61 Câu hỏi ôn tập Toán 11 - Chương 2: Hàm số mũ. Hàm số Logarit (Mức độ 3)

Nội dung tài liệu: 61 Câu hỏi ôn tập Toán 11 - Chương 2: Hàm số mũ. Hàm số Logarit (Mức độ 3)

1. Câu 1. Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần số lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ? 25 24 A. 7 log 25. B. 3 7 . C. 7 . D. 7 log 24 . 3 3 3 Lời giải Chọn A Theo đề bài số lượng bèo ban đầu chiếm 0,04 diện tích mặt hồ. Sau 7 ngày số lượng bèo là 0,04 31 diện tích mặt hồ. Sau 14 ngày số lượng bèo là 0,04 32 diện tích mặt hồ. Sau 7 n ngày số lượng bèo là 0,04 3n diện tích mặt hồ. n n Để bèo phủ kín mặt hồ thì 0,04 3 1 3 25 n log3 25. Vậy sau 7 log3 25 ngày thì bèo vừa phủ kín mặt hồ. 2 2 Câu 2. Số nghiệm của phương trình log3 x 2x log5 x 2x 2 là A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn B ĐK: x 0; x 2 . Đặt t x2 2x x2 2x 2 t 2 log3 t log5 t 2 . Đặt log3 t log5 t 2 u u log3 t u t 3 u log5 t 2 u t 2 5 5u 2 3u 5u 3u 2 (1) 5u 2 3u 5u 3u 2 u u . u u u u 3 1 5 2 3 3 2 5 2 1 (2) 5 5 Xét 1 :5u 3u 2 Ta thấy u 0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u 0 là duy nhất. Với u 0 t 1 x2 2x 1 0, phương trình này vô nghiệm. u u 3 1 Xét 2 : 2 1 5 5
2. Ta thấy u 1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u 1 là duy nhất. Với u 0 t 3 x2 2x 3 0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa x 0; x 2 . 1 Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 2 xác định trên mlog3 x 4log3 x m 3 khoảng 0; . A. m ; 4  1; . B. m 1; . C. m 4;1 . D. m 1; . Lời giải ChọnA. Đặt t log3 x , khi đó x 0; t ¡ . 1 1 y 2 trở thành y 2 . mlog3 x 4log3 x m 3 mt 4t m 3 1 Hàm số y 2 xác định trên khoảng 0; khi và chỉ khi hàm số mlog3 x 4log3 x m 3 1 y xác định trên ¡ mt 2 4t m 3 f (t) mt 2 4t m 3 vô nghiệm 4 m2 3m 0 m 4;m 1. Câu 4. Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên. Theo OECD, khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 2C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 5C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10% . Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm tC , tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm f t % thì f (t) k.at . Nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu độ C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 20% ? A. 9,3C . B. 7,6C . C. 6,7C . D. 8,4C . Lời giải ChọnC. k.a2 3% Theo đề bài ta có: 1 . Cần tìm t thỏa mãn k.at 20% . 5 k.a 10%
3. 3% 10 Từ 1 k và a 3 . Khi đó a2 3 3% 20 20 k.at 20% .at 20% at 2 t 2 log t 6,7 . 2 10 a 3 3 3 3 Câu 5. Nghiệm của bất phương trình log2 x 1 log 1 x 1 0 là: 2 A. 1 x 0 . B. 1 x 0 . C. 1 x 1. D. x 0 . Lời giải ChọnA. Điều kiện: x 1 0 x 1. x 1 log2 x 1 log 1 x 1 0 log2 x 1 log2 x 1 0 log2 0 2 x 1 log2 x 1 0 x 1 1 x 1 1 x 0 Kết hợp với điều kiện suy ra 1 x 0. Câu 6. Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy rằng: cứ sau đúng 5 ngày số lượng loài của vi khuẩn A tăng lên gấp đôi, còn sau đúng 10 ngày số lượng loài của vi khuẩn B tăng lên gấp ba. Giả sử ban đầu có 100 con vi khuẩn A và 200 con vi khuẩn B , hỏi sau bao nhiêu ngày nuôi cấy trong môi trường đó thì số lượng hai loài bằng nhau, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau? A. 10 log 3 2 .B. 5 log8 2 .C. 10 log 4 2 .D. 5 log 4 2 . 2 3 3 3 Lời giải ChọnC. Giả sử sau x ngày nuôi cấy thì số lượng vi khuẩn hai loài bằng nhau. Điều kiện x 0 . x Ở ngày thứ x số lượng vi khuẩn của loài A là: 100 25 con vi khuẩn. x Ở ngày thứ x số lượng vi khuẩn của loài B là: 200 310 con vi khuẩn. x x x x 5 10 5 10 2 4 Khi đó ta có phương trình: 100 2 = 200 3 x 2 2 x 10 log 4 2. 3 310 3 Câu 7. Cho các số thực a , b khác 1. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với trục Ox mà cắt các đường y a x , y bx , trục tung lần lượt tại M , N và A thì AN 2AM . Mệnh đề nào sau đây đúng? y N M A y bx y a x O x 1 A. a2 b . B. b 2a .C. ab2 1.D. ab . 2 Lời giải
4. ChọnC. Giả sử N , M có hoành độ lần lượt là n , m khác 0 . Theo đề, ta có: n 2m , bn am m Vậy b 2m am ab2 1 ab2 1. 4x 1 Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log m có nghiệm. 2 4x 1 A. 1 m 1. B. m 0. C. 1 m 0. D. m 1. Lời giải ChọnB. 4x 1 ĐK: 0 4x 1. 4x 1 4x 1 t 1 Đặt t 4x 1, khi đó log m m log . 2 4x 1 2 t 1 t 1 2 Xét hàm số f t log trên khoảng 1; , ta có f t 0; t 1. 2 t 1 t 2 1 .ln 2 Suy ra f t là hàm số đồng biến trên 1; . Do lim f t ; lim f t 0 nên ta có bảng biến thiên: t 1 t t 1 f t 0 f t Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m 0. Câu 9. Giả sử a,b là các số thực sao cho x3 y3 a.103z b.102z đúng với mọi các số thực dương x, y, z thỏa mãn log(x y) z và log(x2 y2 ) z 1. Giá trị của a b bằng. 31 29 31 25 A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Từ giả thiết x y 10z log(x y) z x y 10z x y 10z 2z z 1 2 2 2 2 z 1 2 z 1 10 10 log(x y ) z 1 x y 10 (x y) 2xy 10 xy 2 1 Mặt khác x3 y3 (x y)3 3xy(x y) .103z 15.102z a.103z b.102z 2 29 S a b . Do đó chọn B. 2 Câu 10. Số giá trị nguyên của m 10 để hàm số y ln x2 mx 1 đồng biến trên 0; là A. 10. B. 11. C. 8 . D. 9 . Lời giải Chọn A.
5. 2x m Ta có y 0 với mọi x 0; . x2 mx 1 Xét g x x2 mx 1 có m2 4. TH1: 0 2 m 2 khi đó g x 0,x ¡ nên ta có 2x m 0 ,x 0; Suy ra 0 m 2 . m 2 TH2: 0 . m 2 2x m Nếu m 2 thì lim y m 2 nên không thỏa y 0 với mọi x 0; . x 0 x2 mx 1 Nếu m 2 thì 2x m 0 với mọi x 0; và g x có 2 nghiệm âm . Do đó g x 0 , x 0; . Suy ra 2 m 10 . Vậy ta có: 0 m 10 nên có 10 giá trị nguyên của m . Câu 11. Sau một tháng thi công công trình xây dựng Nhà học thể dục của Trường X đã thực hiện được một khối lượng công việc. Nếu tiếp tục với tiến độ như vậy thì dự kiến sau đúng 23 tháng nữa công trình sẽ hoàn thành. Để sớm hoàn thành công trình và kịp thời đưa vào sử dụng, công ty xây dựng quyết định từ tháng thứ 2 , mỗi tháng tăng 4% khối lượng công việc so với tháng kề trước. Hỏi công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ mấy sau khi khởi công? A. 19. B. 18. C. 17 . D. 20 . Lời giải Chọn B. 1 Dự kiến hoàn thành công việc trong 24 tháng tháng đầu tiên công ty hoàn thành A 24 công việc. Đặt r 0,04 ; m 1 r . Khối lượng công việc hoàn thành ở: Tháng thứ nhất: T1 A Tháng thứ hai: T2 T1 T1r Am 2 Tháng thứ ba: T3 T2 T2r Am 3 Tháng thứ tư: T4 T3 T3r Am n 1 Tháng thứ n : Tn Am Để hoàn thành xong công trình thì: n 2 n 1 1 m n T1 T2 T3 ... Tn 1 A 1 m m ... m 1. 24 1,04 1,96. 1 m n log1,04 1,96 17,2 1 Câu 12. Cho hàm số f x ln 1 2 . Biết rằng f 2 f 3 ... f 2018 ln a ln b ln c ln d x với a , b , c , d là các số nguyên dương, trong đó a , c , d là các số nguyên tố và a b c d . Tính P a b c d . A. 1986. B. 1698. C. 1689. D. 1968. Lời giải Chọn C. 1 x2 1 Ta có f x ln 1 2 ln 2 ln x 1 ln x 1 2ln x , với x 2 . x x Khi đó
6. f 2 ln1 ln 3 2ln 2 f 3 ln 2 ln 4 2ln 3 f 4 ln 3 ln 5 2ln 4 f 2016 ln 2015 ln 2017 2ln 2016 f 2017 ln 2016 ln 2018 2ln 2017 f 2018 ln 2017 ln 2019 2ln 2018 Suy ra f 2 f 3 ... f 2018 ln1 ln 2 ln 2019 ln 2018 0 ln 2 ln 3 ln 673 ln 2 ln1009 ln 3 2ln 2 ln 673 ln1009 ln 3 ln 4 ln 673 ln1009 Do đó P a b c d 3 4 673 1009 1689 . Câu 13. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4x 2x 4 3m 2x 1 có hai nghiệm phân biệt A. 1 m log3 4. B. 1 m log3 4. C. log4 3 m 1. D. log4 3 m 1. Lời giải Chọn B Ta có 4x 2x 4 3m 2x 1 4x 1 3m 2x 4 3m 0 . Đặt t 2x 0, n 3m 0 ta tìm n 0 để phương trình t 2 1 n t 4 n 0 có hai nghiệm dương phân biệt. 2 0 1 n 4 4 n 0 n2 2n 15 0 n 5 Do đó S 0 n 1 0 n 1 n 3 3 n 4 P 0 4 n 0 n 4 1 n 4 m Vậy 3 3 4 1 m log3 4 . Câu 14. Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng thức 3x a x 6x 9x đúng với mọi số thực x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 12;14 . B. a 10;12 . C. a 14;16 . D. a 16;18. Lời giải Chọn D Ta có 3x a x 6x 9x a x 18x 6x 9x 3x 18x a x 18x 3x 2x 1 9x 2x 1 a x 18x 3x 2x 1 3x 1 * . Ta thấy 2x 1 3x 1 0,x ¡ 3x 2x 1 3x 1 0,x ¡ . Do đó, * đúng với mọi số thực x a x 18x 0,x ¡ x a 1,x ¡ 18
7. a 1 a 18 16;18 . 18 1 1 Câu 15. Có bao nhiêu số nguyên a 2019;2019 để phương trình x a có 2 ln x 5 3x 1 nghiệm phân biệt? A. 0. B. 2022. C. 2014. D. 2015. Lời giải 1 1 1 1 Ta có x a a x ln x 5 3x 1 ln x 5 3x 1 1 1 Xét hàm số f x x với x 5, x 4; x 0 ln x 5 3x 1 1 3x.ln 3 Ta có: f x 2 2 1 0 với x 5, x 4; x 0 . x 5 ln x 5 3x 1 Ta có bảng biến thiên của hàm số : Từ bảng biến thiên hàm số, ta thấy phương trình bài ra có đúng hai nghiệm 1 a 5 2018 a 4 nên có 2015 giá trị thỏa mãn bài toán. 3 5 1 Câu 16. Có bao nhiêu cặp số thực dương (a; b) thỏa mãn log2 a là số nguyên dương, log2 a 1 log3 b và a2 b2 20202 ? A. 8. B. 6. C. 7. D. 5. Lời giải a 2m Theo bài ra ta có: log2 a m m ¢ ; m 1 . a 2 m 1 Lại có: log2 a 1 log3 b log3 b m 1 b 3 . 2 2 Suy ra: a2 b2 2m 3m 1 4m 9m 1 20202. Đặt g m 4m 9m 1 g ' m 4m ln 4 9m 1 ln 9 0 m ¡ . Vậy g m là hàm đồng biến trên ¡ . Suy ra: g m 20202 g 7,92 . Ta được m 7,92. Số cặp (a; b) là số giá trị nguyên dương của m . Vậy m 1,2,...,7 . Có 7 giá trị. Câu 17. Tỉnh A đưa ra nghị quyết về việc giảm biên chế công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách Nhà nước trong giai đoạn 5 năm từ 2020 2025 là 12% so với số lượng hiện có năm 2020 . Giả sử tỉ lệ giảm hàng năm so với năm trước đó là như nhau. Để đạt được chỉ tiêu đề ra, tỉnh A phải thực hiện tỉ lệ giảm hàng năm tối thiểu là bao nhiêu phần trăm (làm tròn đến 1 chữ số thập phân)? A. 2,7% .B. 2,4% . C. 2,5% . D. 2,8% . Lời giải
8. Giả sử M là số lượng công chức, viên chức của tỉnh A năm 2020 và r% là tỉ lệ giảm hàng năm so với năm trước đó. Năm 2021 số lượng công chức, viên chức còn lại của tỉnh A là: M r%M 1 r% M . Năm 2022 số lượng công chức, viên chức còn lại của tỉnh A là: 1 r% M r% 1 r% M 1 r% 2 M . 5 Năm 2025 số lượng công chức, viên chức còn lại của tỉnh A là: 1 r% M . Theo chỉ tiêu đề ra năm 2025 số lượng công chức, viên chức còn lại của tỉnh A là 88%M . Do đó: 1 r% 5 M 88%M 1 r% 5 88% r% 1 5 88% r% 2,5% . Câu 18. Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình x2 (m3 4m)x mln(x2 1) nghiệm đúng với mọi số thực x? A. 3 B.1 C.2 D.0 Giải: FB: Phan Văn Bính Xét hàm số f (x) x2 (m3 4m)x mln(x2 1) Dễ thấy f (0) 0 . Yêu cầu bài toán Tìm m thoả mãn f (x) f (0), x R m 0 ' 3 f (0) 0 m 4m 0 m 2 m 2 Thử lại ta thấy chỉ có m 0,m 2 thoả mãn yêu cầu bài toán. Có hai giá trị nguyên cần tìm. Chọn C Câu 19. Có bao nhiêu cặp số thực dương (a; b) thỏa mãn log2 a là số nguyên dương, log2 a 1 log3 b và a2 b2 20202 ? A. 6. B. 7. C. 5. D. 8. Lời giải Chọn A * t t 1 Đặt t log2 a (t ¥ ) suy ra a 2 và log3 b t 1 b 3 Ta có a2 b2 20202 22t 32t 2 20202 (1) 2t 2t 2 Xét hàm số f (t) 2 3 trên ¡ . Ta có f '(t) 2.22t.ln 2 2.32t 2.ln 3 0,t ¡ Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên ¡ . Ta lại có f (7) 20202 f (8) và t ¥ * . Do đó, (1) t 7 t 1;2;...;7 . Vậy có 7 cặp số thực dương (a; b) thỏa ycbt. Câu 20. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 6x 4x m.2x 0 có nghiệm là A. ;0 . B. 0; . C. ;0 . D. ; . Lời giải Chọn C Ta có 6x 4x m.2x 0 3x 2x m . Xét hàm số y 3x 2x y 3x ln 3 2x ln 2 0 với x ¡ . Mặ khác: lim y ,lim y 0 x x
9. Để phương trình có nghiệm thì m 0 m 0 . Câu 21. Tỉnh A đưa ra nghị quyết về việc giảm biên chế công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách Nhà nước trong giai đoạn 5 năm từ 2020 – 2025 là 12% so với số lương hiện có năm 2020. Giả sử tỉ lệ giảm hàng năm so với năm trước đó là như nhau. Để đạt được chỉ tiêu đề ra, tỉnh A phải thực hiện tỉ lệ giảm hàng năm tối thiểu là bao nhiêu phần trăm (làm tròn đến một chữ số thập phân)? A. 2,8% . B. 2,4% . C. 2,5% . D. 2,7% . Lời giải Chọn C Gọi T là mức lương hiện tại năm 2020 và r% là tỉ lệ giảm lương hàng năm để trong 5 năm giảm được 12% so với số lương hiện có 5 5 T 1 r 1 0,12 T 1 r 0,88 r 1 5 0,88 0,025 2,5% . Câu 22. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log x x2 3 x2 x2 3 2x 2 A. 2 . B. 1. C. 3 . D. Vô số. Lời giải Điều kiện xác định: x x2 3 x2 0 x x2 3 x 0 x 0 (vì x2 3 x x2 x x x 0 ) Ta có: x2 3 x x2 3 x 3 nên bất phương trình đã cho tương đường với 3x 2 2 2 log2 x 3 x 3x log2 3x 3x log2 x 3 x x 3 x * x2 3 x Xét hàm số f t log2 t t với t 0 . 1 f t 1 0,t 0 f t là hàm số đồng biến trên 0; . t ln 2 Do đó * 3x x2 3 x x2 3 2x x2 3 4x2 (vì x 0 ). x2 1. Mà x 0 nên x 0;1 . Vậy bất phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên. Câu 23. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 4x a 2 2x 2 trên đoạn  1;1. Tất cả giá trị của a để m 1 là 1 1 A. a 1. B. a 0 . C. a . D. a 0 . 2 2 Lời giải Chọn D 1 Đặt t 2x ,t ;2 , f x trở thành g t t 2 a 2 t 2 2 1 Hàm số g t liên tục trên ;2 . 2 2 a g t 2t a 2 . g t 0 t 2
10. 1 2 a Trường hợp 1: 2 2 a 1 2 2 2 2 a 8 a 2 Suy ra min g t g 1 2 4 ;2 2 8 a 2 2 Yêu cầu bài toán 1 0 a 4 4 Vậy 0 a 1 (1) 2 a 1 Trường hợp 2: a 1 2 2 1 1 5 Suy ra: min g t g a 1 2 2 4 ;2 2 1 5 1 Yêu cầu bài toán a 1 a 2 4 2 Vậy a 1. 2 a Trường hợp 3: 2 a 2 2 Suy ra: min g t g 2 2a 2 1 ;2 2 1 Yêu cầu bài toán 2a 2 1 a 2 Vậy không tồn tại a . Kết hợp 3 trường hợp, ta có a 0 . Câu 24. Có bao nhiêu số tự nhiên m sao cho phương trình 4x 2x 2 m 1 2x 1 2 có đúng 2 nghiệm thực phân biệt? A. 10.B. 8.C. 11.D. 9. Lời giải Chọn D Đặt t 2x t 0 . Phương trình đã cho trở thành t 2 4t m 1 2t 2 * t 2 4t m 1 2t 2 m t 2 6t 3 P 1 . 2 2 t 4t m 1 2t 2 m t 2t 1 P2
11. Vẽ hai parabol P1 , P2 trên khoảng 0; . Yêu cầu bài toán * có hai nghiệm dương phân biệt t1,t2 12 m 3 3 m 12 m 0 m 0 . m 1 m 1 Vì m ¥ nên m 0;4;5;...;11. Câu 25. Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ. 100.(1,01)3 (1,01)3 A. m (triệu đồng) B. m (triệu đồng) 3 (1,01)3 1 100.1,03 120.(1,12)3 C. m (triệu đồng) D. m (triệu đồng) 3 (1,12)3 1 Lời giải Chọn B Cách 1: Công thức: Vay số tiền A lãi suất r % / tháng. Hỏi trả số tiền a là bao nhiêu để n n 3 A.r . 1 r 100.0,01. 1 0,01 tháng hết nợ a . n 3 1 r 1 1 0,01 1 Cách 2: Theo đề ta có: ông A trả hết tiền sau 3 tháng vậy ông A hoàn nợ 3 lần Với lãi suất 12%/năm suy ra lãi suất một tháng là 1% Hoàn nợ lần 1: -Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 100.0,01 100 100.1,01 (triệu đồng) - Số tiền dư : 100.1,01 m (triệu đồng) Hoàn nợ lần 2: - Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 100.1,01 m .0,01 100.1,01 m 100.1,01 m .1,01 100. 1,01 2 1,01.m (triệu đồng)
12. - Số tiền dư:100. 1,01 2 1,01.m m (triệu đồng) Hoàn nợ lần 3: - Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 100. 1,01 2 1,01.m m .1,01 100. 1,01 3 1,01 2 m 1,01m (triệu đồng) - Số tiền dư:100. 1,01 3 1,01 2 m 1,01m m (triệu đồng) 3 3 2 100. 1,01 100. 1,01 1,01 m 1,01m m 0 m 1,01 2 1,01 1 100. 1,01 3 . 1,01 1 1,01 3 m 3 (triệu đồng). 1,01 2 1,01 1 . 1,01 1 1,01 1 Câu 26. Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6x 3 m 2x m 0 có nghiệm thuộc khoảng 0;1 . A. 3;4 B. 2;4 C. 2;4 D. 3;4 Lời giải Chọn C 6x 3.2x Ta có: 6x 3 m 2x m 0 1 m 2x 1 6x 3.2x Xét hàm số f x xác định trên ¡ , có 2x 1 12x.ln 3 6x.ln 6 3.2x.ln 2 f x 2 0,x ¡ nên hàm số f x đồng biến trên ¡ 2x 1 Suy ra 0 x 1 f 0 f x f 1 2 f x 4 vì f 0 2, f 1 4. Vậy phương trình 1 có nghiệm thuộc khoảng 0;1 khi m 2;4 . . Câu 27. Xét các số thực a , b thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức 2 2 a P log a a 3logb . b b A. Pmin 19 B. Pmin 13 C. Pmin 14 D. Pmin 15 Lời giải Chọn D Với điều kiện đề bài, ta có 2 2 2 2 a a a a P log a a 3logb 2log a a 3logb 4 log a .b 3logb b b b b b b b
13. 2 a 4 1 log a b 3logb b b 2 3 2 3 Đặt t log a b 0 (vì a b 1), ta có P 4 1 t 4t 8t 4 f t . b t t 2 3 8t3 8t 2 3 2t 1 4t 6t 3 Ta có f (t) 8t 8 t 2 t 2 t 2 1 1 Vậy f t 0 t . Khảo sát hàm số, ta có P f 15 . 2 min 2 Câu 28. Hỏi phương trình 3x2 6x ln x 1 3 1 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt? A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Lời giải Chọn C Điều kiện: x 1. Phương trình đã cho tương đương với 3x2 6x 3ln x 1 1 0 . Xét hàm số y 3x2 6x 3ln x 1 1 liên tục trên khoảng 1; . 3 6x2 3 y 6 x 1 . x 1 x 1 2 y 0 2x2 1 0 x . 2 2 2 Vì f 0 , f 0 và lim y nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm 2 2 x phân biệt. Câu 29. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong  2017;2017 để phương trình log mx 2log x 1 có nghiệm duy nhất? A. 2017 .B. 4014. C. 2018. D. 4015. Lời giải Chọn C Điều kiện x 1,mx 0 . 2 2 x 1 log mx 2log x 1 mx x 1 m x
14. 2 x 1 x2 1 x 1 Xét hàm f x x 1, x 0 ; f x 2 0 x x x 1 l Lập bảng biến thiên m 4 Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 0. Vì m  2017;2017 và m ¢ nên chỉ có 2018 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu là m 2017; 2016;...; 1;4. Chú ý: Trong lời giải, ta đã có thể bỏ qua điều kiện mx 0 vì với phương trình loga f x loga g x với 0 a 1 ta chỉ cần điều kiện f x 0 . Câu 30. Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt P log b3 log b6 . Mệnh đề nào dưới a a2 đây đúng ? A. P 9loga b . B. P 27loga b .C. P 15loga b D. P 6loga b Lời giải. Chọn D. 3 6 6 P log b log 2 b 3log b log b 6 log b a a a 2 a a x 3 Câu 31. Tìm tập xác định của hàm số y log . 5 x 2 A. D ¡ \ { 2} B. D ( ; 2) [3; ) C. D ( 2;3) . D. D ( ; 2)  (3; ) Lời giải. Chọn D. x 3 x 2 ĐK: 0 x 2 x 3 TXĐ: D ; 2  3; 2 Câu 32. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log2 x 5log2 x 4 0 A. S ( ;2] [16; ) . B. S [2;16] C. S (0; 2]  [16; ) . D. S ( ;1]  [4; ) . Lời giải. Chọn C. ĐK: x 0 2 log2 x 1 x 2 log2 x 5log2 x 4 0 log2 x 4 x 16
15. 0 x 2 Kết hợp với đk x 0 , ta được: x 16 S 0;2 16; Câu 33. Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% /năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra. A. 13 nămB. 14 năm C. 12 năm D. 11 năm Lời giải. Chọn C. Gọi n là số năm một người gửi tiền vào ngân hàng. Số tiền cả gốc và lãi người đó thu về sau n năm là: 50.000.000 1 6% n n n Theo đề cho, ta có: 50.000.000 1 6% 100.000.000 1,06 2 n log1,06 2 11,9. Vậy sau ít nhất 12 năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi. Câu 34. Cho loga x 3,logb x 4 với a, b là các số thực lớn hơn 1. Tính P logab x . 7 1 12 A. P B. P C. P 12 D. P 12 12 7 Lời giải. Chọn D. 1 1 log x 3 log a ; log x 4 log b a x 3 b x 4 1 1 1 12 P log x ab log ab log a log b 1 1 7 x x x 3 4 Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4x 2x 1 m 0 có hai nghiệm thực phân biệt A. m ;1 B. m 0; C. m 0;1 D. m 0;1 Lời giải Chọn D 2 Phương trình 4x 2x 1 m 0 2x 2.2x m 0 , 1 . Đặt t 2x 0. Phương trình 1 trở thành: t 2 2t m 0 , 2 . Phương trình 1 có hai nghiệm thực phân biệt phương trình 2 có hai nghiệm thực phân biệt và lớn hơn 1 m 0 0 2 0 S 0 0 0 m 1. 1 P 0 m 0 1 1 log x log y Câu 36. Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn x2 9y2 6xy . Tính M 12 12 . 2log12 x 3y
