Đề thi chọn Học sinh giỏi vòng Tỉnh Lớp 9 năm học 2011-2012 môn Toán - SGD&ĐT Bình Phước (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn Học sinh giỏi vòng Tỉnh Lớp 9 năm học 2011-2012 môn Toán - SGD&ĐT Bình Phước (Có đáp án)

1. Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước SỞ GD & ĐT BÌNH PHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 Năm học : 2011 - 2012 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : Toán Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 28 /3 /2012 (Đề thi gồm 1 trang) Câu 1 ( 5 điểm) 1 1a 1 a 2 1. Cho biểu thức V ():() a 1 a a 2 a 1 a) Tìm điều kiện để V cĩ nghĩa. Rút gọn V. b) Tìm a để V ≥ -1 2. Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a +b +c +d = 1 a2 b 2 c 2 d 2 1 Chứng minh rằng: a b b c c d d a 2 Câu 2 : (5 điểm) 1. Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng :y 2( m 1) x 2 m 4(m là tham số. a) Khi m = 2, xác định tọa độ giao điểm của (P) và ( ). b) Chứng minh rằng: cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Xác định m để 2 2 xAB x đạt giá trị nhỏ nhất( với xA, xB lần lượt là hồnh độ A, B). y2 x 3 3 x 2 2 x 2. Giải hệ phương trình: 2 3 2 x y 3 y 2 y Câu 3 :(5 điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O), vẽ cát tuyến MCD khơng đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường trịn (O) (A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa C, D). 1. Chứng minh rằng MA2 MC. MD 2. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường trịn. 3. Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh: AB là tia phân giác của gĩc CHD Câu 4 :(2 điểm) Cho hình vuơng ABCD cĩ diện tích là S1. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Hai đường thẳng AK và CI cắt nhau tại E. Gọi S2 là diện tích của tứ giác EADC. Tính tỉ S số 2 . S1 Câu 5 : (3 điểm) 1. Tìm các cặp sơ nguyên (x, y) thỏa mãn: 3x -5y = 11 -2xy. 2. Chứng minh mọi số nguyên n thì n2 n 2 khơng chia hết cho 3 HẾT Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước
2. Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước Câu 1: 1) a) Điều kiện: x > 0, x ≠ 1 và x≠ 4 a 2 V = a a 2 2(2 a 1) 1 b) V 1 1 0 a , a 1, a 4 3 a a 4 2) Áp dụng BĐ thức Cosi cho hai số ta cĩ: a2 a b a a b 4 b2 b c c b c 4 c2 c d c c d 4 d2 d a d d a 4 Cộng vế theo vế và a +b +c +d =1 ta cĩ điều chứng minh. a2 a b a b 4 b2 b c b c 4 c2 c d 1 Dấu bằng xảy ra a b c d c d 4 4 d2 d a d a 4 a b c d 1 Câu 2: 1) b) Hồnh độ giao điểm của và (P) là nghiệm phương trình: x2 2( m 1) x 2 m 4 0 (1) = (m- 2)2 +1 > 0 với mọi m 2 2 2 2 xABABAB x ( x x ) 2 x . x (2 m 3) 3 3 y2 x 3 3 x 2 2 x (1) 2) 2 3 2 x y 3 y 2 y (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta cĩ: (x y )( x2 y 2 xy 2 x 2 y 2) 0 x y (3) 2 2 (x 1) ( y 1) xy 0 (4) Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước
3. Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước Phương trình (1) y2 x( x 2 3 x 2) nên nếu x 0 x2 - 3x + 2 > 0 x(x2 -3x +2 ) < 0 y2 x( x 2 3 x 2) khơng thỏa. Vậy x ≤ 0. Tương tự y ≤ 0 nên x.y ≥ 0 (4) vơ nghiệm Với x = y thế vào (1) ta cĩ: x (x2 - 4 x +2 ) = 0 x =0, x= 2 2 > 0 Vậy hệ cĩ 3 nghiệm: (0; 0), ( (2 2;2 2) , (2 2;2 2) Câu 3: B D I C O M H A MC MO c) Ta cĩ: MA2 MC. MD và MA2 MH. MO MC.MD = MH.MO MH MD Vậy tam giác MCH đồng dạng tam giác MOD CHM CDO CDO CHO 1800 tứ giác CHOD nội tiếp OHD OCD (cùng chắn cung OD) OCD ODC (tam giác cân tại O) ODC CHM OHD CMD BHD BHC Vậy AB là tia phân giác gĩc CHD S2 2 Câu 4: S1 3 Câu 5: a) (3+2y)(2x-5)=7 b) Xét n = 3k, n = 3k+1, n =3k+2 ( k N) Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước