Bài tập Toán 11 - Chương III: Dãy số. Cấp số - Đậu Khắc Hà

Nội dung tài liệu: Bài tập Toán 11 - Chương III: Dãy số. Cấp số - Đậu Khắc Hà

1. Đậu Khắc Hà Ñaïi soá – Hình họ c 11 CHÖÔNG III: DAÕY SOÁ – CAÁP SOÁ I. Phöông phaùp qui naïp toaùn hoïc Ñeå chöùng minh meänh ñeà chöùa bieán A(n) laø moät meänh ñeà ñuùng vôùi moïi giaù trò nguyeân döông n, ta thöïc hieän nhö sau: Böôùc 1: Kieåm tra meänh ñeà ñuùng vôùi n = 1. Böôùc 2: Giaû thieát meänh ñeà ñuùng vôùi soá nguyeân döông n = k tuyø yù (k 1), chöùng minh raèng meänh ñeà ñuùng vôùi n = k + 1. Chuù yù: Neáu phaûi chöùng minh meänh ñeà A(n) laø ñuùng vôùi vôùi moïi soá nguyeân döông n p thì: + ÔÛ böôùc 1, ta phaûi kieåm tra meänh ñeà ñuùng vôùi n = p; + ÔÛ böôùc 2, ta giaû thieát meänh ñeà ñuùng vôùi soá nguyeân döông baát kì n = k p vaø phaûi chöùng minh meänh ñeà ñuùng vôùi n = k + 1. Baøi 1: Chöùng minh raèng vôùi moïi n N*, ta coù: nn( 1) n( n 1)(2 n 1) a) 1 + 2 + + n = b) 12 2 2 ... n 2 2 6 2 3 3 3 nn( 1) 2 c) 1 2 ... n d) 1.4 2.7 ... n (3 n 1) n ( n 1) 2 n( n 1)( n 2) 1 1 1 n e) 1.2 2.3 ... nn ( 1) f) ... 3 1.2 2.3n ( n 1) n 1 Baøi 2: Chöùng minh raèng vôùi moïi n N*, ta coù: a) 2n 2n 1 (n 3) b) 2n 2 2n 5 1 1 1 1 3 2n 1 1 c) 1 ... 2 (n 2) d) . ... 222n n 2 4 2n 21n 11 1 1 1 13 e) 1 ... 2 n f) ... (n > 1) 2 n n 1 n 2 2 n 24 Baøi 3: Chöùng minh raèng vôùi moïi n N*, ta coù: a) nn3 11 chia heát cho 6. b) n32 35 n n chia heát cho 3. c) 7.22nn 2 3 2 1 chia heát cho 5. d) nn3 2 chia heát cho 3. e) 322nn 1 2 chia heát cho 7. f) 13n 1 chia heát cho 6. nn( 3) Baøi 4: Chöùng minh raèng soá ñöôøng cheùo cuûa moät ña giaùc loài n caïnh laø . 2 Baøi 5: Daõy soá (an) ñöôïc cho nhö sau: a11 2, ann 2 a vôùi n = 1, 2, Chöùng minh raèng vôùi moïi n N* ta coù: an 2cos . 2n 1 II. Daõy soá 1. Daõy soá Mọi thắc mắc gửi về facebook: thayha Nbk Trang 49
2. Ñaïi soá 11 Đậu Khắc Hà u :* Daïng khai trieån: (un) = u1, u2, , un, n u() n 2. Daõy soá taêng, daõy soá giaûm (un) laø daõy soá taêng un+1 > un vôùi  n N*. un 1 un+1 – un > 0 vôùi  n N* 1 vôùi n N* ( un > 0). un (un) laø daõy soá giaûm un+1 < un vôùi n N*. un 1 un+1 – un 0). un 3. Daõy soá bò chaën (un) laø daõy soá bò chaën treân M R: un M, n N*. (un) laø daõy soá bò chaën döôùi m R: un m, n N*. (un) laø daõy soá bò chaën m, M R: m un M, n N*. Baøi 1: Haõy vieát 5 soá haïng ñaàu cuûa daõy soá (un) cho bôûi: 21n2 n ( 1)n n 1 a) u b) u c) u n 2 n n n 1 21n n2 1 n 1 2 (n 1)! d) un e) un ncos n f) un 3 2n Baøi 2: Haõy vieát 5 soá haïng ñaàu cuûa daõy soá (un) cho bôûi: 1 a) u 2, u u 1 b) u 15, u 9, u u u 11nn 