16. 1 1 1 A. M . B. M 1. C. M . D. M 4 2 3 Lời giải Chọn B Ta có x2 9y2 6xy x 3y 2 0 x 3y . 2 1 log x log y log 12xy log12 36y Khi đó M 12 12 12 1. 2log x 3y 2 2 12 log12 x 3y log12 36y Câu 37. Đầu năm 2016 , ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng? A. Năm 2023 B. Năm 2022 C. Năm 2021 D. Năm 2020 Lời giải Chọn C Áp dụng công thức: 1. 1 r n 2 1. 1 0,15 n 2 n 4,96 Vậy từ năm thứ 5 sau khi thành lập công ty thì tổng tiền lương bắt đầu lớn hơn 2 tỷ đồng. Suy ra năm cần tìm là: 2016 5 2021 Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y log x2 2x m 1 có tập xác định là ¡ . A. m 0. B. m 0. C. m 2. D. m 2 . Lời giải Chọn B. Hàm số có tập xác định ¡ khi và chỉ khi x2 2x m 1 0,x ¡ m 0 . 1 Câu 39. Một vật chuyển động theo quy luật s t3 6t 2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ 2 khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 24(m / s). B. 108(m / s). C. 18(m / s). D. 64(m / s). Lời giải Chọn A. 3t 2 Ta có v t s t 12t ; 2 v t 3t 12 ; v t 0 t 4 . v 0 0; v 4 24 ; v 6 18 . Suy ra vận tốc lớn nhất của vật đạt được trong 6 giây đầu là 24(m / s). x x 1 Câu 40. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9 2.3 m 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 1. A. m 6. B. m 3. C. m 3. D. m 1. Lời giải Chọn C. Ta có 9x 2.3x 1 m 0 32x 6.3x m 0 .
17. 9 m 0 x1 x2 Phương trình có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 1 3 3 6 0 m 3 . x x 3 1 2 3 m Theo đề bài ta có 3 3x1.3x2 m. Câu 41. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 25x m.5x 1 7m2 7 0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử. A. 7 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải Chọn C Xét phương trình 25x m.5x 1 7m2 7 0 1 . Đặt t 5x t 0 . Phương trình trở thành t 2 5mt 7m2 7 0 2 . YCBT Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt Phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt t1,t2 0 2 2 0 25m 4 7m 7 0 2 21 S 0 5m 0 1 m . 3 P 0 7m2 7 0 Mà m ¢ m 2;3. Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m. 2 2 Câu 42. Cho a 0 , b 0 thỏa mãn log10a 3b 1 25a b 1 log10ab 1 10a 3b 1 2 . Giá trị của a 2b bằng 5 11 A. B. 6 C. 22 D. 2 2 Lời giải Chọn D Từ giả thiết ta có 25a2 b2 1 0 , 10a 3b 1 0, 10a 3b 1 1, 10ab 1 1. Áp dụng Cô-si, ta có 25a2 b2 1 2 25a2b2 1 10ab 1. Khi đó, 2 2 log10a 3b 1 25a b 1 log10ab 1 10a 3b 1 log10a 3b 1 10ab 1 log10ab 1 10a 3b 1 2 (Áp dụng Cô-si). 5a b Dấu “ ” xảy ra khi log10a 3b 1 10ab 1 log10ab 1 10a 3b 1 1 5 b 2 11 Suy ra a 2b . 1 2 a 2
18. Câu 43. Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,6% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi xuất không thay đổi và người đố không rút tiền ra? A. 11 năm B. 10 nămC. 13 năm D. 12 năm Lời giải Chọn A Gọi số tiền gửi ban đầu là a , lãi suất là d% / năm. n Số tiền có được sau n năm là: Tn a 1 d n Theo giả thiết: Tn 2a 1 d 2 n Thay số ta được: 1 0,066 2 n log1,066 2 n 10,85 Vậy sau ít nhất 11 năm. Chọn A. Nhận xét: Đây là bài toán với đáp án không chính xác. Ta không thể làm tròn n log1,066 2 n thành 11 vì khi thay vào phương trình 1 d 2 sẽ không đúng. Lỗi là ở đề bài. Câu 44. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau, và OA OB a , OC 2a . Gọi M là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng 2a 2 5a 2a 2a A. B. C. D. 3 5 2 3 Lời giải A M H C O N B Chọn D Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN //AC AC// OMN d OM ; AC d C; OMN d B; OMN . 1 1 1 V . a.a.2a a3 . A.OBC 3 2 3 d M ; ABC VM .OBC SOBN 1 1 1 1 3 . . VM .OBC a . VA.OBC d A; ABC SOBC 2 2 4 12 1 2 Xét tam giác vuông cân AOB : OM AB a . 2 2
