28 Câu hỏi ôn tập Toán 11 - Chương 3: Quan hệ vuông góc (Mức độ 3)

Nội dung tài liệu: 28 Câu hỏi ôn tập Toán 11 - Chương 3: Quan hệ vuông góc (Mức độ 3)

1. Câu 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy bằng 2a , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a 3 . Thể tích khối chóp đều S.ABCD bằng12 a3 3 4a3 3 A. . B. 4a3 3 . C. a3 3 . D. . 3 3 Lời giải ChọnD. Ta có CD / / AB CD / / SAB . a 3 Suy ra d CD; AB d CD; SAB d C; SAB 2d O; SAB d O; SAB . 2 Gọi I là trung điểm AB SI  AB . Dựng OH  SI . Khi đó ta có: OH  AB AB  SOI a 3 OH  SAB d O; SAB OH . OH  SI 2 Tam giác SOI vuông tại O ta có: a 3 .a 1 1 1 OH.OI 2 2 2 2 SO a 3 . OH SO OI OI 2 OH 2 3a2 a2 4 1 4a3 3 Vậy V a 3.4a2 . 3 3 Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và B C (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B D bằng A D M B C A' D' B' N C' 5a a A. 5a B. C.3a D. 5 3 Lời giải
2. Chọn D Gọi K là trung điểm của C D , I A C  B D , L IC  NK NK  IL Ta có NK  IML . Mà NK  MDKN nên MDKN  IML NK  MI Kẻ IH  ML tại H MDKN  (IML) MDKN  (IML) ML Ta có IH  MDKN IH  IML IH  ML MN  MDKN Như vây, d B D , MN d B D , MDKN d I, MDKN IH B D / / MDKN a 2 a. IM.IL a Tính IH : IH 4 . 2 2 2 3 IM IL a 2 a2 4 Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và SBC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a 3 a 2 a 3 A. a . B. . C. . D. . 3 2 2 Lời giải Chọn D.
3. BC  AB Ta có BC  SAB . BC  SA Góc giữa hai mặt phẳng ABC và SBC là góc S· BA 60. Do đó SA a.tan 60 a 3. Dựng D sao cho ABCD là hình vuông. Dựng AE  SD tại E. CD  AD Ta có: CD  SAD CD  AE. CD  SA Mà AE  SD suy ra AE  SCD . Ta có d AB;SC d AB; SCD d A; SCD AE. AS.AD a 3 a 3 Mà AE . Vậy d AB;SC . SD 2 2 Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB 2a , BC a , ·ABC 120. Cạnh bên SD a 3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy . Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng SAC S D C A B 3 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 7 Lời giải Chọn C.
4. d B; SAC d D;SAC Ta có sin ·SB; SAC . SB SB Xét tam giác ABC ta có AC BA2 BC 2 2BA.BC.cos B· AC a 7 . BA2 BC 2 AC 2 4a2 a2 7a2 a 3 BO 2 4 2 4 2 BD a 3 và SB SD2 BD2 3a2 3a2 a 6 . AD AC AD.sin Dµ a.sin120 21 Xét tam giác ADC ta có sin Cµ . sin Cµ sin Dµ AC a 7 14 Gọi K là hình chiếu của D lên AC , và I là hình chiếu của D lên SK . Ta có AC  DK DI  SK AC  DI . Do đó d D; SAC DI . AC  SD DI  AC DK 21 a 21 Mặt khác sin Cµ DK DC.sin Cµ 2a. . DC 14 7 a 21 a 3. SD.DK 6 Xét tam giác SDK ta có DI 7 a . 2 2 21 4 SD DK 3a2 a2 49 6 a d D;SAC DI 1 Vậy sin ·SB; SAC 4 . SB SB a 6 4 Trong mặt phẳng SDK kẻ DI  SK suy ra d D; SAC DI .
5. Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA a 5 , mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách gữa hai đường thẳng AD và SC bằng S D A B C 2a 5 4a 5 a 15 2a 15 A. 5 .B. 5 . C. 5 .D. 5 . Lời giải Chọn B S K D A H B C Gọi H là trung điểm của cạnh AB . Do tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy nên SH  ABCD . Theo giả thiết ta có AB 2a AH a . Mà ta lại có SA a 5 nên SH SA2 AH 2 2a Ta có AD // BC AD // SBC d AD, SC d AD, SBC d A, SBC 2d H, SBC . Do mặt phẳng SBC  SAB nên từ H kẻ HK  SB thì HK d H, SBC . SH.HB 2a.a 2a 5 4a 5 Ta có HK d AD, SC 2HK . SB a 5 5 5 Câu 6. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a và AA 2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng
6. A C B A' C' B' A. 60 .B. 45.C. 90 .D. 30 . Lời giải Chọn A A C B A' C' B'               Ta có AB .BC AB BB BC CC AB.BC AB.CC BB .BC BB .CC         a2 3a2 AB.BC AB.CC BB .BC BB .CC 0 0 2a2 . 2 2 2   3a   AB .BC 1 Suy ra cos AB , BC   2 ·AB , BC 60 . AB . BC a 3.a 3 2 Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và SBC bằng 5 3 2 5 2 3 A. . B. . C. . D. . 5 2 5 3 Lời giải Chọn C Chọn hệ trục tọa độ và chuẩn hóa cho a 1 sao cho A 0;0;0 , B 0;1;0 , D 1;0;0 , S 0;0;2
7. 1 Ta có M là trung điểm SD M ;0;1 , C 1;1;0 . 2  1    1 AM ;0;1 , AC 1;1;0 , AM , AC 1;1; AMC có một vtpt n 2;2;1 2 2     SB 0;1; 2 , SC 1;1; 2 , SB, SC 0;2;1 SBC có một vtpt k 0;2;1 n.k 5 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng AMC và SBC thì cos n . n 3 1 2 5 Do tan 0 nên tan 1 . cos2 5 Câu 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Goi E là trung điểm AB . Cho biết AB 2a , BC a 13 ,CC ' 4a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng A' B và CE bằng 4a 12a 6a 3a A. B. C. D. 7 7 7 7 Lời giải Chọn C B C I E A H F B' C' A' Gọi F là trung điểm AA 'thì EF '/ / BA' BA'/ / EFC d BA'; EFC d B, EFC d A, EFC Dựng AI  EC, AH  FI khi đó AH  EFC d A, EFC AH 1 1 1 10 3a Do ABC vuông tại A nên AC 3a , AI AI 2 AE2 AC 2 9a2 10 1 1 1 49 6a AIF vuông tại A , có đường cao AH nên AH AH 2 AI 2 AF 2 36a2 7 6a d BA'; EFC . Đáp án C 7 Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB 2a , AD a , SA 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh CD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BM bằng 3 3a 2 3a 3a 3a A. .B. .C. . D. . 4 3 3 2 Lời giải
8. Đặt hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với A  O 0;0;0 , B 2a;0;0 , C 2a;a;0 , D 0;a;o , S 0;0;3a . M là trung điểm CD M a;a;0 .   BM a;a;0 u1 1;1;0     u , u 3; 3; 3 1 2 Ta có SC 2a;a; 3a u2 2;1; 3  .   BC 0;a;0 BC 0;a;0 BC 0;a;0    u ,u BC 1 2 3a Suy ra d SC, BM    u ,u 3 1 2 3a Vậy d SC, BM  3 a 1 3 a 3 G là trọng tâm OAB nên ta có . b b 6 2 3 Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , M là trung điểm BC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của AM . Cho biết AB a , AC a 3 và mặt phẳng SAB tạo với mặt phẳng ABC một góc 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC . 3a a 3 3a 3a A. . B. . C. . D. . 8 2 2 4 Lời giải