3 1 2n 2 n n 1 2 c) uu 0, d) u 1, u 2, u u 2 u 11n 2 1 2n 2 n 1 n un 1 Baøi 3: Haõy vieát 5 soá haïng ñaàu cuûa daõy soá (un), döï ñoaùn coâng thöùc soá haïng toång quaùt un vaø chöùng minh coâng thöùc ñoù baèng qui naïp: 2 a) u11 1, unn 2 u 3 b) u11 3, unn 1 u c) u11 3, unn 2 u 5 u 1 d) u 1, u 2 u 1 e) u 1, u u 7 e) u ,u n 11nn 11nn 1 4 n 1 2 Baøi 4: Xeùt tính taêng, giaûm cuûa caùc daõy soá (un) cho bôûi: 21n 41n ( 1)n a) un b) un c) un 32n 45n n 2 2 nn 1 2 2 n d) un e) un ncos n f) un n2 1 n Baøi 5: Xeùt tính bò chaën treân, bò chaën döôùi, bò chaën cuûa caùc daõy soá (un) cho bôûi: 23n 1 a) u b) u c) un 2 4 n n 2 n nn( 1) n nn2 2 n d) u e) u f) u ( 1)n cos n 2 n n nn 1 n2 2 n n 2n III. Caáp soá coäng Trang 50
3. Đậu Khắc Hà Ñaïi soá – Hình họ c 11 1. Ñònh nghóa: (un) laø caáp soá coäng un+1 = un + d, n N* (d: coâng sai) 2. Soá haïng toång quaùt: un u1 ( n 1) d vôùi n 2 uu 3. Tính chaát caùc soá haïng: u kk 11 vôùi k 2 k 2 n() u u n 2 u ( n 1) d 4. Toång n soá haïng ñaàu tieân: S u u ... u 1 n = 1 nn12 2 2 Baøi 1: Trong caùc daõy soá (un) döôùi ñaây, daõy soá naøo laø caáp soá coäng, khi ñoù cho bieát soá haïng ñaàu vaø coâng sai cuûa noù: 32n 2 a) un = 3n – 7 b) u c) un n 5 n 73 n n d) u 3n e) u f) u 1 n n 2 n 2 Baøi 2: Tìm soá haïng ñaàu vaø coâng sai cuûa caáp soá coäng, bieát: u u u 10 u u u 10 u 15 a) 1 5 3 b) 2 5 3 c) 3 uu16 17 uu46 26 u14 18 uu 8 uu7 15 60 u u u 12 d) 73 e) f) 1 3 5 uu. 75 22 u u u 8 27 uu4 12 1170 1 2 3 Baøi 3: a) Giöõa caùc soá 7 vaø 35 haõy ñaët theâm 6 soá nöõa ñeå ñöôïc moät caáp soá coäng. b) Giöõa caùc soá 4 vaø 67 haõy ñaët theâm 20 soá nöõa ñeå ñöôïc moät caáp soá coäng. Baøi 4: a) Tìm 3 soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá coäng, bieát toång cuûa chuùng laø 27 vaø toång caùc bình phöông cuûa chuùng laø 293. b) Tìm 4 soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá coäng, bieát toång cuûa chuùng baèng 22 vaø toång caùc bình phöông cuûa chuùng baèng 66. Baøi 5: a) Ba goùc cuûa moät tam giaùc vuoâng laäp thaønh moät caáp soá coäng. Tìm soá ño caùc goùc ñoù. b) Soá ño caùc goùc cuûa moät ña giaùc loài coù 9 caïnh laäp thaønh moät caáp soá coäng coù coâng sai d = 30. Tìm soá ño cuûa caùc goùc ñoù. c) Soá ño caùc goùc cuûa moät töù giaùc loài laäp thaønh moät caáp soá coäng vaø goùc lôùn nhaát gaáp 5 laàn goùc nhoû nhaát. Tìm soá ño caùc goùc ñoù. Baøi 6: Chöùng minh raèng neáu 3 soá a, b, c laäp thaønh moät caáp soá coäng thì caùc soá x, y, z cuõng laäp thaønh moät caáp soá coäng, vôùi: a) xb 2 bccyc 2;; 2 caaza 2 2 abb 2 b) x a2 