39 Câu hỏi ôn tập Toán 11 - Chương 3: Quan hệ vuông góc (Mức độ 2)

Nội dung tài liệu: 39 Câu hỏi ôn tập Toán 11 - Chương 3: Quan hệ vuông góc (Mức độ 2)

1. Cõu 1. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A B C cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A, AB AA a (tham khảo hỡnh vẽ bờn). Tớnh tang của gúc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng (ABB A ). 2 6 3 A. B. C. 2 D. 2 3 3 A C B A' C' B' Lời giải Chọn A Ta cú BC '  (ABB' A' ) B . Do C ' A  (ABB' A' ) tại A' . Nờn hỡnh chiếu của C ' lờn mặt (ABB' A' ) là A' . Vậy (ẳBC ' ,(ABB' A' ) (ẳBC ' , BA' ) ẳA'BC ' Vỡ Cẳ' A'B 900 A'C ' a 2 Trong tam giỏc vuụng BA'C ' cú tan ẳA'BC ' . A'B a 2 2 Cõu 2. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a, tõm O, SO a (tham khảo hỡnh vẽ bờn). Khoảng cỏch từ O đến mặt phẳng (SCD) bằng 5a 2a 6a A. B. C. D. 3a 5 2 3 S A D O B C Lời giải Chọn B Vẽ OE vuụng gúc CD , vẽ OH vuụng gúc với SE . OH  SE Ta cú OH  (SCD) . Tam giỏc SOE vuụng cõn tại O , cú OH  CD (CD  (SOE)) 1 a 2 SO OE a d(O;(SCD)) OH SE . 2 2
2. Cõu 3. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D . Gúc giữa hai đường thẳng AC và A D bằng A. 45. B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C. Ta cú: ãAC, A D ãA C , A D Dã A C 60 . Vỡ A D A C C D . Cõu 4. Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú SA 2a , AB 3a . Khoảng cỏch từ S đến mặt phẳng ABC bằng a 7 a a 3 A. . B. a . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn B. Gọi O là trọng tõm tam giỏc ABC SO  ABC d S; ABC SO . 2 2 2 3a 3 2 2 2 Ta cú: AO AI a 3 ; SO SA AO 2a a 3 a . 3 3 2 Vậy: d S; ABC a .
3. Cõu 5. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật, cạnh AB a , AD 3a . Cạnh bờn SA a 2 và vuụng gúc mặt phẳng đỏy. Gúc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC bằng: A. 75 . B. 60 .C. 45. D. 30 . Lời giải Chọn D S A D H B C Kẻ BH  AC và H AC BH  SAC . SH là hỡnh chiếu của BH trờn mặt phẳng SAC . Gúc giữa SB và mặt phẳng SAC là Bã SH . AB.BC a 3 Ta cú BH , SB SA2 AB2 a 3 . AB2 BC 2 2 BH 1 Trong tam giỏc vuụng SBH ta cú sin Bã SH Bã SH 30. SB 2 Cõu 6. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D cú I , J tương ứng là trung điểm của BC và BB . Gúc giữa hai đường thẳng AC và IJ bằng A. 45. B. 60 . C. 30 . D. 120 . Lời giải Chọn B Gọi K là trung điểm của AB vỡ ABCD là hỡnh vuụng nờn KI / / AC Suy ra gúc giữa AC và IJ bằng gúc giữa KI và IJ . 1 1 1 Ta cú: IK AC ; IJ B C ; KJ AB vỡ ABCD.A B C D là hỡnh lập phương nờn 2 2 2
4. AC B C AB suy ra KI IJ JK suy ra tam giỏc IJK là tam giỏc đều, suy ra Kã IJ 60 . Vậy gúc giữa AC và IJ bằng 60 . Cõu 7. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú AB 2a , SA a 5 . Gúc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD bằng A. 30o .B. 45o .C. 60o .D. 75o . Lời giải Cỏch 1: Gọi E là trung điểm AB . SAB  ABCD AB ã ã Ta cú SE  AB SAB , ABCD SE,OE Sã EO . OE  AB BC AC 2a 2 OE a , OA a 2 . 2 2 2 Trong tam giỏc vuụng SOA , ta cú SO SA2 OA2 5a2 2a2 a 3 . SO a 3 Trong tam giỏc vuụng SOE , ta cú tan Sã EO 3 Sã EO 60o . OE a Cỏch 2:
5. S D A I M C B Gọi I là tõm hỡnh vuụng ABCD và M là trung điểm AB . Tam giỏc IAB vuụng cõn tại I IM  AB . Tam giỏc SAB cõn tại S SM  AB . Do đú Sã MI là gúc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD . AB 2a Ta cú IM a . 2 2 2 2 2 2 2 AC 2 AB 2 2 2 SI SA IA SA SA 5a 2a a 3 2 2 SI a 3 tan Sã MI 3 Sã MI 60 . IM a Cõu 8. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D cú cạnh a . Gọi I là trung điểm BD . Gúc giữa hai đường thẳng A1D và B1I bằng A. 60 . B. 45 . C. 120 . D. 30 . Lời giải Ta cú A1D / /B1C nờn gúc giữa hai đường thẳng A1D và B1I là gúc giữa hai đường thẳng B1C ã và B1I tức là gúc IB1C . Xột B1IC cú IC  BDD1B1 B1IC vuụng tại I .
6. a 2 Mặt khỏc IC ; B C a 2 . 2 1 a 2 ã IC 2 1 ã o Vậy sin IB1C IB1C 30 . B1C a 2 2 Cõu 9. Cho hỡnh lập phương ABCD.A1B1C1D1 cú cạnh a . Gọi I là trung điểm BD . Gúc giữa hai đường thẳng A1D và B1I bằng A. 120 . B. 60 . C. 45. D. 30 . Lời giải Chọn D Ta cú A1D; B1I B1C; B1I B1C / / A1D . Xột tam giỏc ACB1 đều cú I là trung điểm của AC , nờn B1I là đường phõn giỏc của ã ã AB1C IB1C 30 , do đú A1D; B1I B1C; B1I 30 . Cõu 10. Cho hỡnh chúp SABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a , SA  ABC và SA a 2 (minh họa hỡnh vẽ bờn). Gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB bằng A. 60o. B. 90o. C. 45o. D. 30o. Lời giải Chọn A
7. Gọi M là trung điểm cạnh AB , nờn ta cú MC  AB  MC  SAB , vậy gúc giữa SC và mặt phẳng SAB là gúc giữa SC và SM MC  SA  và là Cã SM . a2 3a SH 3 Cú SM 2a2 ; CS a 3 cosCã SM Cã SM 60o 4 2 SC 2 Cõu 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB a 3, BC a, cỏc cạnh bờn của hỡnh chúp cựng bằng a 5 . Gọi M là trung điểm SC .Tớnh khoảng cỏch từ M đến mặt phẳng ABCD. A. a B. a 3 C. 2a D. a 2 Lời giải Gọi H là chõn đường cao hạ từ đỉnh S , ta cú AC AB2 BC 2 2a AC HC a 2 SH SC 2 HC 2 5a2 a2 2a Gọi E là hỡnh chiếu từ điểm M lờn mặt phẳng đỏy, ta cú ME MC MC 1 ME SH. 2a. a . SH SC SC 2 Cõu 12. Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC.AÂBÂCÂcú AB = a, AAÂ= a 2 . Gúc giữa đường thẳng AÂC và mặt phẳng (ABBÂAÂ) bằng A. 450 . B. 750 . C. 600 . D. 300 . Lời giải
8. A' C' B' A C H B ùỡ CH ^ AB Gọi H là trung điểm AB ị ớù ị CH ^ (ABBÂAÂ) ợù CH ^ AAÂ Nờn (ãAÂC,(ABAÂBÂ))= (ÃÂC, AÂH )= CãAÂH a 3 a2 3a Ta cú: CH = ; AÂH = AAÂ2 + AH 2 = 2a2 + = 2 4 2 ã CH 3 ã 0 tan CAÂH = = ị CAÂH = 30 . AÂH 3 Cõu 13. Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A'B'C ' cú AB a, AA' 3a . Gúc giữa hai đường thẳng AB' và CC ' bằng A. 30 . B. 60 . C. 45. D. 90 . Lời giải Chọn A Ta cú AB',CC ' AB', AA' ãA' AB'. A'B' 1 tan ãA' AB' ãA' AB' 30 . AA' 3 Cõu 14. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A B C cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A, BC 2a và AA 3a . Gúc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng
9. A. 60 .B. 30 .C. 45.D. 90 . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm của BC AM  BC (1) BC  AM Ta cú BC  A M (2) BC  AA Mặt khỏc ABC  A BC BC (3) Từ (1),(2),(3) suy ra ãABC ; A BC ãA MA . AA AA a 3 Xột tam giỏc A MA vuụng tại A cú tan ãA MA 3 ãA MA 60 . 1 1 AM BC .2a 2 2 Cõu 15. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2 , cạnh bờn SA 2 và vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Gúc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng A. 30 .B. 60 .C. 90 .D. 45. Lời giải Chọn D S D A B C Ta cú: hỡnh chiếu của SC lờn mặt phẳng ABCD là AC nờn Gúc giữa SC và mặt phẳng ABCD là Sã CA SA 2 tan Sã CA 1 AC 2. 2 Suy ra: Sã CA 45 . Cõu 16. Cho hỡnh lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cú độ dài cạnh bằng 6 . Khoảng cỏch giữa 2 đường thẳng BD và CC ' bằng
