61 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian (Mức độ 3)

Nội dung tài liệu: 61 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian (Mức độ 3)

1. Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 2; 2;1 , A 1;2; 3 và đường thẳng x 1 y 5 z d : . Tìm véctơ chỉ phương u của đường thẳng đi qua M , vuông góc với đường 2 2 1 thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất. A. u 2;1;6 .B. u 1;0;2 .C. u 3;4; 4 .D. u 2;2; 1 . Lời giải Chọn B Gọi P là mặt phẳng qua M và vuông góc với d . Phương trình của P : 2x 2y z 9 0 . Gọi H ,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên , P . d A K H P M Ta có K 3; 2; 1 d( A, ) AH AK Vậy khoảng cách từ A đến bé nhất khi đi qua M ,K . có véctơ chỉ phương u 1;0;2 Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng x 2 y 2 z 3 : x y z 3 0 đồng thời đi qua điểm M 1;2;0 và cắt đường thẳng d : . Một 2 1 1 vectơ chỉ phương của là A. u 1;1; 2 . B. u 1;0; 1 . C. u 1; 1; 2 . D. u 1; 2;1 . Lời giải Lời giải ChọnA. Cách 1: Gọi A 2 2t; 2 t; 3 t d là giao điểm của và d .  MA 1 2t; t; 3 t , VTPT của là n 1;1;1 . Ta có:    MA  n MA.n 0 1 2t t 3 t 0 t 1.   MA 1; 1; 2 1 1; 1; 2 . Vậy ud 1; 1; 2 . Cách 2: Gọi B d  . B d B 2 2t; 2 t; 3 t . B 2 2t 2 t 3 t 3 0 t 1 B 0;1;2 .   BM 1;1; 2 ud 1;1; 2 . Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I thuộc x y 3 z đường thẳng : . Biết rằng mặt cầu S có bán kính bằng 2 2 và cắt mặt phẳng Oxz 1 1 2 theo một đường tròn có bán kính bằng 2 . Tìm tọa độ của điểm I .
2. A. I 5;2;10 , I 0; 3;0 . B. I 1; 2;2 , I 0; 3;0 . C. I 1; 2;2 , I 5;2;10 . D. I 1; 2;2 , I 1;2; 2 . Lời giải ChọnC. x y 3 z Mặt phẳng Oxz : y 0 . I : I t; 3 t;2t 1 1 2 Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng Oxz . R, r lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn giao tuyến. Theo bài ta có IH d I, Oxz R2 r 2 8 4 2 3 t t 1 2 . 1 t 5 Với t 1 I 1; 2;2 , với t 5 I 5;2;10 . Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng có phương x 2 y 1 z trình và vuông góc với mặt phẳng  : x y 2z 1 0 . Giao tuyến của và  1 1 2 đi qua điểm nào trong các điểm sau A. A 2;1;1 . B. C 1;2;1 . C. D 2;1;0 . D. B 0;1;0 . Lời giải ChọnA. Ta có véc – tơ chỉ phương của đường thẳng là u 1;1;2 Véc – tơ pháp tuyến của mặt phẳng  : x y 2z 1 0 là n 1;1; 2 . x 2 y 1 z Vì là mặt phẳng chứa đường thẳng có phương trình và vuông góc với 1 1 2 mặt phẳng  : x y 2z 1 0 nên có một véc – tơ pháp tuyến là  n u,n 4;4;0 4 1; 1;0 4.a   Gọi d   , suy ra d có véc – tơ chỉ phương là u a,n 2;2;2 2 1;1;1 . d x 2 y 1 z Giao điểm của đường thẳng có phương trình và mặt phẳng 1 1 2  : x y 2z 1 0 là I 3;2;2 . x 3 t Suy ra phương trình đường thẳng d : y 2 t . z 2 t
3. Vậy A 2;1;1 thuộc đường thẳng d . Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S đi qua điểm A 2; 2;5 và tiếp xúc với các mặt phẳng : x 1,  : y 1,  : z 1. Bán kính mặt cầu S bằng A. 3 . B. 1. C. 3 2 . D. 33 . Lời giải ChọnA. Gọi I a;b;c là tâm mặt cầu. a 1 b 1 (*) Ta có: a 1 c 1 (**) . 2 2 2 2 a 1 a 2 b 2 c 5 (***) b c Từ (*) (**) b c 2 0 Xét b c : a c - Từ (**) a c 2 a 4 - Với a c thay vào (***) b 4 R a 1 3 c 4 Tương tự các trường hợp khác. Chọn A x 1 y z 2 Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và hai điểm 2 1 1 A 1; 3; 1 , B 0; 2; 1 . Tìm tọa độ điểm C thuộc d sao cho diện tích của tam giác ABC bằng 2 2. A. C 1; 0; 2 . B. C 1; 1; 1 . C. C 3; 1; 3 . D. C 5; 2; 4 . Lời giải. ChọnB. Ta có C d C 1 2t; t;2 t ,  AB 1; 1; 2 ,  AC 2t; t 3; t 1 .   AB, AC 3t 7; 3t 1; 3t 3 1   1 2 2 2 1 S AB, AC 3t 7 3t 1 3t 3 27t2 54t 59 . ABC 2 2 2 1 Ta có: S 2 2 27t2 54t 59 2 2 27t2 54t 27 0 t 1 C 1; 1; 1 . ABC 2 x 2 y 2 z 1 Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : và mặt phẳng 1 1 2 :x y z 1 0 . Gọi d là đường thẳng nằm trên đồng thời cắt đường thẳng và trục Oz . Một véctơ chỉ phương của d là: A. u 2; 1; 1 . B. u 1;1; 2 . C. u 1; 2;1 . D. u 1;2; 3 . Lời giải ChọnB.