bcy;; b 2 cazc 2 ab Baøi 7: Tìm x ñeå 3 soá a, b, c laäp thaønh moät caáp soá coäng, vôùi: a) a 10 3 x ; b 2 x2 3; c 7 4 x b) a x 1; b 3 x 2; c x2 1 Baøi 8: Tìm caùc nghieäm soá cuûa phöông trình: x32 15 x 71 x 105 0 , bieát raèng caùc nghieäm soá phaän bieät vaø taïo thaønh moät caáp soá coäng. Baøi 9: Ngöôøi ta troàng 3003 caây theo moät hình tam giaùc nhö sau: haøng thöù nhaát coù 1 caây, haøng thöù hai coù 2 caây, haøng thöù ba coù 3 caây, . Hoûi coù bao nhieâu haøng? Mọi thắc mắc gửi về facebook: thayha Nbk Trang 51
4. Ñaïi soá 11 Đậu Khắc Hà IV. Caáp soá nhaân 1. Ñònh nghóa: (un) laø caáp soá nhaân un+1 = un.q vôùi n N* (q: coâng boäi) n 1 2. Soá haïng toång quaùt: un u1. q vôùi n 2 2 3. Tính chaát caùc soá haïng: uk u k 11. u k vôùi k 2 Sn nu1 vôùi q 1 4. Toång n soá haïng ñaàu tieân: n uq1(1 ) Sn vôùi q 1 1 q Baøi 1: Tìm soá haïng ñaàu vaø coâng boäi cuûa caáp soá nhaân, bieát: uu 72 u u u 65 uu 90 a) 42 b) 1 3 5 c) 35 uu53 144 uu17 325 uu26 240 u1 u 2 u 3 21 u u u 14 u1 u 2 u 3 u 4 30 d) 1 2 3 e) 1 1 1 7 f) u. u . u 64 2222 1 2 3 uuuu1 2 3 4 340 u1 u 2 u 3 12 Baøi 2: a) Giöõa caùc soá 160 vaø 5 haõy cheøn vaøo 4 soá nöõa ñeå taïo thaønh moät caáp soá nhaân. b) Giöõa caùc soá 243 vaø 1 haõy ñaët theâm 4 soá nöõa ñeå taïo thaønh moät caáp soá nhaân. Baøi 3: Tìm 3 soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá nhaân bieát toång cuûa chuùng laø 19 vaø tích laø 216. Baøi 4: a) Tìm soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá nhaân, bieát raèng coâng boäi laø 3, toång soá caùc soá haïng laø 728 vaø soá haïng cuoái laø 486. b) Tìm coâng boäi cuûa moät caáp soá nhaân coù soá haïng ñaàu laø 7, soá haïng cuoái laø 448 vaø toång soá caùc soá haïng laø 889. Baøi 5: a) Tìm 4 goùc cuûa moät töù giaùc, bieát raèng caùc goùc ñoù laäp thaønh moät caáp soá nhaân vaø goùc cuoái gaáp 9 laàn goùc thöù hai. b) Ñoä daøi caùc caïnh cuûa ABC laäp thaønh moät caáp soá nhaân. Chöùng minh raèng ABC coù hai goùc khoâng quaù 600. Baøi 6: Tìm boán soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá nhaân, trong ñoù soá haïng thöù hai nhoû hôn soá haïng thöù nhaát 35, coøn soá haïng thöù ba lôùn hôn soá haïng thöù tö 560. Baøi 7: Soá soá haïng cuûa moät caáp soá nhaân laø moät soá chaün. Toång taát caû caùc soá haïng cuûa noù lôùn gaáp 3 laàn toång caùc soá haïng coù chæ soá leû. Xaùc ñònh coâng boäi cuûa caáp soá ñoù. 148 Baøi 8: Tìm 4 soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá nhaân, bieát raèng toång 3 soá haïng ñaàu laø , ñoàng 9 thôøi, theo thöù töï, chuùng laø soá haïng