 + 2 + Do > > 0 nên = 9 ⟹ = 3 − − Câu 5 Tam giác đều có đường cao B 2,0 đ 1 4,0 đ = = 10 2 O Q Độ dài cạnh của tam giác là A C 2 20 20 3 = = = = P 3 3 3 N Vậy diện tích hình thoi là D 1 1 20.20 3 200 3 푆 = . = . = . 2 2 3 3 Dễ thấy 푃 푄 là hình chữ nhật nên = 푃푄. Do và cố định, 2,0 푃푄 ngắn nhất khi ngắn nhất, khi đó vuông góc . điểm Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được 1 1 1 1 1 4 1 = + = + = = ⟹ = 5 2 2 2 10 2 102 100 25 3 Vậy độ dài ngắn nhất của đoạn 푃푄 là 5.