19. 1 1 2 5 Xét tam giác vuông BOC : ON BC 2a a2 a . 2 2 2 1 1 2 5 Xét tam giác BAC : MN AC a2 2a a . 2 2 2 3 2 Trong tam giác cân OMN , gọi H là trung điểm của OM ta có NH NM 2 HM 2 a . 4 1 3 Suy ra S OM.NH a2 . OMN 2 8 3V 2 Vậy d B;OMN M .OBN a . SOMN 3 Câu 45. Gọi S là tất cả các giá trị nguyên của tham số msao cho phương trình 4x m.2x 1 2m2 5 0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử. A. 3 B. 5 C. 2 D. 1 Lời giải Chọn D Ta có: 4x m.2x 1 2m2 5 0 4x 2m.2x 2m2 5 0 Đặt t 2x ,t 0 . Phương trình thành: t 2 2m.t 2m2 5 0 Yêu cầu bài toán (2) có 2 nghiệm dương phânbiệt ' 0 m2 2m2 5 0 5 m 5 10 S 0 2m 0 m 0 m 5. 2 2 P 0 2m 5 0 5 5 m hoac m 2 2 Do mnguyên nên m 2 . Vậy S chỉ có một phần tử Câu 46. Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,1% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra? A. 13 năm B. 10 năm C. 11 năm D. 12 năm Lời giải Chọn D Gọi x số tiền gửi ban đầu. N N 6,1 6,1 Theo giả thiết 2x x 1 2 1 100 100 N 6,1 2 1 N log 1,061 2 11,7 100 Vậy sau ít nhất 12 năm người đó thu được số tiền thỏa yêu cầu. Câu 47. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 9x m.3x 1 3m2 75 0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A. 8 B. 4 C. 19 D. 5 Lời giải Chọn B 2 9x m.3x 1 3m2 75 0 1 3x 3m.3x 3m2 75 0
20. Đặt t 3x , t 0 Phương trình trở thành: t 2 3mt 3m2 75 0 2 1 có hai ngiệm phân biệt khi và chỉ khi 2 có hai nghiệm dương phân biệt 2 300 3m 0 10 m 10 3m 0 m 0 5 m 10 2 m 5 3m 75 0 m 5 Do m nguyên nên m 6;7;8;9 Câu 48. Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1% /tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và ông A trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ ngày vay. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 2,22 triệu đồng.B. 3,03 triệu đồng.C. 2,25 triệu đồng.D. 2,20 triệu đồng. Lời giải Chọn A Gọi x (triệu đồng) là số tiền ông A phải trả cho ngân hàng mỗi tháng, r 0,01 là lãi suất hàng tháng. Đặt q 1 r 1,01. Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 1 là: T1 100 1 r x 100q x . 2 2 Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 2 là: T2 T1q x 100q qx x 100q q 1 x . Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 3 là: 2 3 2 T3 T2q x 100q q 1 x q x 100q q q 1 x . Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 60 (lần cuối) là: 60 60 59 58 60 q 1 T60 100q q q ... q 1 x 100q x. q 1 100q60 q 1 Do sau 5 năm ông A trả hết nợ nên T 0 x 2,22 . 60 q60 1 Vậy số tiền mà ông A phải trả hàng tháng cho ngân hàng khoảng 2,22 (triệu đồng). 2 Câu 49. Cho phương trình log9 x log3 3x 1 log3 m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. Vô số. Lời giải 1 Điều kiện: x 3 Phương trình tương đương với: 3x 1 3x 1 log x log 3x 1 log m log log m m f x 3 3 3 3 x 3 x 3x 1 1 1 1 Xét f x ; x ; ; f x 2 0;x ; x 3 x 3 Bảng biến thiên