thöù nhaát, thöù tö vaø thöù taùm cuûa moät caáp soá coäng. Baøi 9: Tìm 3 soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá nhaân, bieát raèng khi taêng soá thöù hai theâm 2 thì caùc soá ñoù taïo thaønh moät caáp soá coäng, coøn neáu sau ñoù taêng soá cuoái theâm 9 thì chuùng laïi laäp thaønh moät caáp soá nhaân. Baøi 10: Tìm 4 soá trong ñoù ba soá ñaàu laø ba soá haïng keá tieáp cuûa moät caáp soá nhaân, coøn ba soá sau laø ba soá haïng keá tieáp cuûa moät caáp soá coäng; toång hai soá ñaàu vaø cuoái baèng 32, toång hai soá giöõa baèng 24. Baøi 11: Tìm caùc soá döông a vaø b sao cho a, a + 2b, 2a + b laäp thaønh moät caáp soá coäng vaø (b + 1)2, ab + 5, (a + 1)2 laäp thaønh moät caáp soá nhaân. 2 1 2 Baøi 12: Chöùng minh raèng neáu 3 soá ,, laäp thaønh moät caáp soá coäng thì 3 soá x, y, z y x y y z laäp thaønh moät caáp soá nhaân. Trang 52
5. Đậu Khắc Hà Ñaïi soá – Hình họ c 11 CHÖÔNG IV GIÔÙI HAÏN I. Giôùi haïn cuûa daõy soá Giôùi haïn höõu haïn Giôùi haïn voâ cöïc 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1 1 k lim 0 ; lim 0 (k ) lim n limnk ( ) n n n k n limqqn ( 1) limqqn 0 ( 1) ; lim CC n n 2. Ñònh lí: 2. Ñònh lí : 1 a) Neáu lim un thì lim 0 a) Neáu lim un = a, lim vn = b thì un lim (un + vn) = a + b un b) Neáu lim un = a, lim vn = thì lim = 0 lim (un – vn) = a – b vn lim (un.vn) = a.b c) Neáu lim un = a 0, lim vn = 0 u a lim n (neáu b 0) u neáu a.0 v vb thì lim n = n n neáu a.0 v vn n b) Neáu un 0, n vaø lim un= a d) Neáu lim un = + , lim vn = a thì a 0 vaø lim ua n neáu a 0 thì lim(un.vn) = neáu a 0 c) Neáu uvnn ,n vaø lim vn = 0 thì lim un = 0 * Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc daïng voâ d) Neáu lim un = a thì lim ua n 0 3. Toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn ñònh: , , – , 0. thì phaûi tìm caùch 0 2 u1 S = u1 + u1q + u1q + = q 1 khöû daïng voâ ñònh. 1 q Moät soá phöông phaùp tìm giôùi haïn cuûa daõy soá: Chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa n. 1 1 1 13 n 11 n2 n3 n VD: a) lim lim n b) lim limn 1 2n 33 2 12 n 1 2 2 n n 22 41 c) lim(n 4 n 1) lim n 1 n n2 Nhaân löôïng lieân hôïp: Duøng caùc haèng ñaúng thöùc ababab ; 3 aba 3 3322 3 abbab n22 33 n n n n n 3n 3 VD: lim n2 3 n n = lim = lim = n2 3 n n n2 3 n n 2 Khi tính caùc giôùi haïn daïng phaân thöùc, ta chuù yù moät soá tröôøng hôïp sau ñaây: Neáu baäc cuûa töû nhoû hôn baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù baèng 0. Mọi thắc mắc gửi về facebook: thayha Nbk Trang 53