4. + Gọi A d  A A 2 t;2 t;1 2t . Vì A d  A 2 t 2 t 1 2t 1 0 t 1 A 1;1; 1 . + Gọi B d Oz B 0;0;b . Vì B d  B b 1 0 b 1 B 0;0;1 .  Khi đó một VTCP của đường thẳng d là AB 1; 1;2 1;1; 2 . Vậy véctơ u 1;1; 2 cũng là một VTCP của đường thẳng d . Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng : x ay bz 1 0 và đường thẳng x y z 1 : . Biết rằng // và tạo với các trục Ox, Oz các góc giống nhau. Tìm giá trị 1 1 1 của a . A. a 1 hoặc a 1. B. a 2 hoặc a 0. C. a 0. D. a 2. Lời giải ChọnD. Chọn A 0;0;1 . n .u 0 u 1; 1; 1 1 a b 0 a b 1 Ta có mà // . n 1;a;b b 1 b 1 A Mặt khác tạo với các trục Ox, Oz các góc bằng nhau, suy ra sin n ;i sin n ;k với i 1;0;0 k 0;0;1 n .i n .k 1 b a 2 b 1, thế vào , ta được . 1 1 a 0 n i n k Khi a 2 thì b 1 , khi a 0 thì b 1 Vậy a 2. x 1 y 2 z 3 Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt phẳng 1 2 1 ( ) : x y z 2 0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng ( ), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d ? x 2 y 4 z 4 x 1 y 1 z A. : B. : 2 1 2 3 4 3 2 1 x 5 y 2 z 5 x 2 y 4 z 4 C. : D. : 3 3 2 1 1 3 2 1 Lời giải Chọn C - Đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương u (1;2;1) - Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n (1;1; 1) - Gọi B là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P cho nên tọa độ điểm là B(2;4;4)
5. - Vì đường thẳng cần tìm nằm trong mặt phẳng ( ), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d cho nên đường thẳng đi qua điểm B(2;4;4) và có vectơ chỉ phương x 2 3t  u [u;n] ( 3;2; 1) : y 4 2t z 4 t x 2 3t - Ta thấy đường thẳng 3 của đáp án C đi qua điểm M (5;2;5) thuộc : y 4 2t cho z 4 t nên chọn C . Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2x y 2z 2 0, đường thẳng x 1 y 2 z 3 1 d : và điểm A ; 1; 1 . Gọi là đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ), song song 1 2 2 2 với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng ? 7 21 7 3 A. B. C. D. 2 2 3 2 Lời giải Chọn A MN 3 Gọi N 0;0; 1 d, M a,b,c P do giả thiết M P nên ta có hệ MN  d a2 b2 c 1 2 9 2a b 2c 2 0 M 2; 2;0 , M 2;2; 2 từ đó có hai điểm B 2; 2;0 , B 1;4;0 a 2b 2c 2 0 7 Suy ra AB . 2 Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;3; 2 , B 3;7; 18 và mặt phẳng P : 2x y z 1 0. Điểm M a,b,c thuộc P sao cho mặt phẳng ABM vuông góc với P và MA2 MB2 246 . Tính S a b c . A. 0 . B. 1. C. 10. D. 13. Lời giải Chọn D.   Gọi M a;b;c P . Ta có AB 2;4; 16 , AM a 1;b 3;c 2 .   AM , AB 2 8b 2c 20; 8a c 6; 2a b 1 là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ABM .   Vì mp ABM vuông góc với mp P nên nABM .nP 0 2a 5b c 11 0 . Mặt khác A , B không thuộc P và nằm cùng một phía đối với mp P .
