4 Câu hỏi ôn tập Toán 11 - Chương 3: Quan hệ vuông góc (Mức độ 4)

Nội dung tài liệu: 4 Câu hỏi ôn tập Toán 11 - Chương 3: Quan hệ vuông góc (Mức độ 4)

1. Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M , N lần lượt là trung điểm của SC, SD (tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD). S N M G D A H B C 2 39 3 2 39 13 A. B. C. D. 39 6 13 13 Lời giải Chọn C  Cách 1: Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB, CD ; P SK  MN ; E PG  HK . Từ giả thiết suy ra SH  (ABCD) . Gọi d là đường thẳng đi qua E và song song AB d (GMN)  (ABCD) AB  KH d  EP Ta có : AB  SHK MN  SHK AB  SH d  EK nên ·(GMN);(ABCD) ·GP;GK G· EH 90o 1 a 3 a 39 EH HK a; GH SH EG 3 6 6 EH 2 39 cosG· EH EG 13  Cách 2: Có thể giải bằng phương pháp tọa độ hóa, chọn gốc tọa độ là H , các trục tọa độ đi qua B, K, S và chuẩn hóa cho a 1. Gọi H là trung điểm của AB. Vì SAB  ABCD SH  ABCD .
2. 3 1 1 Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, với H 0;0;0 , S 0;0; , C ;1;0 , D ;1;0 , 2 2 2 Khi đó 3 1 1 3 1 1 3   3 1 G 0;0; , M ; ; , N ; ; n n GM , MN 0; ; 1 GMN 6 4 2 4 4 2 4 24 4 Và mặt phẳng ABCD có vectơ pháp tuyến là n2 n ABCD 0;0;1 . n .n 2 39 Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng GMN , ABCD là cos 1 2 . n1 . n2 13 Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A . M là trung điểm của BC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm của AM . Biết AB a , AC a 3 và mặt phẳng ABS tạo với mặt phẳng ABC một góc 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC . a 3 3a 3a 3a A. . B. . C. . D. . 2 8 2 4 Lời giải Chọn D
3. Dựng hình bình hành ABCE . Hạ IH  AB, IK  AE , IL  SK, MP  AB, MQ  AE . MP AC a 3 IH . 2 4 4 AB  IH   AB  SIH AB  SH . AB  SI  3a Do đó SAB , ABC ·SH, HI S· HI 60 SI IH.tan 60 . 4 d SA; BC d BC, SAE d M , SAE 2d I, SAE . AE  IK   AE  SIK AE  IL . AE  SI  Và IL  SK IL  SAE d I, SEA IL . 2SABC AB.AC MQ a 3 IK BC 2 . 2 2 AB2 AC 2 4 IK.SI 3a 3a IL d SA, BC . SI 2 KI 2 8 4 Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O . Gọi I là tâm của hình vuông A B C D và M 1 là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO MI . Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D 2 và MAB bằng 17 13 6 85 7 85 6 13 A. B. C. D. 65 85 85 65 Lời giải Chọn D
4. Ta chọn hình lập phương có cạnh bằng 6 . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh C D và AB . Khi đó ta có MP MI 2 IP2 13 , MQ 5, PQ 6 2 Áp dụng định lý hàm cos ta được: MP2 MQ2 PQ2 17 13 cos P· MQ . 2MP.MQ 65 Gọi là góc giữa MC D và MAB : 6 13 sin . 65 Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A . AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 . Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM bằng S A C M B a 2 a 39 a a 21 A. .B. .C. . D. . 2 13 2 7 Lời giải Chọn B Cách 1 (Phương pháp hình học cổ điển): S H A C N M B
5. Gọi N là trung điểm của AB , khi đó MN //AC . Gọi H là hình chiếu của A lên SN . Dễ dàng chứng minh được AH  SMN . Suy ra d AC , SM d AC , SMN d A, SMN AH . 1 1 1 Trong tam giác SAN vuông tại A có: , trong đó AS a 3 , AH 2 AS 2 AN 2 1 a AN AB . 2 2 a 39 a 39 Suy ra AH . Vậy d AC , SM . 13 13 Cách 2 (Phương pháp tọa độ hóa): z S A C y B M x Chọn a 1, gắn bài toán vào hệ trục tọa độ Axyz , trong đó A 0;0;0 , B 1;0;0 , C 0;1;0 , 1 1 S 0;0; 3 , M ; ;0 . 2 2    SM , AC .AS  1 1  Ta có: d SM , AC   với SM ; ; 3 , AC 0;1;0 , 2 2 SM , AC  AS 0;0; 3 . 39 a 39 Suy ra d SM , AC , hay d SM , AC . 13 13