6. Ñaïi soá 11 Đậu Khắc Hà Neáu baäc cuûa töø baèng baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù baèng tæ soá caùc heä soá cuûa luyõ thöøa cao nhaát cuûa töû vaø cuûa maãu. Neáu baäc cuûa töû lôùn hôn baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù laø + neáu heä soá cao nhaát cuûa töû vaø maãu cuøng daáu vaø keát quaû laø – neáu heä soá cao nhaát cuûa töû vaø maãu traùi daáu. Baøi 6: Tính caùc giôùi haïn sau: 23nn2 21n 32n32 n n a) lim b) lim c) lim 3nn2 2 1 nn32 43 n3 4 n4 n2 1 23nn42 d) lim e) lim f) lim (n 1)(2 n )( n2 1) 21nn4 3nn32 2 1 Baøi 7: Tính caùc giôùi haïn sau: 13 n 4.3nn 7 1 46nn 12 a) lim b) lim c) lim 43 n 2.5nn 7 58nn 25nn 1 1 2.3nn 7 1 2.3nn 6 d) lim e) lim f) lim 15 n 5nn 2.7 2nn (3 1 5) Baøi 8: Tính caùc giôùi haïn sau: 4nn2 1 2 1 nn2 34 nn26 3 1 a) lim b) lim c) lim n2 41 n n nn2 2 nn42 1 4nn2 1 2 (2n n 1)( n 3) n22 4 n 4 n 1 d) lim e) lim f) lim n2 41 n n (nn 1)( 2) 31nn2 Baøi 9: Tính caùc giôùi haïn sau: 1 1 1 1 1 1 a) lim ... b) lim ... 1.3 3.5 (2nn 1)(2 1) 1.3 2.4nn ( 2) 1 1 1 1 1 1 c) lim 1 1 ... 1 d) lim ... 232 2 n 2 1.2 2.3nn ( 1) 1 2 ... n 1 2 22 ... 2n e) lim f) lim nn2 3 1 3 32 ... 3n Baøi 10: Tính caùc giôùi haïn sau: 2 22 3 3 a) lim n 2 n n 1 b) lim n n n 2 c) lim 2n n n 1 24 2 1 d) lim 1 n n 3 n 1 e) lim n n n f) lim nn22 24 4nn2 1 2 1 nn26 3 1 n22 4 n 4 n 1 g) lim h) lim i) lim n2 41 n n nn42 1 31nn2 II. Giôùi haïn cuûa haøm soá Giôùi haïn höõu haïn Giôùi haïn voâ cöïc, giôùi haïn ôû voâ cöïc Trang 54
7. Đậu Khắc Hà Ñaïi soá – Hình họ c 11 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: lim xx 0 ; lim cc (c: haèng soá) k k neáu k chaün xx xx lim x ; lim x 0 0 x x neáu k leû 2. Ñònh lí: c a) Neáu limf ( x ) L vaø limg ( x ) M lim cc ; lim 0 x x k xx 0 xx 0 x thì: lim f ( x ) g ( x ) L M 1 1 xx lim ; lim 0 x 0 x x 0 x lim f ( x ) g ( x ) L M xx 11 0 lim lim lim f ( x ). g ( x ) L . M xx 00xx xx 0 2. Ñònh lí: f() x L Neáu 0 vaø limgx ( ) thì: lim (neáu M 0) xx 0 xx 0 g() x M neáu L vaølim g ( x ) cuøng daáu b) Neáu f(x) 0 vaø xx limf ( x ) g ( x ) 0 xx neáu L vaølim g ( x ) traùi daáu 0 xx thì L 0 vaø limf ( x ) L 0 xx 0 0neáu lim g ( x ) c) Neáu thì limf ( x ) L xx 0 xx fx() 0 lim neáu lim g ( x ) 0 vaø L . g ( x ) 0 x xgx() x x 3. Giôùi haïn moät beân: 00 neáulim g ( x ) 0 vaø L . g ( x ) 0 xx 0 limf ( x ) lim f ( x ) L * Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc daïng voâ ñònh: x x x x 00 , , – , 0. thì phaûi tìm caùch khöû daïng voâ ñònh. Moät soá phöông phaùp khöû daïng voâ ñònh: 0 0 1. Daïng 0 0 Px() a) L = lim vôùi P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc vaø