6. Ta có AB 2 69 . Gọi I là trung điểm của AB , ta có I 2;5; 10 . MA2 MB2 AB2 Vì MI là trung tuyến của tam giác AMB MI 2 54. 2 4 2a b c 1 0 a 4 Khi đó ta có hệ phương trình 2a 5b c 11 0 b 2 . 2 2 2 c 7 a 2 b 5 c 10 54 Vậy S a b c 4 2 7 1. x 2 y 1 z 2 Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt phẳng 4 4 3 P : 2x y 2z 1 0 . Đường thẳng đi qua E 2; 1; 2 , song song với P đồng thời tạo với d góc bé nhất. Biết rằng có một véctơ chỉ phương u m; n; 1 . Tính T m2 n2 . A. T 5 . B. T 4 . C. T 3. D. T 4 . Lời giải Chọn D. Mặt phẳng P có vec tơ pháp tuyến n 2; 1;2 và đường thẳng d có vec tơ chỉ phương v 4; 4;3 Vì song song với mặt phẳng P nên u  n 2m n 2 0 n 2m 2 . · u.v 4m 4n 3 4m 5 Mặt khác ta có cos ;d u . v m2 n2 1. 42 4 2 32 41 5m2 8m 5 2 1 4m 5 1 16m2 40m 25 . . . 41 5m2 8m 5 41 5m2 8m 5 Vì 0 · ;d 90 nên · ;d bé nhất khi và chỉ khi cos · ;d lớn nhất 16t 2 40t 25 72t 2 90t Xét hàm số f t 2 f t 2 . 5t 8t 5 5t 2 8t 5 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có max f t f 0 5 suy ra · ;d bé nhất khi m 0 n 2. Do đó T m2 n2 4. Làm theo cách này thì không cần đến dữ kiện: đường thẳng đi qua E 2; 1; 2 .
7. Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A , B , C lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và 3 luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng . 2 Biết rằng mặt phẳng ABC luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn B. z C O B y A x S S 3 Ta có ABC ABC 1 VOABC d O, ABC SABC .d O, ABC 3 S 3 Mà ABC nên d O, ABC 2 . VOABC 2 Vậy mặt phẳng ABC luôn tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R 2 . x 2 t Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1;6 và đường thẳng : y 1 2t . Hình chiếu vuông z 2t góc của điểm A trên đường thẳng là: A. N 1;3; 2 . B. H 11; 17;18 . C. M 3; 1;2 . D. K 2;1;0 . Lời giải Chọn C Gọi là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với tại H . Khi đó H là hình chiếu của A trên . Phương trình mặt phẳng : 1 x 1 2 y 1 2 z 6 0 x 2y 2z 9 0 . Ta có H H 2 t;1 2t;2t . H 2 t 2 1 2t 4t 9 0 t 1. Vậy H 3; 1;2 là điểm cần tìm. x 1 y 1 z 2 Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2; 1 , đường thẳng d : và mặt 2 1 1 phẳng P : x y 2z 1 0 . Điểm B thuộc mặt phẳng P thỏa mãn đường thẳng AB vuông góc và cắt đường thẳng d . Tọa độ điểm B là A. 3; 2; 1 . B. 3;8; 3 . C. 0;3; 2 . D. 6; 7;0 .
8. Lời giải Chọn C  Đường thẳng d có một VTCP là u 2;1; 1 . d  Gọi M AB  d M 1 2t; 1 t;2 t AM 2t;t 3;3 t .   AB  d AM.u 0 4t t 3 3 t 0 t 1 AM 2; 2;2 2 1; 1;1 Đường thẳng AB đi qua điểm A 1;2; 1 , có một VTCP là u 1; 1;1 x 1 t AB : y 2 t t ¡ . z 1 t x 1 t t 1 y 2 t x 0 Ta có: B AB  P nên tọa độ của B là nghiệm của hệ z 1 t y 3 x y 2z 1 0 z 2 B 0;3; 2 . Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 1 2 6 tiếp xúc với hai mặt phẳng P : x y 2z 5 0 , Q : 2x y z 5 0 lần lượt tại các điểm A , B . Độ dài đoạn AB là A.3 2 . B. 3 . C. 2 6 . D. 2 3 . Lời giải Chọn C Gọi A x; y; z là tiếp điểm của mặt phẳng P : x y 2z 5 0 và mặt cầu S .   x 1 y 2 z 1 IA knP Khi đó 1 1 2 A 0;1; 3 . A P x y 2z 5 0 Gọi B x ; y ; z là tiếp điểm của mặt phẳng Q : 2x y z 5 0 và mặt cầu S .   x 1 y 2 z 1 IB knQ Khi đó 2 1 1 B 3;1;0 . B Q 2x y z 5 0 Độ dài đoạn AB 3 2 . Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho các điểm M 2;1;4 , N 5;0;0 , P 1; 3;1 . Gọi I a;b;c là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Oyz đồng thời đi qua các điểm M , N, P . Tìm c biết rằng a b c 5 A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Lời giải Chọn B Phương trình mặt cầu S tâm I a;b;c là x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 Đk: a2 b2 c2 d 0 4a 2b 8c d 21 10a d 25 S đi qua các điểm M , N, P và tiếp xúc với mặt phẳng Oyz 2a 6b 2c d 11 R a
9. 4a 2b 8c 10a 25 21 6a 2b 8c 4 6a 2b 8c 4 d 10a 25 d 10a 25 d 10a 25 2a 6b 2c 10a 25 11 8a 6b 2c 14 32a 24b 8c 56 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d a b c d 0 b c d 0 6a 2b 8c 4 c a 1 d 10a 25 d 10a 25 26a 26b 52 b a 2 2 2 2 2 b c d 0 b c d 0 a 2 2 a 1 2 10a 25 0 2a2 16a 30 0 a 3 a 5 a 3 b 1 b 3 hay a 5 c 2 c 4 d 5 d 25 Vì a b c 5 nên chọn c 2 . x 1 y z 2 Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và hai điểm A 1;3;1 ; 2 1 1 B 0;2; 1 . Gọi C m;n; p là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2 2 . Giá trị của tổng m n p bằng A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 Lời giải Chọn C x 1 2t Phương trình tham số của đường thẳng d : y t z 2 t x 1 2t Vì C d : y t c 1 2t;t z 2 t     Ta có AB 1; 1; 2 ; AC 1 2t;t;2 t AB, AC 3t 7; 3t 1;3t 3 1   1 Diện tích tam giác ABC là S AB, AC 27t2 54t 59 ABC 2 2 1 2 SABC 2 2 27t 54t 59 2 2 t 1 C 1;1;1 m n p 3 2 Câu 19. Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng x y z 1 x 3 y z 1 x 1 y 2 z d : , : , : . Đường thẳng vuông góc với d đồng thời 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 cắt 1, 2 tương ứng tại H, K sao cho độ dài HK nhỏ nhất. Biết rằng có một vectơ chỉ phương u h;k;1 . Giá trị h k bằng A. 0. B. 4. C. 6. D. 2. Lời giải
10. Chọn A H 1 H 3 2t;t;1 t . K 2 K 1 m;2 2m;m .  Ta có HK m 2t 2;2m t 2;m t 1 .  Đường thẳng d có một VTCP là ud 1;1; 2 .     d ud .HK 0 m t 2 0 m t 2 HK t 4;t 2; 3 . 2 2 2 2 Ta có HK 2 t 4 t 2 3 2 t 1 27 27,t ¡ minHK 27, đạt được khi t 1.  Khi đó ta có HK 3; 3; 3 , suy ra u 1;1;1 h k 1 h k 0. x 1 2t x 2 t Câu 20. Trong không gian cho hai đường thẳng d : y t và d : y 1 2t và mặt phẳng z 1 3t z 2t P : x y z 2 0 . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P cắt hai đường thẳng d và d có phương trình là x 3 y 1 z 2 x 1 y 1 z 1 A. . B. . 1 1 1 1 1 4 x 2 y 1 z 1 x 1 y 1 z 4 C. . D. . 1 1 1 2 2 2 Lời giải Cách 1 r Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P có véc tơ chỉ phương là u 1;1;1 . Đường thẳng cần tìm lần lượt cắt d , d tại M , N . Gọi M 1 2t;t; 1 3t d , uuur N 2 n; 1 2n; 2n d , MN n 2t 3;2n t 1; 2n 3t 1 . n 2t 3 k n 1 uuur r Ta có MN ku 2n t 1 k t 1. 2n 3t 1 k k 2 N 3;1; 2 . Vậy: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P cắt hai đường thẳng d và d có phương x 3 y 1 z 2 trình là . 1 1 1 Cách 2 Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng và  . Trong đó: Mặt phẳng vuông góc mp P và chưa đường thẳng d .   Ta có vec tơ pháp tuyến n n ,u 2; 5;3 . P Phương trình mp : 2 x 1 5y 3 z 1 0 2x 5y 3z 5 0. Mặt phẳng  vuông góc mp P và chưa đường thẳng d .    Ta có vec tơ pháp tuyến n n ,u 4;3;1 .  P Phương trình mp : 4 x 2 3 y 1 z 0 4x 3y z 11 0.
