Đề cương ôn tập môn Đại số 11 - Chương IV+V

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Đại số 11 - Chương IV+V

1. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 CHÖÔNG IV GIÔÙI HAÏN I. Giôùi haïn cuûa daõy soá Giôùi haïn höõu haïn Giôùi haïn voâ cöïc 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1 1 k lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim n lim n (k ¢ ) n n n k n lim qn (q 1) lim qn 0 ( q 1) ; lim C C n n 2. Ñònh lí: 1 2. Ñònh lí : a) Neáu lim u thì lim 0 n u a) Neáu lim un = a, lim vn = b thì n lim (u + v ) = a + b u n n b) Neáu lim u = a, lim v = thì lim n = lim (u – v ) = a – b n n n n vn lim (un.vn) = a.b 0 u a lim n (neáu b 0) c) Neáu lim un = a 0, lim vn = 0 vn b u neáu a.v 0 thì lim n = n neáu a.v 0 b) Neáu un 0, n vaø lim un= a vn n thì a 0 vaø lim un a d) Neáu lim un = + , lim vn = a c) Neáu u v ,n vaø lim v = 0 neáu a 0 n n n thì lim(un.vn) = neáu a 0 thì lim un = 0 d) Neáu lim u = a thì lim u a n n * Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc 3. Toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn 0 u daïng voâ ñònh: , , – , 0. thì phaûi 2 1 0 S = u1 + u1q + u1q + = q 1 1 q tìm caùch khöû daïng voâ ñònh. Moät soá phöông phaùp tìm giôùi haïn cuûa daõy soá: Chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa n. 1 1 n 1 1 VD: a) lim lim n b) 2n 3 3 2 2 n 1 1 3 n2 n 3n lim lim n 1 1 2n 1 2 n 2 2 4 1 c) lim(n 4n 1) lim n 1 n n2 Nhaân löôïng lieân hôïp: Duøng caùc haèng ñaúng thöùc
2. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 a b a b a b; 3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 a b n2 3n n n2 3n n 3n 3 VD: lim n2 3n n = lim = lim = n2 3n n n2 3n n 2 Khi tính caùc giôùi haïn daïng phaân thöùc, ta chuù yù moät soá tröôøng hôïp sau ñaây: Neáu baäc cuûa töû nhoû hôn baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù baèng 0. Neáu baäc cuûa töø baèng baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù baèng tæ soá caùc heä soá cuûa luyõ thöøa cao nhaát cuûa töû vaø cuûa maãu. Neáu baäc cuûa töû lôùn hôn baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù laø + neáu heä soá cao nhaát cuûa töû vaø maãu cuøng daáu vaø keát quaû laø – neáu heä soá cao nhaát cuûa töû vaø maãu traùi daáu. Baøi 1: Tính caùc giôùi haïn sau: 2n2 n 3 2n 1 3n3 2n2 n a) lim b) lim c) lim 3n2 2n 1 n3 4n2 3 n3 4 n4 n2 1 2n4 n2 3 d) lim e) lim f) lim (n 1)(2 n)(n2 1) 2n4 n 1 3n3 2n2 1 Baøi 2: Tính caùc giôùi haïn sau: 1 3n 4.3n 7n 1 4n 1 6n 2 a) lim b) lim c) lim 4 3n 2.5n 7n 5n 8n 2n 5n 1 1 2.3n 7n 1 2.3n 6n d) lim e) lim f) lim 1 5n 5n 2.7n 2n (3n 1 5) Baøi 3: Tính caùc giôùi haïn sau: 4n2 1 2n 1 n2 3 n 4 n2 3 1 n6 a) lim b) lim c) lim n2 4n 1 n n2 2 n n4 1 n2 4n2 1 2n (2n n 1)( n 3) n2 4n 4n2 1 d) lim e) lim f) lim n2 4n 1 n (n 1)(n 2) 3n2 1 n Baøi 4: Tính caùc giôùi haïn sau: 1 1 1 1 1 1 a) lim ... b) lim ... 