10. 6 A. .B. 2 .C. 3 .D. 2 . 2 Lời giải Chọn C BD  OC Ta cú d(CC '; BD) OC CC '  OC AC AB. 2 12 OC 3 . 2 2 2 Cõu 17. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với mặt phẳng ABC , SA 2a , tam giỏc ABC vuụng cõn tại B và AB 2a.(minh họa như hỡnh vẽ bờn). S A C B Gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng A. 60 . B. 45. C. 30 . D. 90 . Lời giải Chọn B S A C B SC  ABC C ã ã ã Ta cú: SC ,(ABC) (SC , AC) SCA . SA  ABC Mà: AC AB2 BC 2 2a2 2a2 2a SA . Vỡ SAC vuụng cõn tại A nờn ta cú Sã CA 45 .
11. Cõu 18. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng tại B , AB 3a , BC 3a ; SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và SA 2a . S A C B Gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đỏy bằng A. 60ο . B. 45ο . C. 30ο . D. 90ο . Lời giải Ta cú SA  ABC nờn gúc giữa SC và ABC bằng Sã CA. AC AB2 BC 2 9a2 3a2 2a 3 . SA 2a 1 Suy ra tan ãASC Sã AC 30ο . AC 2a 3 3 Cõu 19. Cho lập phương ABCD.A B C D cú cạnh bằng a .Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BD và A C bằng 3a A. 3a B. a C. D. 2a 2 Lời giải Chọn B Ta cú khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau BD và A C bằng khoảng cỏch giữa mặt phẳng song song ABCD và A B C D thứ tự chứa BD và A C . Do đú khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BD và A C bằng a . Cõu 20. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú tất cả cỏc cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của SD . Tang của gúc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD bằng S M A D B C
12. 2 3 2 1 A. B. C. D. 2 3 3 3 Lời giải Chọn D S M A D H O B C a2 a 2 Gọi O là tõm của hỡnh vuụng. Ta cú SO  ABCD và SO a2 2 2 Gọi M là trung điểm của OD ta cú MH / /SO nờn H là hỡnh chiếu của M lờn mặt phẳng 1 a 2 ABCD và MH SO . 2 4 Do đú gúc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD) là Mã BH . a 2 MH 1 Khi đú ta cú tan Mã BH 4 . BH 3a 2 3 4 1 Vậy tang của gúc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD bằng 3 Cõu 21. Cho tứ diện OABC cú OA, OB, OC đụi một vuụng gúc với nhau và OA OB OC . Gọi M là trung điểm của BC . Gúc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 900 B. 300 C. 600 D. 450 Lời giải Chọn C
13. Đặt OA a suy ra OB OC a và AB BC AC a 2 a 2 Gọi N là trung điểm AC ta cú MN / / AB và MN 2 Suy ra gúc ãOM , AB ãOM , MN . Xột Oã MN a 2 Trong tam giỏc OMN cú ON OM MN nờn OMN là tam giỏc đều 2 Suy ra Oã MN 600 . Vậy ãOM , AB ãOM , MN 600 Cõu 22. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và SB 2a . Gúc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đỏy bằng A. 60 B. 90 C. 30 D. 45 Lời giải Chọn A. S D A B C Do SA  ABCD nờn gúc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đỏy bằng gúc Sã BA. AB 1 Ta cú cos Sã BA Sã BA 60 . SB 2 Vậy gúc giữa đường thẳng SB và và mặt phẳng đỏy bằng bằng 60 . Cõu 23. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng đỉnh B , AB a , SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và SA 2a . Khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2 5a 5a 2 2a 5a A. B. C. D. 5 3 3 5 Lời giải Chọn A.
14. S 2a H A C a B BC  AB Ta cú BC  SAB . BC  SA Kẻ AH  SB . Khi đú AH  BC AH  SBC AH là khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng SBC . 1 1 1 1 1 5 4a2 2 5a Ta cú AH 2 AH . AH 2 SA2 AB2 4a2 a2 4a2 5 5 Cõu 24. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là ỡnh chữ nhật, AB a, BC 2a, SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và SA a. Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AC và SB bằng 6a 2a a a A. B. C. D. 2 3 2 3 Lời giải Chọn B. S H K A B O x D C Từ B kẻ Bx//AC AC// SB, Bx Suy ra d AC, SB d AC, SB, Bx d A, SB, Bx Từ A kẻ AK  Bx K Bx và AH  SK AK  Bx Do Bx  SAK Bx  AH SA  Bx Nờn AH  SB, Bx d A, SB, Bx AH Ta cú BKA đồng dạng với ABC vỡ hai tam giỏc vuụng cú Kã BA Bã AC Xột cỏc số phức z thỏa món
15. z i z 2 là số thuần ảo. Trờn mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả cỏc điểm biểu diễn số phức z là một đường trũn cú bỏn kớnh bằng 5 5 3 A.1 B. C. D. 4 2 2 Lời giải Chọn C. Đặt z x yi x, y Ă . z i z 2 x 1 y i x 2 yi là số thuần ảo x x 2 y y 1 0 x2 y2 2x y 0 . 1 5 Vậy tập hợp cỏc điểm biểu diễn số phức z là một đường trũn cú tõm I 1; , R . 2 2 Cõu 25. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và SA 2a . Gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đỏy bằng A. 45 B. 60 C. 30 D. 90 Lời giải Chọn A S D A B C Do SA  ABCD nờn gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đỏy bằng gúc Sã CA . SA Ta cú SA 2a , AC 2a tan Sã CA 1 Sã CA 45 . AC Vậy gúc giữa đường thẳng SC và và mặt phẳng đỏy bằng bằng 45. Cõu 26. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng đỉnh B , AB a , SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và SA a . Khoảng cỏch từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a a 6 a 2 A. B. a C. D. 2 3 2 Lời giải Chọn D
16. S H A C B Kẻ AH  SB trong mặt phẳng SBC BC  AB Ta cú: BC  SAB BC  AH BC  SA AH  BC 1 a 2 Vậy AH  SBC d A, SBC AH SB . AH  SB 2 2 Cõu 27. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật, AB a , BC 2a , SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và SA a . Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BD , SC bằng a 30 4 21a 2 21a a 30 A. B. C. D. 6 21 21 12 Lời giải Chọn C S M D A O B C Gọi O là tõm hỡnh chữ nhật và M là trung điểm SA , ta cú: SC// BMD . Do đú d SC, BD d SC, BMD d S, BMD d A, BMD h Ta cú: AM , AB, AD đụi một vuụng gúc nờn 1 1 1 1 4 1 1 h2 AM 2 AB2 AD2 a2 a2 4a2 2a 21 Suy ra: h . 21 Cõu 28. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng tại C , AC a , BC 2a , SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và SA a . Gúc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đỏy bằng A. 60 B. 90 C. 30 D. 45