11. 2x 5y 3z 5 0 Đương thẳng là giao tuyến . 4x 3y z 11 0 2x 3z 0 x 3 Cho y 1 ta có hệ phương trình . 4x z 14 z 2  Đường thẳng vuông góc mp P nên nhận nP 1;1;1 là vec ttowchir phương, có phương x 3 y 1 z 2 trình . 1 1 1 x 3 y 4 z 2 Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và hai điểm A 6;3; 2 , 2 1 1 B 1;0; 1 . Gọi là đường thẳng đi qua điểm B , vuông góc với d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến là nhỏ nhất. Một véctơ chỉ phương của có tọa độ A. 1;1; 3 . B. 1; ;1; 1 . C. 1;2; 4 . D. 2; 1; 3 . Lời giải Gọi P là mặt phẳng qua B và vuông góc với d thì P : 2x y z 1 0 Gọi H là hình chiếu của A lên P thì H 2;1; 4 Ta có d  P nên d A;d d A; P Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H d . Khi đó một véctơ chỉ phương của có tọa độ uuur BH 1;1; 3 x 1 y 2 z Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;4 ; đường thẳng d : và mặt cầu 2 1 2 S : x 3 2 y 2 2 z 1 2 20 . Mặt phẳng P chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến P lớn nhất. Mặt cầu S cắt P theo đường tròn có bán kính bằng A. 5 . B. 1. C. 4 . D. 2 . Lời giải  S có tâm I 3;2; 1 và R 20 . Nhận xét IA 1; 5;5 IA R . Ta có hình minh họa sau: Gọi F , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên P ,d .   Ta có K d K 1 2k; 2 k;2k AK 2k 1;k 1;2k 4 đồng thời ud 2;1;2 là vecto chỉ phương của đường thẳng d   Theo giả thiết ta có AK  d AK.ud 0 t 1 K 3; 1;2
12. Ta có d A; P AF AK . Vậy d A; P K  F hay K 3; 1;2 . max  Khi đó AF 1;2; 2 chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P và K P P x 2y 2z 3 0 Đồng thời d I; P 4 nên ta có r R2 d 2 I; P 2 chính là bán kính của đường tròn giao tuyến. x 2 Câu 23. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : y 2 t và mặt phẳng (P) : 2x y z 1 0. z 2t Gọi là đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 5), cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P). Phương trình đường thẳng là x 1 y 2 z 5 x 1 y 2 z 5 A. . B. . 1 2 1 1 2 3 x 1 y 2 z 5 x 1 y 1 z 3 C. . D. . 1 1 3 1 2 5 Lời giải Chọn C Gọi B  d , vì B d nên B 2;2 t;2t .  Suy ra AB 1;t;2t 5 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng . Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là n 2;1;1 .    Do / / P nên AB  n AB.n 0 2 t 2t 5 0 t 1 suy ra AB 1;1; 3 . x 1 y 2 z 5 Vậy phương trình đường thẳng là . 1 1 3 x 3 y 2 z 2 Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và hai điểm A 5;3; 1 , 1 1 2 B 3;1; 2 . Tọa độ điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC vuông tại B là A. 4;1;0 . B. 3;2; 2 . C. 2;3; 4 . D. 5;0;2 Lời giải Chọn C   Tọa độ điểm C có dạng: C 3 t ;2 t ; 2 2t , BA 2;2;1 , BC t ;1 t ;2t .   Tam giác ABC vuông tại B BA.BC 0 2t 2 2t 2t 0 t 1. Vây tọa độ điểm C là 2;3; 4 . Câu 25. Trong không gian Oxyz , đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng x 2 y 3 z 4 x 1 y 4 z 4 d : và d : đi qua điểm nào trong các điểm sau đây? 1 2 3 5 2 3 2 1 A. M 1;1;2 .. B. N 2;2;2 .. C. P 1;1;0 .. D. Q 2;1;3 . Lời giải Chọn A Đường vuông góc chung cắt d1;d2 lần lượt tại A; B