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) 1.3 2.4 n(n 2) 1 1 1 1 1 1 c) lim 1 1 ... 1 d) lim ... 22 32 n2 1.2 2.3 n(n 1) 1 2 ... n 1 2 22 ... 2n e) lim f) lim n2 3n 1 3 32 ... 3n Baøi 5: Tính caùc giôùi haïn sau: 2 2 2 3 3 a) lim n 2n n 1 b) lim n n n 2 c) lim 2n n n 1 Trang 2
3. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 2 4 2 1 d) lim 1 n n 3n 1 e) lim n n n f) lim n2 2 n2 4 4n2 1 2n 1 n2 3 1 n6 n2 4n 4n2 1 g) lim h) lim i) lim n2 4n 1 n n4 1 n2 3n2 1 n II. Giôùi haïn cuûa haøm soá Giôùi haïn höõu haïn Giôùi haïn voâ cöïc, giôùi haïn ôû voâ cöïc 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: lim x x0 ; lim c c (c: k k neáu k chaün x x x x lim x ; lim x 0 0 x x neáu k leû haèng soá) c 2. Ñònh lí: lim c c ; lim 0 x x xk a) Neáu lim f (x) L vaø lim g(x) M x x x x 1 1 0 0 lim ; lim thì: lim  f (x) g(x) L M x 0 x x 0 x x x 0 1 1 lim lim lim  f (x) g(x) L M x 0 x x 0 x x x0 2. Ñònh lí: lim  f (x).g(x) L.M x x0 Neáu lim f (x) L 0 vaø lim g(x) thì: x x x x f (x) L 0 0 lim (neáu M 0) neáu L vaø lim g(x) cuøng daáu x x 0 g(x) M x x lim f (x)g(x) 0 b) Neáu f(x) 0 vaø lim f (x) L x x neáu L vaø lim g(x) traùi daáu 0 x x x x0 0 thì L 0 vaø lim f (x) L 0 neáu lim g(x) x x x x 0 f (x) 0 lim neáu lim g(x) 0 vaø L.g(x) 0 c) Neáu lim f (x) L thì x x x x x x 0 g(x) 0 0 neáu lim g(x) 0 vaø L.g(x) 0 x x lim f (x) L 0 x x0 * Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc daïng voâ 3. Giôùi haïn moät beân: 0 lim f (x) L ñònh: , , – , 0. thì phaûi tìm caùch khöû x x0 0 daïng voâ ñònh. lim f (x) lim f (x) L x x0 x x0 Moät soá phöông phaùp khöû daïng voâ ñònh: 0 1. Daïng 0 P(x) a) L = lim vôùi P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc vaø P(x0) = Q(x0) = 0 x x0 Q(x) Phaân tích caû töû vaø maãu thaønh nhaân töû vaø ruùt goïn. x3 8 (x 2)(x2 2x 4) x2 2x 4 12 VD: lim lim lim 3 x 2 x2 4 x 2 (x 2)(x 2) x 2 x 2 4 Trang 3
4. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 P(x) b) L = lim vôùi P(x0) = Q(x0) = 0 vaø P(x), Q(x) laø caùc bieåu thöùc chöùa caên x x0 Q(x) cuøng baäc Söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc ñeå nhaân löôïng lieân hôïp ôû töû vaø maãu. 2 4 x 2 4 x 2 4 x 1 1 VD: lim lim lim x 0 x x 0 x 2 4 x x 0 2 4 x 4 P(x) c) L = lim vôùi P(x0) = Q(x0) = 0 vaø P(x) laø bieâåu thöùc chöùa caên khoâng ñoàng x x0 Q(x) baäc m n m n Giaû söû: P(x) = u(x) v(x) vôùi u(x0 ) v(x0 ) a . Ta phaân tích P(x) = m u(x) a a n v(x) . 