9. Gọi I là trung điểm AM , P là trung điểm AB , N là trung điểm AP . Ta có SI  ABC , IN  AB . SAB  ABC AB · Ta có SAB , ABC S· NI 60. IN  AB SN  AB 1 1 a 3 Ta có IN MP AC . 2 4 4 SI 3a Xét tam giác SIN , có tan S· NI SI NI tan S· NI . NI 4 Gọi D là điểm sao cho ADBC là hình bình hành. Ta có AD // BC SAD // BC d SA, BC d M , SAD (vì M BC ). d M , SAD AM Ta có MI  SAD A 2 d M , SAD 2d I , SAD . d I , SAD AI AD  IE  SIE IE  AD E AD Vẽ .Ta có AD  SI  SIE AD  SIE AD  IH . IH  SE H SE SI  IE E IH  AD  SAD Ta có IH  SE  SAD IH  SAD d I , SAD IH . AD  SE E Vẽ AK  BC tại K . 1 1 AB.AC a 3 Ta thấy IE AK . . 2 2 AB2 AC 2 4 1 1 1 16 16 64 3a Xét tam giác SIE ta có IH . IH 2 SI 2 IE 2 9a2 3a2 9a2 8 3a 3a Vậy d SA, BC d M , SAD 2d I , SAD 2IH 2. . 8 4 Câu 11. Cho hình chóp đều S.ABCD có AB 2a, SA a 3 (minh hoạ như hình vẽ). Gọi M là trung điểm AD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BM bằng
10. a 6 2a 93 2a 3a 3 A. . B. . C. . D. . 3 31 3 4 Lời giải Chọn A a 2 Ta tính được AC 2a 2, HE , SH a . 3 Chóp H.SDE là chóp có tam diện vuông tại H . Khi đó ta có 1 1 1 1 1 1 1 a 6 2 2 2 2 2 2 2 6a d H; SDE d H; SDE HS HD HE a a 2 a 2 6 3 a 6 a 6 Ta có d BM ;SD d B; SDE 2d H; SDE 2. . 6 3 a 6 Vậy d BM ;SD . 3 · Câu 12. Cho khối hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC 120, đường thẳng AC1 tạo với mặt phẳng ABCD một góc 45. Tính thể tích khối hộp đã cho. 3a3 a3 3a3 a3 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4 Lời giải
11. Từ giả thiết CC1  ABCD AC là hình chiếu của AC1 lên mặt phẳng ABCD . ·AC ; ABCD ·AC ; AC C· AC 45 (do tam giác ACC vuông tại C ) 1 1 1 1 ACC1 vuông cân tại C. 2 2 2 2 Ta có AC AB BC 2AB.BC.cos120 3a CC1 AC a 3 Vậy thể tích khối hộp ABCD.A1B1C1D1 là 1 3a3 V CC .S 2CC .S 2.a 3. a.a.sin120 . 1 ABCD 1 ABD 2 2 Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a , cạnh bên SD 6a và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng A. 3a . B. 2a . C. 2a . D. a . Lời giải Chọn B Kẻ DH  SA . AB  AD Ta có:  AB  SAD AB  DH AB  SD  DH  SA  Lại có:  DH  SAB DH  SB (1) DH  AB Mặt khác, CD / / AB CD  SAD CD  DH (2) Từ 1 và 2 d SB,CD DH Xét SAD vuông tại D có:
12. 1 1 1 1 1 1 DH a 2 . DH 2 SD2 AD2 6a2 3a2 2a2 Câu 14. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB 2 3 và AA 2. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A B , A C và BC . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB C và MNP bằng C' N B' M A' C P B A 6 13 13 17 13 18 13 A. B. C. D. 65 65 65 65 Lời giải Chọn B Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của BC và B C ; I BM  AB , J CN  AC , E MN  A Q. Suy ra, MNP  AB C MNCB  AB C IJ và gọi K IJ  PE K AQ với E là trung điểm M N . AA QP  IJ AQ  IJ, PE  IJ ·MNP , AB C ·AQ, PE 13 5 5 Ta có AP 3, PQ 2 AQ 13 QK ; PE PK . 3 2 3 2 2 2 KQ KP PQ 13 cos cosQ· KP . 2KQ.KP 65 C' Q N E B' M A' J K I C P B A
13. Cách 2 Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ P 0;0;0 , A 3;0;0 , B 0; 3;0 ,C 0; 3;0 , A 3;0;2 , B 0; 3;2 ,C 0; 3;2 3 3 3 3 nên M ; ;2 , N ; ;2 2 2 2 2  1   Ta có vtpt của mp AB C là n AB , AC 2;0;3 và vtpt của mp MNP là 1 2 3  n2 4;0; 3 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng AB C và   8 9 13 mp MNP cos cos n1,n2 13 25 65 Cách 3 Gọi Q là trung điểm của AA ' , khi đó mặt phẳng AB'C' song song với mặt phẳng MNQ nên góc giữa hai mặt phẳng AB'C' và MNP cũng bằng góc giữa hai mặt phẳng MNQ và MNP .