13. A d1 A 2 2t;3 3t; 4 5t ,t ¡ ; B d2 B 1 3m;4 2m;4 m ,m ¡ .  AB 3m 2t 3;1 2m 3t;8 5t m d1 có véc tơ chỉ phươngu 2;3; 5 ; d2 có véc tơ chỉ phương v 3; 2; 1 .  AB.u 0 5m 38t 43 t 1 Ta có  AB.v 0 14m 5t 19 m 1  AB 2;2;2 2 1;1;1 , A 0;0;1 . x y z 1 Phương trình đường vuông góc chung M thuộc đường vuông góc chung. 1 1 1 x 1 t Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 2 t và mặt phẳng P : x 2y z 1 0 . z 1 2t Gọi là đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d . Phương trình đường thẳng là : x 3 y 1 z 1 x y 3 z 3 A. .B. . 2 1 1 3 1 1 x 2 y 1 z 1 x 2 y 1 z 1 C. . D. . 3 1 1 3 1 1 Lời giải Chọn C Xét phương trình 1 t 2 2 t 1 2t 1 0 t 1. Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng P tại M 2;1;1 .   Gọi ud 1; 1;2 và nP 1; 2;1 lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Khi đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là    u u ,n 3;1; 1 . d P x 2 y 1 z 1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: . 3 1 1 x 1 y z 1 Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và hai điểm A 2;0;3 , B 4;2;1 3 2 1   Điểm M trên d sao cho độ dài của vectơ u MA MB nhỏ nhất. Tọa độ của điểm M là 5 1 1 3 A. ; 1; . B. 2;2; 2 .C. 4; 2;0 . D. ;1; . 2 2 2 2 Lời giải
14. Chọn A   Do M d nên M 1 3t; 2t; 1 t MA 1 3t;2t;4 t , MB 3 3t;2 2t;2 t . Nên: u 4 6t;2 4t;6 2t u 4 6t 2 2 4t 2 6 2t 2 56t 2 56t 56 2 2 1 3 Mà: 56t 56t 56 2 14. t 42 2 4 1 5 1 Dấu " " xảy ra khi: t M ; 1; . 2 2 2 x 5 y z 25 Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : và điểm M 2;3; 1 . Mặt 3 2 2 phẳng P : 2x by cz d 0 chứa đường thẳng . Khi khoảng cách từ M đến P lớn nhất, giá trị của b c d bằng A. 145.B. 149.C. 151.D. 148. Lời giải Chọn B Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng P và đường thẳng . Khi đó MH MK nên d M , P MK . max    Giả sử K 5 3t;2t; 25 2t MK 3 3t;2t 3; 24 2t mà MK  u nên:  3 3 3t 2 2t 3 2 24 2t 0 t 3 K 4; 6; 19 MK 6; 9; 18  Chọn n P 2;3;6 thì P : 2x 3y 6z 140 0 Vậy b c d 149 . Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0;2 và đường thẳng d có phương trình: x 1 y z 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vuông góc và cắt d . 1 1 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 A. B. C. D. 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 Lời giải Chọn B Cách 1: x 1 y z 1 Đường thẳng d : có véc tơ chỉ phương u 1;1;2 1 1 2
15. Gọi P là mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d , nên nhận véc tơ chỉ phương của d là vecto pháp tuyến P :1 x 1 y 2 z 2 0 x y 2z 5 0 Gọi B là giao điểm của mặt phẳng P và đường thẳng d B 1 t;t; 1 2t Vì B P 1 t t 2 1 2t 5 0 t 1 B 2;1;1  Ta có đường thẳng đi qua A và nhận vecto AB 1;1; 1 là véc tơ chỉ phương có dạng x 1 y z 2 : . 1 1 1 Cách 2: Gọi d  B B 1 t;t; 1 2t   AB t;t; 3 2t , Đường thẳng d có VTCP là ud 1;1;2     Vì d  nên AB  ud AB.ud 0 t t 2 3 2t 0 t 1   Suy ra AB 1;1; 1 .Ta có đường thẳng đi qua A 1;0;2 và nhận véc tơ AB 1;1; 1 là x 1 y z 2 véc tơ chỉ phương có dạng : . 1 1 1 Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0;2 và đường thẳng d có phương trình: x 1 y z 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vuông góc và cắt d . 1 1 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 A. B. C. D. 