17 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 4: Số phức (Mức độ 4)

Nội dung tài liệu: 17 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 4: Số phức (Mức độ 4)

1. z Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu 2 z2 thức P z 1 i là A. 2 2 .B. 2 .C. 2 . D. 8 . Lời giải ChọnA. 1 2 Cách 1. Xét z 0 suy ra z . Gọi z a bi,b 0 w z 1 2 2a 2 Suy ra z 2 2 a b 2 2 1 i w z a b a b 1 2 b 0 Vì ¡ nên b 2 2 1 0 2 2 suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên w a b a b 2 mặt phẳng Oxy là đường tròn C : x2 y2 2 . Xét điểm A 1;1 là điểm biểu diễn số phức z0 1 i suy ra P MA max P OA r 2 2 . Với r là bán kính đường tròn C : x2 y2 2 . z 2 2 1 Cách 2. w 2 w 2 z z z z 2 0 * . * là phương trình bậc hai với hệ 2 z w 1 số thực ¡ . Vì z thỏa * nên z là nghiệm phương trình * . Gọi z1, z2 là hai nghiệm w của * suy ra z1.z2 2 z1.z2 2 z1 z2 2 z 2 . Suy ra P z 1 i z 1 i 2 2 2 2 . Dấu bằng xảy ra khi z = 1- i . Câu 2. Giả sử z1, z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz 2 i 1 và z1 z2 2. Giá trị lớn nhất của z1 z2 bằng A. 4 B. 2 3 C. 3 2 D. 3 Lời giải Chọn A Cách 1: Đặt z x yi x, y ¡ . Ta có iz 2 i 1 i x iy 2 i 1
2. 2 2 x 1 y 2 1 tập hợp các điểm biểu diễn số phức z1, z2 là đường tròn C tâm I 1; 2 , bán kính R 1 và OI 3 . Gọi M1, M 2 là điểm biểu diễn số phức z1, z2 M1M 2 2 . Đặt A z1 z2 OM1 OM 2 2 2 2 2 OM1 OM 2 M1M 2 Áp dụng công thức trung tuyến: OI 2 OM 2 OM 2 8 . 4 1 2 2 2 2 2 2 Ta có A OM1 OM 2 2 OM1 OM 2 A 16 A 4 . Cách 2: (NQT) iz 2 i 1 iz 2 i 1 z 1 i 2 1 tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn i i I 1; 2 , bán kính R 1 Gọi M1, M 2 là điểm biểu diễn số phức z1, z2 M1M 2 2 nên M1M 2 là đường kính nên z1 z2 2 2 2i . 2 2 2 2 Ta có hằng đẳng thức: 2(| z1 | | z2 | ) | z1 z2 | | z1 z2 | 4 4 8 16. 2 2 2 Nên (| z1 | | z2 |) 2(| z1 | | z2 | ) 16 . Vậy max | z1 | | z2 | 4. ----------------Hết--------------- BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.D 8.A 9.B 10.D 11.B 12.B 13.B 14.D 15.B 16.A 17.A 18.B 19.A 20.C 21.B 22.A 23.B 24.D 25.A 26.D 27.C 28.A 29.B 30.C 31.C 32.D 33.A 34.D 35.D 36.D 37.A 38.D 39.B 40.C 41.B 42.C 43.C 44.C 45.A 46.A 47.C 48.C 49.B 50.A 2 Câu 3. Trong các số phức z thỏa mãn z 1 2 z gọi z1 và z2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun của số phức w z1 z2 là A. w 2 2 . B. w 2 . C. w 2 . D. w 1 2 . Lời giải Chọn A. 2 Đặt z a bi a,b ¡ thì z2 1 2 z a bi 1 2 a bi 2 a2 b2 1 2abi 2 a bi a2 b2 1 4a2b2 4 a2 b2 2 a4 b4 1 2a2 6b2 2a2b2 0 a2 b2 1 4b2 0 a2 b2 1 2b a2 b2 1 2b 0 a2 b2 1 2b 0 2 2 a b 1 2b 0 TH1: a2 b2 1 2b 0 a2 b 1 2 2 .