14. Ta có: MNP  MNQ MN · PE  MNP ; PE  MN MNP ; MNQ P· EQ hoặc QE  MNQ ; QE  MN · MNP ; MNQ 1800 P· EQ Tam giác ABC đều có cạnh 2 3 AP 3. Tam giác APQ vuông tại A nên ta có: PQ AP2 AQ2 32 12 10 2 2 2 3 2 13 Tam giác A 'QE vuông tại A' nên ta có: QE A' E A'Q 1 2 2 2 2 2 2 3 5 Tam giác PEF vuông tại F nên ta có: PE FP FE 2 2 2 Áp dụng định lý hàm số côsin vào tam giác PQE ta có: 25 13 2 2 2 10 EP EQ PQ 13 cos P· EQ 4 4 2.EP.EQ 5 13 65 2. . 2 2 13 Do đó: cos · MNP ; AB 'C ' cos 1800 P· EQ cos P· EQ . 65 Câu 15. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O . Gọi I là tâm của hình vuông A B C D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO 2MI . Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC D ) và (MAB) bằng 6 85 7 85 17 13 6 13 A. B. C. D. 85 85 65 65 Lời giải Chọn B. B C N J A D O H M K B' C' L A' I D'
15. Giao tuyến của (MAB) và (MC D ) là đường thẳng KH như hình vẽ. Gọi J là tâm hình vuông ABCD . L, N lần lượt là trung điểm của C D và AB . Ta có: C D  (LIM ) C D  LM LM  KH . Tương tự AB  (NJM ) AB  MN MN  KH . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MC D ) chính là góc giữa 2 đường thẳng (MN, ML) . 10 34 Gọi cạnh hình lập phương là 1 . Ta có LM , MN , NL 2 . 6 6 MN 2 ML2 NL2 7 85 Ta có: cos L· MN . 2MN.ML 85 7 85 Suy ra cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MC D ) là . 85 Câu 16. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A B C D và M 1 là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó cosin của góc tạo bởi hai 2 mặt phẳng (MC D ) và (MAB) bằng 6 13 7 85 6 85 17 13 A. B. C. D. 65 85 85 65 Lời giải Chọn D
16. Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1. Chọn hệ trục tọa độ sao cho A (0;0;0), B (1;0;0), D (0;1;0) và A(0;0;1) (như hình vẽ). 1 1 1 Khi đó ta có: M ; ; . 2 2 3   1 1 2   2 1 Suy ra: AB (1;0;0), MA ; ; AB, MA 0; ; n1 (0; 4;3) là VTPT 2 2 3 3 2 của mặt phẳng (MAB).   1 1 1   1 1 D C (1;0;0), MD ; ; D C , MD 0; ; n2 (0;2; 3) là VTPT của 2 2 3 3 2 mặt phẳng (MC D ) . cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MC D ) bằng: n .n 0.0 4.2 3.( 3) 17 13 cos(n ,n ) 1 2 . 1 2 2 2 2 2 2 2 n1 . n2 0 ( 4) 3 . 0 2 ( 3) 65 Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 5a 3a 6a 3a A. B. C. D. 3 2 6 3 Lời giải Chọn B BC  AB Ta có: BC  SAB BC  SA