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 Lời giải Chọn B Cách 1: x 1 y z 1 Đường thẳng d : có véc tơ chỉ phương u 1;1;2 1 1 2 Gọi P là mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d , nên nhận véc tơ chỉ phương của d là vecto pháp tuyến P :1 x 1 y 2 z 2 0 x y 2z 5 0 Gọi B là giao điểm của mặt phẳng P và đường thẳng d B 1 t;t; 1 2t Vì B P 1 t t 2 1 2t 5 0 t 1 B 2;1;1  Ta có đường thẳng đi qua A và nhận vecto AB 1;1; 1 là véc tơ chỉ phương có dạng x 1 y z 2 : . 1 1 1 Cách 2: Gọi d  B B 1 t;t; 1 2t   AB t;t; 3 2t , Đường thẳng d có VTCP là ud 1;1;2     Vì d  nên AB  ud AB.ud 0 t t 2 3 2t 0 t 1   Suy ra AB 1;1; 1 .Ta có đường thẳng đi qua A 1;0;2 và nhận véc tơ AB 1;1; 1 là x 1 y z 2 véc tơ chỉ phương có dạng : . 1 1 1
16. Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;0 , B 0; 1;1 , C 2;1; 1 và D 3;1;4 . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó? A. 1 mặt phẳng B. 4 mặt phẳng C. 7 mặt phẳng D. có vô số mặt phẳng Lời giải Chọn C       Ta có: AB 1;1;1 ,AC 1;3; 1 ,AD 2;3;4 AB; AC .AD 24 0 Suy ra A, B, C và D là 4 đỉnh của một tứ diện. Các mặt phẳng cách đều 4 đỉnh của tứ diện ABCD gồm có 7 trường hợp sau: .Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương x- 2 y z trình mặt phẳng P song song và cách đều hai đường thẳng d : = = và 1 - 1 1 1 x y - 1 z - 2 d : = = 2 2 - 1 - 1 A. (P):2x- 2z+ 1= 0 B. (P):2y- 2z+ 1= 0 C. (P):2x- 2y+ 1= 0 D. (P):2y- 2z- 1= 0 Lời giải Chọn B Ta có: d1 đi qua điểm A 2;0;0 và có VTCP u1 1;1;1 d2 đi qua điểm B 0;1; 2 và có VTCP u2 2; 1; 1 Vì P song song với hai đường thẳng d1 và d2 nên VTPT của P là n [u1,u2 ] 0;1; 1 Khi đó P có dạng y z D 0 loại đáp án A và C 1 Lại có P cách đều d1 và d2 nên P đi qua trung điểm M 0; ;1 của AB 2 Do đó P : 2 y 2z 1 0
17. A 0;0;1 B m;0;0 C 0;n;0 D 1;1;1 Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm , , , với m 0; n 0 và m n 1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt ABC phẳng và đi qua D . Tính bán kính R của mặt cầu đó? 2 3 3 A. R 1 . B. R . C. R . D. R . 2 2 2 Lời giải Chọn A Gọi I 1;1;0 là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (Oxy) x y Ta có: Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là: z 1 m n Suy ra phương trình tổng quát của (ABC) là nx my mnz mn 0 1 mn Mặt khác d I; ABC 1 (vì m n 1) và ID 1 d( I; ABC . m2 n2 m2n2 Nên tồn tại mặt cầu tâm I (là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng Oxy ) tiếp xúc với (ABC) và đi qua D . Khi đó R 1 . x 1 y 5 z 3 Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : . Phương trình 2 1 4 nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng x 3 0 ? x 3 x 3 x 3 x 3 A. y 5 t B. y 5 t C. y 5 2t D. y 6 t z 3 4t z 3 4t z 3 t z 7 4t Lời giải Chọn D Cách 1: Đường thẳng d đi qua điểm M 0 (1; 5;3) và có VTCP ud 2; 1;4 Gọi Q là mặt phẳng chứa d và vuông góc với P : x 3 0 . Suy ra mặt phẳng Q đi qua điểm M 0 (1; 5;3) và có VTPT là nP ;ud  0;4;1 Q : 4y z 17 0 . Phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng P là x 3 4y z 17 0 hay y 6 t x 3 0 z 7 4t Cách 2: Ta có M d M 1 2t; 5 t;3 4t . Gọi M là hình chiếu của M trên x 3 P : x 3 0 . Suy ra M 3; 5 t;3 4t . Suy ra d : y 5 t z 3 4t So sánh với các phương án, ta chọn D là đáp án đúng. Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi x 1 y 2 z 3 qua điểm M (3; 1;1) và vuông góc với đường thẳng : ? 3 2 1 A. 3x 2 y z 12 0 B. 3x 2 y z 8 0 C. 3x 2 y z 12 0 D. x 2 y 3z 3 0 Lời giải.