3 x 1 1 x 3 x 1 1 1 1 x VD: lim lim x 0 x x 0 x x 1 1 1 1 5 = lim x 0 3 2 3 3 2 6 (x 1) x 1 1 1 1 x P(x) 2. Daïng : L = lim vôùi P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc hoaëc caùc bieåu thöùc chöùa x Q(x) caên. – Neáu P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc thì chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa x. – Neáu P(x), Q(x) coù chöùa caên thì coù theå chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa x hoaëc nhaân löôïng lieân hôïp. 5 3 2 2x2 5x 3 x 2 VD: a) lim lim x 2 x 2 x 6 3 x 6x 3 1 x x2 3 2 2x 3 b) lim lim x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 1 x2 3. Daïng – : Giôùi haïn naøy thöôøng coù chöùa caên Ta thöôøng söû duïng phöông phaùp nhaân löôïng lieân hôïp cuûa töû vaø maãu. 1 x x 1 x x 1 VD: lim 1 x x lim lim 0 x x 1 x x x 1 x x 4. Daïng 0. : Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp nhö caùc daïng ôû treân. x x 2. x 0. 2 VD: lim (x 2) lim 0 x 2 x2 4 x 2 x 2 2 Baøi 1: Tìm caùc giôùi haïn sau: Trang 4
5. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 sin x 1 x x2 x3 3x2 1 x a) lim b) lim c) lim 4 x 0 x 1 1 x x 1 x x 2 x 1 x2 x 1 x2 2x 3 d) lim e) lim f) lim x 1 x4 x 3 x 2 x 1 x 1 x 1 x 8 3 3 3x2 4 3x 2 1 g) lim h) lim i) lim x2 sin x 1 x 2 x 2 x 1 x 0 2 Baøi 2: Tìm caùc giôùi haïn sau: x3 x2 x 1 x4 1 x5 1 a) lim b) lim c) lim x 1 x2 3x 2 x 1 x3 2x2 x x 1 x3 1 x3 5x2 3x 9 x 5x5 4x6 xm 1 d) lim e) lim f) lim x 3 x4 8x2 9 x 1 (1 x)2 x 1 xn 1 (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 x x2 ... xn n x4 16 g) lim h) lim i) lim x 0 x x 1 x 1 x 2 x3 2x2 Baøi 3: Tìm caùc giôùi haïn sau: 4x 1 3 3 x 1 1 x2 1 a) lim b) lim . c) lim x 2 x2 4 x 1 3 4x 4 2 x 0 x x 2 2 2x 2 3x 1 x2 1 1 d) lim e) lim f) lim x 2 x 7 3 x 1 x 1 x 0 x2 16 4 1 x 1 x 3 2x g) lim h) lim i) x 0 3 1 x 1 x 3 x2 3x x 9 x 16 7 lim x 0 x Baøi 4: Tìm caùc giôùi haïn sau: 1 x 3 1 x 3 8x 11 x 7 2 1 x 3 8 x a) lim b) lim c) lim x 0 x x 2 x2 3x 2 x 0 x 1 4x 3 1 6x 3 8x 11 x 7 5 x3 3 x2 7 d) lim e) lim f) lim x 0 x2 x 2 2x2 5x 2 x 1 x2 1 1 4x. 1 6x 1 1 2x.3 1 4x 1 3 x 1 1 x g) lim h) lim i) lim x 0 x x 0 x x 0 x Baøi 5: Tìm caùc giôùi haïn sau: x2 1 2x2 x 1 2x2 1 a) lim b) lim c) lim x 2x2 x 1 x x 2 x x3 3x2 2 x2 2x 3 4x 1 4x2 2x 1 2 x x x 1 d) lim e) lim f) lim 2 x 4x2 1 2 x x 9x2 3x 2x x x x 1 (2x 1) x2 3 x2 2x 3x x2 5x 2 g) lim h) lim i) lim 2 x x 5x x 4x2 1 x 2 x 2 x 1 Trang 5
6. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 Baøi 6: Tìm caùc giôùi haïn sau: 2 2 a) lim x x x b) lim 2x 1 4x 4x 3 x x 2 3 3 c) lim x 1 x 1 d) lim x x x x x x e) lim 3 2x 1 3 2x 1 f) lim 3 3x3 1 x2 2 x x 1 3 1 1 g) lim h) lim x 1 1 x 1 x3 x 2 x2 3x 2 x2 5x 6 Baøi 7: Tìm caùc giôùi haïn sau: x 15 x 15 1 3x 2x2 a) lim b) lim c) lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x2 4 2 x 2 x d) lim e) lim f) lim x 2 x 2 x 2 2x2 5x 2 x 2 2x2 5x 2 Baøi 8: Tìm caùc giôùi haïn moät beân cuûa haøm soá taïi ñieåm ñöôïc chæ ra: 1 x 1 khi x 0 9 x2 3 1 x 1 khi x 3 a) f (x) taïi x 0 b) f (x) x 3 taïi x 3 3 khi x 0 1 x khi x 3 2 2 x 2x x2 3x 2 khi x 2 khi x 1 3 2 c) f (x) 8 x taïi x 2 d) f (x) x 1 taïi x 1 x4 16 x khi x 2 khi x 1 x 2 2 Baøi 9: Tìm giaù trò cuûa m ñeå caùc haøm soá sau coù giôùi haïn taïi ñieåm ñöôïc chæ ra:: 3 1 3 x 1 khi x 1 khi x 1 3 a) f (x) x 1 taïi x 1 b) f (x) x 1 x 1 taïi x 1 2 2 mx 2 khi x 1 m x 3mx 3 khi x 1 x m khi x 0 2 x 3m khi x 1 c) f (x) x 100x 3 taïi x 0 d) f (x) 2 taïi x 1 khi x 0 x x m 3 khi x 1 x 3 III. Haøm soá lieân tuïc 1. Haøm soá lieân tuïc taïi moät ñieåm: y = f(x) lieân tuïc taïi x0 lim f (x) f (x0 ) x x0 Ñeå xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 ta thöïc hieän caùc böôùc: B1: Tính f(x0). B2: Tính lim f (x) (trong nhieàu tröôøng hôïp ta caàn tính lim f (x) , lim f (x) ) x x 0 x x0 x x0 B3: So saùnh lim f (x) vôùi f(x0) vaø ruùt ra keát luaän. x x0 2. Haøm soá lieân tuïc treân moät khoaûng: y = f(x) lieân tuïc taïi moïi ñieåm thuoäc khoaûng ñoù. Trang 6
7. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 3. Haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn [a; b]: y = f(x) lieân tuïc treân (a; b) vaø lim f (x) f (a), lim f (x) f (b) x a x b 4. Haøm soá ña thöùc lieân tuïc treân R. Haøm soá phaân thöùc, caùc haøm soá löôïng giaùc lieân tuïc treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa chuùng. 5. Giaû söû y = f(x), y = g(x) lieân tuïc taïi ñieåm x0. Khi ñoù: Caùc haøm soá y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) lieân tuïc taïi x0. f (x) Haøm soá y = lieân tuïc taïi x0 neáu g(x0) 0. g(x) 6. Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a; b] vaø f(a). f(b)< 0 thì toàn taïi ít nhaát moät soá c (a; b): f(c) = 0. Noùi caùch khaùc: Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a; b] vaø f(a). f(b)< 0 thì phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm c (a; b). Môû roäng: Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a; b]. Ñaët m = min f (x) , M = max f (x) . Khi ñoù vôùi a;b a;b moïi T (m; M) luoân toàn taïi ít nhaát moät soá c (a; b): f(c) = T. Baøi 1: Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá taïi ñieåm ñöôïc chæ ra: x 3 khi x 1 a) f (x) x 1 taïi x 1 b) 1 khi x 1 x 3 2 khi x 1 f (x) x 1 taïi x 1 1 khi x 1 4 2 7x 5x2 x3 khix 2 c) f(x) 2 taïi x 2 d) x 3x 2 1 khi x 2 x 5 khi x 5 f (x) 2x 1 3 taïi x 5 2 (x 5) 3 khi x 5 x 1 khi x 1 e) f (x) 2 x 1 taïi x 1 2x khi x 1 Baøi 2: Tìm m, n ñeå haøm soá lieân tuïc taïi ñieåm ñöôïc chæ ra: x3 x2 2x 2 x2 khi x 1 khi x 1 a) f (x) taïi x 1 b) f(x) x 1 taïi x 1 2mx 3 khi x 1 3x m khi x 1 m khi x 0 x2 x 6 c) f (x) khi x 0, x 3 taïi x 0 vaø x 3 x(x 3) n khi x 3 Trang 7
8. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 x2 x 2 khi x 2 d) f (x) x 2 taïi x 2 m khi x 2 Baøi 3: Xeùt tính lieân tuïc cuûa caùc haøm soá sau treân taäp xaùc ñònh cuûa chuùng: 3 x x 2 2 khi x 1 x 3x 4 khi x 2 3 a) f (x) x 1 b) f (x) 5 khi x 2 4 khi x 1 2x 1 khi x 2 3 2 x2 4 x 2 khi x 2 khi x 2 c) f (x) x 2 d) f (x) x 2 4 khi x 2 2 2 khi x 2 Baøi 4: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå caùc haøm soá sau lieân tuïc treân taäp xaùc ñònh cuûa chuùng: 2 x2 x 2 x x khi x 1 khi x 2 a) f (x) x 2 b) f (x) 2 khi x 1 m khi x 2 mx 1 khi x 1 x3 x2 2x 2 khi x 1 x2 khi x 1 c) f (x) x 1 d) f (x) 2mx 3 khi x 1 3x m khi x 1 Baøi 5: Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät: a) x3 3x 1 0 b) x3 6x2 9x 1 0 c) 2x 63 1 x 3 Baøi 6: Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau luoân coù nghieäm: a) x5 3x 3 0 b) x5 x 1 0 c) x4 x3 3x2 x 1 0 Baøi 7: Chöùng minh raèng phöông trình: x5 5x3 4x 1 0 coù 5 nghieäm treân (–2; 2). ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT THAM KHẢO 1 CHƯƠNG 4 MÔN: ĐẠI SỐ 11 Câu 1: (6 điểm) Tìm các giới han sau: 4n 5 2x 1 a) lim b) lim 3x7 5x5 7x 4 c) lim 2n 3 x x 3 3 x 3x2 11x 6 d) lim e) lim x2 2x x x 3 x 3 x 1 2x 3 1 3x f) lim x 0 x 7x 10 2 , x 2 Câu 2: (3điểm) Cho hàm số: f (x) x 2 , Tìm m để hàm số liên tục tại x = mx 3, x 2 2. Câu 3:( 1điểm) Cho phương trình: m4 m 1 x2010 x5 32 0 , m là tham số Trang 8
9. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 CMR phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m ĐỀ KIỂM TRA THAM KHẢO 2 ĐẠI SỐ 11 ( Chương IV: Giới hạn ) Câu1:(5 điểm) Tìm các giới hạn sau: 6n3 2n 1 x 7 x 5 2 a) lim b) lim c) lim 2n3 n x 4 2x 8 x 1 x 1 1 2x 3 1 3x d) lim x2 x x e) lim f) lim( 3n3 5n 2 7) x x 0 x Câu 2:(3 điểm) x 2 5x 6 , x 2 Cho f (x) x 2 .Xét tính liên tục của hàm số tại điểm xo 2 . mx 1, x 2 Câu 3: (2 điểm) Chứng minh rằng phương trình : x 4 5x 3 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2;0). ---------------------------------------------------------------- -------------------- CHÖÔNG V ñaïo haøm 1. Ñònh nghóa ñaïo haøm taïi moät ñieåm Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a; b) vaø x0 (a; b): f(x) f(x0 ) y f '(x0 ) lim = lim ( x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0) x x x 0 0 x x0 x Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 thì noù lieân tuïc taïi dieåm ñoù. 2. YÙ nghóa cuûa ñaïo haøm YÙ nghóa hình hoïc: + f (x0) laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) taïi M x0;f(x0 ) . + Khi ñoù phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) taïi M x0;f(x0 ) laø: y – y0 = f (x0).