17. SAB  SBC SAB  SBC SB Trong mặt phẳng SAB : Kẻ AH  SB AH d A; SBC 1 1 1 1 1 4 . AH 2 SA2 AB2 a2 3a2 3a2 3a d A; SBC AH . Chọn B. 2 x 1 Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y nghịch biến trên khoảng x 3m 6; ?. A. 3 B. Vô số C. 0 D. 6 Lời giải. Chọn A 3m 1 Tập xác định D ¡ \ 3m; y . x 3m 2 x 1 Hàm số y nghịch biến trên khoảng 6; khi và chỉ khi: x 3m 1 y 0 3m 1 0 m 1 3 2 m . 6;  D 3m 6 3 m 2 Vì m ¢ m 2; 1;0.. Câu 19. Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau, OA a và OB OC 2a . Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AB bằng 2a 2 5a 6a A. B. a C. D. 2 5 3 Lời giải Chọn D A C H O M B N Ta có OBC vuông cân tại O , M là trung điểm của BC OM  BC OM / /BN Dựng hình chữ nhật OMBN , ta có OM / / ABN BN  ABN
18. d AB,OM d OM , ABN d O, ABN Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AN ta có: BN  ON BN  OAN OH  BN mà OH  AN BN  OA OH  ABN d O, ABN OH OAN vuông tại O , đường cao OH 1 1 1 1 1 1 4 1 4 OH 2 OA2 ON 2 OA2 BM 2 OA2 BC 2 OA2 OB2 OC 2 1 4 3 2a2 a 6 a 6 OH 2 OH d AB,OM OH a2 4a2 4a2 2a2 3 3 3 Nhận xét: A C O M B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, khi đó O 0;0;0 , B 2a;0;0 ,C 0;2a;0 , A 0;0;a M là trung điểm của BC M a;a;0    Ta có OM a;a;0 ;OB 0;2a;0 ; AB 2a;0; a      OM , AB .OB 2a3 a 6 OM , AB a2 ;a2 ; 2a2 d AB,OM   4 4 4 3 OM , AB a a 4a Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng 21a 21a 2a 21a A. . B. . C. . D. . 14 7 2 28 Lời giải Gọi H là trung điểm AB . Suy ra SH  ABCD . d H, SBD BH 1 Ta có d A, SBD 2d H, SBD . d A, SBD BA 2
19. Gọi I là trung điểm OB , suy ra HI || OA . 1 a 2 BD  HI Suy ra HI OA . Lại có BD  SHI . 2 4 BD  SH 1 1 1 a 21 Vẽ HK  SI HK  SBD . Ta có HK . HK 2 SH 2 HI 2 14 a 21 Suy ra d A, SBD 2d H, SBD 2HK . 7 Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD bằng 21a 21a 2a 21a A. . B. . C. . D. . 28 14 2 7 Lời giải Chọn D Gọi M là trung điểm của AB SM  ABCD . Gọi O AC  BD . AC  SBD O Ta có d C, SBD d A, SBD . AO OC AM  SBD B Lại có d A, SBD 2d M , SBD . AB 2MB d C; SBD Vậy 2 d M ; SBD Kẻ MK  BD K BD , kẻ MH  SK tại H MH d M ; SBD . Xét tam giác SMK , ta có 1 1 a 2 a 2 a 3 MK AO , SM 2 2 2 4 2
20. 1 1 1 28 a 21 a 21 MH d C; SBD . MH 2 SM 2 MK 2 3a2 14 7 Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ D đến mặt phẳng SAC bằng a 21 a 21 a 2 a 21 A. . B. . C. . D. . 14 28 2 7 Lời giải Chọn D S H A K O I C * Gọi O AC  BD và G là trọng tâm tam giác ABD , I là trung điểm của AB ta có d D; SAC DG SI  ABCD và 2 d D; SAC 2.d I; SAC . d I; SAC IG * Gọi K là trung điểm của AO , H là hình chiếu của I lên SK ta có IK  AC; IH  SAC d D; SAC 2.d I; SAC 2.IH a 3 BO a 2 * Xét tam giác SIK vuông tại I ta có: SI ; IK 2 2 4 1 1 1 4 16 28 a 3 IH IH 2 SI 2 IK 2 3a2 2a2 3a2 2 7