18. Chọn C. x 1 y 2 z 3 P là mặt phẳng đi qua M 3; 1;1 và vuông góc với :  3 2 1 P là mặt phẳng đi qua M 3; 1;1 và nhận u 3; 2;1 làm VTPT P : 3 x 3 2 y 1 1 z 1 0 3x 2y z 12 0 Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(2;3; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x 3 y z 5 0 ? x 1 3t x 1 t x 1 t x 1 3t A. y 3t .B. y 3t .C. y 1 3t D. y 3t z 1 t z 1 t z 1 t z 1 t Lời giải. Chọn B. (d) đi qua A 2;3;0 và  với mặt phẳng P :x 3y z 5 0  (d) đi qua A 2;3;0 và nhận n P 1;3; 1 làm VTCP Loại đáp án A, D vì sai VTCP. Loại đáp án C vì điểm A không thuộc đường thẳng. Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2;3) . Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I, bán kính IM ? A. (x 1)2 y2 z2 13 B. (x 1)2 y2 z2 13 C. (x 1)2 y2 z2 13 D. (x 1)2 y2 z2 17 Lời giải. Chọn A. I là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox I 1;0;0  IM 0; 2;3 IM 13 2 2 S tâm I , bán kính IM : x 1 y2 z2 13 Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1;1;3) và hai đường thẳng x 1 y 3 z 1 x 1 y z d : , : . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi 3 2 1 1 3 2 qua M, vuông góc với và . x 1 t x t x 1 t x 1 t A. y 1 t B. y 1 t C. y 1 t D. y 1 t z 1 3t z 3 t z 3 t z 3 t Lời giải. Chọn D.  u 3;2;1 ,u ' 1;3; 2 , d là đường thẳng đi qua M 1;1;3 và vuông góc với , d    là đường thẳng đi qua M 1;1;3 và nhận u u ,u 7;7;7 Z [ 1;1;1 d ' x 1 t d : y 1 t z 3 t
19. x 1 3t Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : y 2 t , z 2 x 1 y 2 z d : và mặt phẳng (P) : 2 x 2 y 3z 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình 2 2 1 2 mặt phẳng đi qua giao điểm của d1 và (P), đồng thời vuông góc với d2 . A. 2x y 2z 22 0 B. 2x y 2z 13 0 C. 2x y 2z 13 0 D. 2x y 2z 22 0 Lời giải. Chọn C. A d1  P Tọa độ A là nghiệm của hệ x 1 3t x 1 3t x 4 y 2 t y 2 t y 1 A 4; 1;2 z 2 z 2 z 2 2x 2y 3z 0 2 6t 4 2t 6 0 t 1  (Q) đi qua A và vuông góc với d (Q) đi qua A và nhận u 2; 1;2 làm VTPT 2 d2 Q : 2 x 4 1 y 1 2 z 2 0 2x y 2z 13 0 Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 1 2 z 2 2 2 và hai x 2 y z 1 x y z 1 đường thẳng d : ; : . Phương trình nào dưới đây là phương trình của một 1 2 1 1 1 1 mặt phẳng tiếp xúc với S , song song với d và ? A. x z 1 0 B. x y 1 0 C. y z 3 0 D. x z 1 0 Lời giải. Chọn A Mặt cầu S có tâm I 1;1 2 ; R 2 . Véctơ chỉ phương của d : ud 1;2; 1 . Véctơ chỉ phương của : u 1;1; 1 . Gọi P là mặt phẳng cần viết phương trình. Ta có ud ,u 1;0; 1 nên chọn một véctơ pháp tuyến của P là n 1;0;1 . Mặt phẳng P có phương trình tổng quát dạng: x z D 0 . 1 2 D Do P tiếp xúc với S nên d I; P R 2 2 D 5 D 3 2 . D 1 Chọn P : x z 1 0 . Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm I 1;2;3 và mặt phẳng P : 2x 2y z 4 0. Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng P tại điểm H . Tìm tọa độ điểm H . A. H( 1;4;4) . B. H( 3;0; 2) . C. H(3;0;2) . D. H(1; 1;0) . Lời giải Chọn C
20. Điểm H cần tìm chính là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mặt phẳng P . Phương trình x 1 2t tham số đường thẳng IH là y 2 2y . z 3 t Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng P ta có: 2(1 2t) 2(2 2t) 3 t 4 0 t 1 H (3;0;2). x 2 3t Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : y 3 t và z 4 2t x 4 y 1 z d : . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d 3 1 2 và d , đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. x 3 y 2 z 2 x 3 y 2 z 2 A. .B. . 3 1 2 3 1 2 x 3 y 2 z 2 x 3 y 2 z 2 C. .D. . 3 1 2 3 1 2 Lời giải Chọn A. Ta nhận thấy đường thẳng cần tìm và d , d ' cùng thuộc mặt phẳng. Ta có : cách đều d,d ' nên nằm giữa d,d ' . Do đó : Gọi A(2; 3;4) d;B(4; 1;0) d ' . Trung điểm AB là I(3; 2;2) sẽ thuộc đường thẳng cần tìm. Ta thế I(3; 2;2) lần lượt vào các đáp án nhận thấy đáp án A thỏa. Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;6 , B 0;1;0 và mặt cầu 2 2 2 S : x 1 y 2 z 3 25 . Mặt phẳng P : ax by cz 2 0 đi qua A, B và cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c . A. T 3. B. T 5. C. T 2. D. T 4. Lời giải Chọn A. Ta có A P 3a 2b 6c 2 0 , 2 a B P b 2 0 b 2 c 2 Gọi O là tâm đường tròn giao tuyến. Để đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì IO lớn nhất.