(x – x0) YÙ nghóa vaät lí: + Vaän toác töùc thôøi cuûa chuyeån ñoäng thaúng xaùc ñònh bôûi phöông trình s = s(t) taïi thôøi ñieåm t0 laø v(t0) = s (t0). + Cöôøng ñoä töùc thôøi cuûa ñieän löôïng Q = Q(t) taïi thôøi ñieåm t0 laø I(t0) = Q (t0). 3. Qui taéc tính ñaïo haøm n n–1 n N 1 (C)' = 0 (x) = 1 (x ) = n.x x n 1 2 x u u v v u (u v) = u v (uv) = u v + v u (v 0) v v2 Trang 9
10. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 1 v (ku) = ku v v2 Ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp: Neáu u = g(x) coù ñaïo haøm taïi x laø u x vaø haøm soá y = f(u) coù ñaïo haøm taïi u laø y u thì haøm soá hôïp y = f(g(x) coù ñaïo haøm taïi x laø: y x y u.u x 4. Ñaïo haøm cuûa haøm soá löôïng giaùc sinx sin u(x) lim 1; lim 1 (vôùi lim u(x) 0 ) x 0 x x x0 u(x) x x0 1 (sinx) = cosx (cosx) = – sinx tanx cos2 x 1 cot x sin2 x 5. Vi phaân dy df(x) f (x). x f(x0 x) f(x0 ) f (x0 ). x 6. Ñaïo haøm caáp cao (n) (n 1) f ''(x) f '(x) ; f '''(x) f ''(x) ; f (x) f (x) (n N, n 4) YÙ nghóa cô hoïc: Gia toác töùc thôøi cuûa chuyeån ñoäng s = f(t) taïi thôøi ñieåm t0 laø a(t0) = f (t0). VAÁN ÑEÀ 1: Tính ñaïo haøm baèng ñònh nghóa Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 baèng ñònh nghóa ta thöïc hieän caùc böôùc: B1: Giaû söû x laø soá gia cuûa ñoái soá taïi x0. Tính y = f(x0 + x) – f(x0). y B2: Tính lim . x 0 x Baøi 6: Duøng ñònh nghóa tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau taïi ñieåm ñöôïc chæ ra: 2 a) y f(x) 2x x 2 taïi x0 1 b) y f(x) 3 2x taïi x0 = –3 2x 1 c) y f(x) taïi x0 = 2 d) y f(x) sinx taïi x0 = x 1 6 2 3 x x 1 e) y f(x) x taïi x0 = 1 f) y f(x) taïi x0 = 0 x 1 Baøi 7: Duøng ñònh nghóa tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: a) f(x) x2 3x 1 b) f(x) x3 2x c) f(x) x 1, (x 1) 1 1 d) f(x) e) f(x) sinx f) f(x) 2x 3 cosx Trang 10
11. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 VAÁN ÑEÀ 2: Tính ñaïo haøm baèng coâng thöùc Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) baèng coâng thöùc ta söû duïng caùc qui taéc tính ñaïo haøm. Chuù yù qui taéc tính ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp. Baøi 1: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 3 2 a) y 2x4 x3 2 x 5 b) y x x x. c) y (x3 2)(1 x2 ) 3 x2 3 2 2 2 2 1 d) y (x 1)(x 4)(x 9) e) y (x 3x)(2 x) f) y x 1 1 x 3 2x 1 1 x x2 g) y h) y i) y 2x 1 1 3x 1 x x2 x2 3x 3 2x2 4x 1 2x2 k) y l) y m) y x 1 x 3 x2 2x 3 Baøi 2: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 3 2 4 2 5 2x 1 a) y (x x 1) b) y (1 2x ) c) y x 1 (x 1)2 1 4 d) y e) y f) y 3 2x2 (x 1)3 (x2 2x 5)2 Baøi 3: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: a) y 2x2 5x 2 b) y 3 x3 x 2 c) y x x 4x 