P(x0) = Q(x0) = 0 xx 0 Qx() Phaân tích caû töû vaø maãu thaønh nhaân töû vaø ruùt goïn. x3 8 ( x 2)( x 2 2 x 4) x 2 2 x 4 12 VD: lim lim lim 3 x 2x2 4 x 2(x 2)( x 2) x 2 x 2 4 b) L = vôùi P(x0) = Q(x0) = 0 vaø P(x), Q(x) laø caùc bieåu thöùc chöùa caên cuøng baäc Söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc ñeå nhaân löôïng lieân hôïp ôû töû vaø maãu. 2 4 x 2 4 x 2 4 x 1 1 VD: lim lim lim x 0x x 0xx 24 x 0 24 x 4 c) L = vôùi P(x0) = Q(x0) = 0 vaø P(x) laø bieâåu thöùc chöùa caên khoâng ñoàng baäc mn mn Giaû söû: P(x) = ux()()()() vxvôùi ux00 vx a . Ta phaân tích P(x) = mnu()() x a a v x . 33x 1 1 x x 1 1 1 1 x VD: lim lim xx 00x x x Mọi thắc mắc gửi về facebook: thayha Nbk Trang 55
8. Ñaïi soá 11 Đậu Khắc Hà 1 1 1 1 5 = lim x 02 3 3 3 2 6 (xx 1) 1 1 11 x Px() 2. Daïng : L = lim vôùi P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc hoaëc caùc bieåu thöùc chöùa caên. x Qx() – Neáu P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc thì chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa x. – Neáu P(x), Q(x) coù chöùa caên thì coù theå chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa x hoaëc nhaân löôïng lieân hôïp. 53 2 2xx2 5 3 x 2 VD: a) lim limx 2 xx 2 63 xx 63 1 x x2 3 2 23x b) lim limx 1 xx 2 1 xx 1 11 x2 3. Daïng – : Giôùi haïn naøy thöôøng coù chöùa caên Ta thöôøng söû duïng phöông phaùp nhaân löôïng lieân hôïp cuûa töû vaø maãu. 1 x x 1 x x 1 VD: lim 1 xx lim lim 0 x x 11 x x x x x 4. Daïng 0. : Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp nhö caùc daïng ôû treân. x x 2. x 0. 2 VD: lim (x 2) lim 0 xx 22 x2 4 x 2 2 Baøi 6: Tìm caùc giôùi haïn sau: sin x 1 x x23 x 31xx2 a) lim b) lim c) lim 4 x 0 x 1 1 x x 1 x x 2 x 1 xx2 1 xx2 23 d) lim e) lim f) lim x 1 xx4 3 x 2 x 1 x 1 x 1 x 83 3 3xx2 4 3 2 1 g) lim h) lim i) limx2 sin x 1 x 2 x 2 x 1 x 0 2 Baøi 7: Tìm caùc giôùi haïn sau: x32 x x 1 x4 1 x5 1 a) lim b) lim c) lim x 1 xx2 32 x 1 x32 2 x x x 1 x3 1 x32 5 x 3 x 9 x 54 x56 x xm 1 d) lim e) lim f) lim x 3 xx42 89 x 1 (1 x )2 x 1 xn 1 (1 x )(1 2 x )(1 3 x ) 1 x x2 ... xn n x4 16 g) lim h) lim i) lim x 0 x x 1 x 1 x 2 xx32 2 Baøi 8: Tìm caùc giôùi haïn sau: Trang 56
9. Đậu Khắc Hà Ñaïi soá – Hình họ c 11 4x 1 3 3 x 1 11 x2 a) lim b) lim . c) lim x 2 x2 4 x 1 3 4x 4 2 x 0 x x 22 2xx 2 3 1 x2 11 d) lim e) lim f) lim x 2 x 73 x 1 x 1 x 02x 16 4 11 x xx 32 xx 9 16 7 g) lim h) lim i) lim x 0 3 11 x x 3 xx2 3 x 0 x Baøi 9: Tìm caùc giôùi haïn sau: 11 xx 3 3 8xx 11 7 2 1 xx 3 8 a) lim b) lim c) lim x 0 x x 2 xx2 32 x 0 x 1 4xx 3 1 6 3 8xx 11 7 57 xx32 3 d) lim e) lim f) lim x 0 x2 x 2 2xx2 5 2 x 1 x2 1 1 4xx . 