17. Lời giải Chọn C Cú SA  ABC nờn AB là hỡnh chiếu của SA trờn mặt phẳng ABC . SãB, ABC SãB, AB Sã BA . Mặt khỏc cú ABC vuụng tại C nờn AB AC 2 BC 2 a 3 . SA 1 Khi đú tan Sã BA nờn SãB, ABC 30 . AB 3 Cõu 29. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D . Gúc giữa hai mặt phẳng A B CD và ABC D bằng A. 30 .B. 60 .C. 45.D. 90 . Lời giải Chọn D AB  AA Ta cú: + AB  ADD A AB  A D (1). AB  AD + AD  A D (2). Từ (1) và (2) suy ra A D  ABC D . A D  ABC D + A B CD  ABC D . A D  A B CD Vậy gúc giữa hai mặt phẳng A B CD và ABC D bằng 90 . Cõu 30. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi cạnh a, Bã AD 600 , SA a và SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng SCD bằng a 21 a 15 a 21 a 15 A. .B. .C. .D. . 7 7 3 3
18. Lời giải Chọn A S B H C B C A M M A D D K K Ta cú: AB//CD AB// SCD . Do đú: d B, SCD d A, SCD . Vỡ Bã AD 60 nờn Bã CD 60 . Mặt khỏc tứ giỏc ABCD là hỡnh thoi cạnh a nờn BCD là tam giỏc đều cạnh a . Gọi M là trung điểm của CD , suy ra BM  CD . Kẻ AK //BM , K CD , thỡ AK  CD. Kẻ AH  SK tại H. CD  AK Ta cú: CD  SAK CD  AH , mà SK  AH AH  SCD . CD  SA Do đú d A, SCD AH . a 3 Ta cú, tứ giỏc ABMK là hỡnh chữ nhật nờn AK BM . 2 SA.AK AH.SK SA.AK AH , SK a 3 a 7 a 21 SA a , AK , SK SA2 AK 2 AH . 2 2 7 a 21 Vậy d B, SCD d A, SCD AH . 7 Cõu 31. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với mặt phẳng ABC , SA 2a , tam giỏc ABC vuụng tại B , AB a 3 và BC a . Gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng A. 90 . B. 45 . C. 30 . D. 60 . Lời giải
19. Ta thấy hỡnh chiếu vuụng gúc của SC lờn ABC là AC nờn SãC, ABC Sã CA . SA Mà AC AB2 BC 2 2a nờn tan Sã CA 1. AC Vậy gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 45 . Cõu 32. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với mặt phẳng ABC , SA = 2a , tam giỏc ABC vuụng tại B , AB = a , BC = a 3 . Gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng A. 90o . B. 30o . C. 60o . D. 45o . Lời giải Chọn D S C A B Ta cú: SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) ị A là hỡnh chiếu của S lờn mặt phẳng (ABC) ị AC là hỡnh chiếu của SC lờn mặt phẳng (ABC) ộã ự ã ã ị ởSC,(ABC)ỷ= (SC, AC)= SCA DABC vuụng tại B ị AC 2 = AB2 + BC 2 = a2 + 3a2 = 4a2 ị AC = 2a SA 2a o ã o tan SãCA = = = 1ị SãCA = 45 ị ộSC,(ABC)ự= 45 . AC 2a ở ỷ Cõu 33. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với mặt phẳng ABC . SA 2a , tam giỏc ABC vuụng cõn tại B và AB a (minh họa như hỡnh vẽ bờn). Gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng
20. S A C B A. 45. B. 60 . C. 30 . D. 90 Lời giải Chọn A Vỡ tam giỏc ABC vuụng cõn tại B AC AB2 BC 2 a 2 Ta cú SãC, ABC Sã CA SA a 2 Mà tan Sã CA 1 Sã CA 45 . AC a 2 Cõu 34. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a 3 , SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và SA a 2 ( minh họa như hỡnh bờn). Gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng: S A D B C A. 45. B. 30. C. 60. D. 90. Lời giải Chọn B