1 4 x2 d) y (x 2) x2 3 e) y f) y x2 2 x x3 3 g) y h) y (x 2)3 i) y 1 1 2x x 1 Baøi 4: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 2 sinx 3 a) y b) y x.cosx c) y sin (2x 1) 1 cosx d) y cot 2x e) y sin 2 x2 f) y sinx 2x 2 1 g) y tan2x tan3 2x tan5 2x h) y 2sin2 4x 3cos3 5x 3 5 x 1 i) y (2 sin2 2x)3 k) y sin cos2 xtan2 x l) y cos2 x 1 Baøi 5: Cho n laø soá nguyeân döông. Chöùng minh raèng: a) (sinn x.cosnx)' nsinn 1 x.cos(n 1)x b) (sinn x.sinnx)' n.sinn 1 x.sin(n 1)x c) (cosn x.sinnx)' n.cosn 1 x.cos(n 1)x d) (cosn x.cosnx)' n.cosn 1 x.sin(n 1)x VAÁN ÑEÀ 3: Phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) 1. Phöông trình tieáp tuyeán taïi ñieåm M(x0, y0) (C) laø: y y0 f '(x0 )(x x0 ) (*) Trang 11
12. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 2. Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C), bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k: + Goïi x0 laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm. Ta coù: f (x0 ) k (yù nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm) + Giaûi phöông trình treân tìm x0, roài tìm y0 f(x0 ). + Vieát phöông trình tieáp tuyeán theo coâng thöùc (*) 3. Vieát phöông trình tieáp tuyeán (d) vôùi (C), bieát (d) ñi qua ñieåm A(x1, y1) cho tröôùc: + Goïi (x0 , y0) laø tieáp ñieåm (vôùi y0 = f(x0)). + Phöông trình tieáp tuyeán (d): y y0 f '(x0 )(x x0 ) (d) qua A (x1, y1) y1 y0 f '(x0 ) (x1 x0 ) (1) + Giaûi phöông trình (1) vôùi aån laø x0, roài tìm y0 f(x0 ) vaø f '(x0 ). + Töø ñoù vieát phöông trình (d) theo coâng thöùc (*). 4. Nhaéc laïi: Cho ( ): y = ax + b. Khi ñoù: 1 + (d)  ( ) k a + (d)  ( ) k d d a Baøi 1: Cho haøm soá (C): y f(x) x2 2x 3. Vieát phöông trình tieáp vôùi (C): a) Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x0 = 1. b) Song song vôùi ñöôøng thaúng 4x – 2y + 5 = 0. c) Vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x + 4y = 0. d) Vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù nhaát cuûa goùc hôïp bôûi caùc truïc toïa ñoä. 2 x x2 Baøi 2: Cho haøm soá y f(x) (C). x 1 a) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm M(2; 4). b) Vieát phöông trình ttieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k = 1. 3x 1 Baøi 3: Cho haøm soá y f(x) (C). 1 x a) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm A(2; –7). b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh. c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc tung. d) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi d: 1 y x 100 . 2 e) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi : 2x + 2y – 5 = 0. Baøi 4: Cho haøm soá (C): y x3 3x2. a) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi ñieåm I(1, –2). b) Chöùng minh raèng caùc tieáp tuyeán khaùc cuûa ñoà thò (C) khoâng ñi qua I. Baøi 5: Cho haøm soá (C): y 1 x x2 . Tìm phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): 1 a) Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x0 = . 2 b) Song song vôùi ñöôøng thaúng x + 2y = 0. Trang 12
13. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 VAÁN ÑEÀ 4: Tính ñaïo haøm caáp cao 1. Ñeå tính ñaïo haøm caáp 2, 3, 4, ... ta duøng coâng thöùc: y(n) (yn 1)/ . 2. Ñeå tính ñaïo haøm caáp n: Tính ñaïo haøm caáp 1, 2, 3, ... töø ñoù döï ñoaùn coâng thöùc ñaïo haøm caáp n. Duøng phöông phaùp quy naïp toaùn hoïc ñeå chöùng minh coâng thöùc ñuùng. Baøi 10: Cho haøm soá f(x) 3(x 1)cosx . a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''( ), f '' ,f ''(1) 2 Baøi 11: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá ñeán caáp ñöôïc chæ ra: x 3 a) y cosx, y''' b) y 5x4 2x3 5x2 4x 7, y'' c) y , y'' x 4 d) y 2x x2 , y'' e) y xsinx, y'' f) y xtanx, y'' 1 g) y (x2 1)3,y'' h) y x6 4x3 4, y(4) i) y , y(5) 1 x Baøi 12: Cho n laø soá nguyeân döông. Chöùng minh raèng: (n) n 1 ( 1) n! (n) n. (n) n. a) b) (sinx) sin x c) (cosx) cos x 1 x (1 x)n 1 2 2 Baøi 13: Tính ñaïo haøm caáp n cuûa caùc haøm soá sau: 1 1 x a) y b) y c) y x 2 x2 3x 2 x2 1 1 x d) y e) y sin2 x f) y sin4 x cos4 x 1 x Baøi 14: Chöùng minh caùc heä thöùc sau vôùi caùc haøm soá ñöôïc chæ ra: y xsinx y 2x x2 a) b) xy'' 2(y' sinx) xy 0 3 y y'' 1 0 x 3 y xtanx y c) 2 2 2 d) x 4 x y'' 2(x y )(1 y) 0 2 2y (y 1)y'' sin u(x) VAÁN ÑEÀ 5: Tính giôùi haïn daïng lim x x0 u(x) Ta söû duïng caùc coâng thöùc löôïng giaùc ñeå bieán ñoåi vaø söû duïng coâng thöùc sin u(x) lim 1 (vôùi lim u(x) 0 ) x x0 u(x) x x0 Baøi 1: Tính caùc giôùi haïn sau: sin3x 1 cosx 1 sinx a) lim b) lim c) lim d) x 0 sin2x x 0 2 2 x x 2 x 2 cosx sinx lim x cos2x 4 Trang 13
14. Tổ Toán -Tin Phụ đạo Ñaïi soá 11 sin x 1 sinx cosx tan2x 6 e) lim f) lim g) lim x tanx h) lim x 0 x 0 1 sinx cosx sin5x x 2 x 3 2 6 cosx 2 VAÁN ÑEÀ 6: Caùc baøi toaùn khaùc Baøi 1: Giaûi phöông trình f '(x) 0 vôùi: a) f(x) 3cosx 4sinx 5x b) f(x) cosx 3 s ón 2x 1 cos4x cos6x c) f(x) sin2 x 2cosx d) f(x) sinx 4 6 3 x e) f(x) 1 sin( x) 2cos f) f(x) sin3x 3 cos3x 3(cosx 3 sinx) 2 Baøi 2: Giaûi phöông trình f '(x) g(x) vôùi: f(x) sin4 3x f(x) sin3 2x a) b) g(x) sin6x g(x) 4cos2x 5sin4x 2 x 2 2 x f(x) 2x cos f(x) 4xcos c) d) 2 2 x g(x) x x2 sinx g(x) 8cos 3 2xsinx 2 Baøi 3: Giaûi baát phöông trình f '(x) g'(x) vôùi: a) f(x) x3 x 2, g(x) 3x2 x 2 x2 b) f(x) 2x3 x2 3, g(x) x3 3 2 2 c) f(x) , g(x) x x3 x Baøi 4: Xaùc ñònh m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x R: mx3 a) f '(x) 0 vôùi f(x) 3x2 mx 5 3 mx3 mx2 b) f '(x) 0 vôùi f(x) (m 1)x 15 3 2 Trang 14