1 6 1 1 2xx .3 1 4 1 3 xx 11 g) lim h) lim i) lim x 0 x x 0 x x 0 x Baøi 10: Tìm caùc giôùi haïn sau: x2 1 21xx2 21x2 a) lim b) lim c) lim x 21xx2 x x 2 x xx32 32 x2 2 x 3 4 x 1 4x2 2 x 1 2 x xx 1 d) lim e) lim f) lim 2 x 4xx2 1 2 x 9x2 3 x 2 x x xx 1 (2xx 1)2 3 x2 23 x x xx2 52 g) lim h) lim i) lim 2 x xx 5 x 4xx2 1 2 x 21x Baøi 11: Tìm caùc giôùi haïn sau: 2 2 a) lim x x x b) lim 2x 1 4 x 4 x 3 x x 233 c) lim xx 1 1 d) lim x x x x x x e) lim 33 2xx 1 2 1 f) lim 3 3xx32 1 2 x x 13 11 g) lim h) lim x 1 1 x 1 x3 x 2 x22 3 x 2 x 5 x 6 Baøi 12: Tìm caùc giôùi haïn sau: x 15 x 15 1 3xx 2 2 a) lim b) lim c) lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x2 4 2 x 2 x d) lim e) lim f) lim x 2 x 2 x 2 2xx2 5 2 x 2 2xx2 5 2 Chương III: QUAN HỆ VUÔNG GÓC VẤN ĐỀ 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ. Mọi thắc mắc gửi về facebook: thayha Nbk Trang 57
10. Ñaïi soá 11 Đậu Khắc Hà Döïa vaøo qui taéc caùc pheùp toaùn veà vectô vaø caùc heä thöùc vectô. + Quy taéc 3 ñieåm: A, B, C tuøy yù. Ta coù: AB BC AC ; AB AC CB + Quy taéc trừ: O, A, B tuøy yù. Ta coù: 0B OA AB ; AB OB OA + Qui taéc hình bình haønh: ABCD laø hình bình haønh AB AD AC + Qui tắc hình hộp: ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp AB AD AA'' AC + Neáu I laø trung ñieåm AB, M tuøy yù. Ta coù: IA IB IA IB 0 hay AI BI 0 vaø MA MB2 MI + Neáu G laø troïng taâm tam giaùc ABC, M tuøy yù. Ta coù: GA GB GC 0 hay AG BG CG 0 vaø MA MB MC 3 MG + AB BA 1. Cho töù dieän ABCD. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD, I laø trung ñieåm cuûa EF. CM a) IA IB IC ID 0. b) MA MB MC MD 4 MI , vôùi M tuyø yù. 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm BCD , O là trung điểm đoạn AG. CMR: a) 30OA OB OC OD b) 36MA MB MC MD MO 3. Cho töù dieän ABCD .Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AD vaø BC .G laø troïng taâm cuûa tam giaùc BCD. Chöùng minh raèng : VẤN ĐỀ 2: Tích vô hướng và ứng dụng. Goùc giöõa hai vectô trong khoâng gian: AB u,(,) AC v u v BAC (000 BAC 180 ) Tích voâ höôùng cuûa hai vectô trong khoâng gian: + Cho uv,0 . Tích vô hướng của 2 vectơ là: u. v u . v .cos( u , v ) + Vôùi u 00 hoaëc v . Qui öôùc: uv.0 + u v u.0 v 2 Tính độ dài 1 đoạn thẳng: AB AB AB 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Tất cả các cạnh bên và cạnh đáy của hình chóp = a. Tính các tích vô hướng: a) SA. SB b) SA. SC c) SA. BA 2. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều cạnh a. Chứng minh rằng AB và CD vuông góc với nhau. Trang 58