3. Khi đó tập hợp điểm M a;b biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I1 0;1 , bán kính R 2 , giao điểm của OI với đường tròn là M1 0; 2 1 và M 2 0;1 2 w 2 1 i 1 2 i w 2i w 2 TH2: a2 b2 1 2b 0 a2 b 1 2 2 . Khi đó tập hợp điểm M a;b biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I2 0; 1 , bán kính R 2 , giao điểm của OI với đường tròn là M 3 0; 2 1 và M 4 0; 2 1 w 2 1 i 1 2 i w 2i w 2 . Với đáp án của trường ĐH Vinh đưa ra là A thì ta chọn số phức M1 và M 3 có w 2 2i w 2 2 nên đề bài chưa chuẩn, có thể chọn phương án B. Đáp án ĐH Vinh đưa ra theo mình là chính xác, bởi lẽ trong các số phức z thỏa mãn ta tìm các số phức gọi z1 và z2 có môđun nhỏ nhất và lớn nhất nên phải tổng hợp cả hai TH1 và TH2. Thầy đừng vội tính w mà sau cùng hãy tìm z1 và z2 rồi tính w Một vài góp ý thầy xem nhé 3 5 Câu 4. Cho các số phức w , z thỏa mãn w i và 5w 2 i z 4 . Giá trị lớn nhất của biểu 5 thức P z 1 2i z 5 2i bằng A. 6 7 .B. 4 2 13 . C. 2 53 . D. 4 13 . Lời giải Chọn C Gọi z x yi , với x, y R . Khi đó M x; y là điểm biểu diễn cho số phức z . Theo giả thiết, 5w 2 i z 4 5 w i 2 i z 4 5i 2 i w i z 3 2i z 3 2i 3. Suy ra M x; y thuộc đường tròn C : x 3 2 y 2 2 9 . Ta có P z 1 2i z 5 2i MA MB , với A 1;2 và B 5;2 . Gọi H là trung điểm của AB , ta có H 3;2 và khi đó: P MA MB 2 MA2 MB2 hay P 4MH 2 AB2 . Mặt khác, MH KH với mọi M C nên P 4KH 2 AB2 4 IH R 2 AB2 2 53 . M  K 3 11 Vậy Pmax 2 53 khi hay z 3 5i và w i . MA MB 5 5
4. Câu 5. Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z 6 8 zi là số thực. Biết rằng z1 z2 4 , giá trị nhỏ nhất của z1 3z2 bằng A. 5 21 B. 20 4 21 C. 20 4 22 D. 5 22 Lời giải Chọn C Giả sử z x yi , x, y ¡ .Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 , z2 . Suy ra AB z1 z2 4 . 2 2 * Ta có z 6 8 zi x 6 yi . 8 y xi 8x 6y 48 x y 6x 8y i . Theo giả thiết z 6 8 zi là số thực nên ta suy ra x2 y2 6x 8y 0. Tức là các điểm A, B thuộc đường tròn C tâm I 3;4 , bán kính R 5.      * Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa MA 3MB 0 OA 3OB 4OM .Gọi H là trung điểm AB . Ta tính được HI 2 R2 HB2 21; IM HI 2 HM 2 22 , suy ra điểm M thuộc đường tròn C tâm I 3;4 , bán kính r 22 .    * Ta có z1 3z2 OA 3OB 4OM 4OM , do đó z1 3z2 nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất. Ta có OM OM OI r 5 22 . min 0 z 3z 4OM 20 4 22 Vậy 1 2 min 0 . Câu 6. Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z.z z z . Xét các số phức z1, z2 S sao cho z1 z2 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z1 3i z2 3i bằng A. 2. B. 1 3 . C. 2 3 . D. 20 8 3. Lời giải Chọn A Đặt z a bi; a,b ¡ . a2 b2 2a Ta có : z.z z z a2 b2 2 a . 2 2 a b 2a
5. Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn của số phức z1, z2 . z1 z2 1 AB 1. Khi đó: P z1 3i z2 3i CA CB , với C(0; 3) . Pmin I1C R I2C R 2 ; với I1( 1;0), I2 (1;0), R 1. I I Dấu '' '' xảy ra vì A, B lần lượt là trung điểm CI , CI và AB 1 2 1 (thỏa mãn) 1 2 2 . Câu 7. Xét các số phức z và w thỏa mãn z w 1, z w 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P zw+2i z w 4 bằng 3 2 1 5 2 A. .B. .C. 5 2 2 .D. 5 . 2 4 Lời giải Chọn A Do z w 1 z cos i.sin , w cos  i.sin  ,  ¡ Do z w 2 cos  0  k , k ¢ . Chọ k 0  . 2 2 w sin i.cos . P z 2i . w 2i 5 4sin . 5 4cos 25 20 sin cos 16sin .cos t 2 1 Đặt t sin cos , 2 t 2 sin .cos . 2 3 2 5 P 8t 2 20t 17 . Dấu bằng xảy ra khi t . 2 4 3 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng . 2 10 Câu 8. Xét số phức z thỏa mãn 1 2i z 2 i. Mệnh đề nào dưới đây đúng? z 3 1 1 3 A. z 2. B. z 2. C. z . D. z . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D
6. 1 Ta có z 1 z. z 2 Vậy 10 10 10 1 2i z 2 i z 2 2 z 1 i 2 .z z 2 2 z 1 i 2 .z z z z 2 2 10 2 10 z 2 2 z 1 . z . Đặt z a 0. 4 2 z z 2 2 2 10 a 1 a 2 2a 1 a4 a2 2 0 a 1 z 1. 2 2 a a 2 Câu 9. Xét số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính P m M. 5 2 2 73 A. P 13 73 B. P 2 5 2 73 C. P 5 2 73 D. P 2 Lời giải Chọn B 8 D 6 4 A 2 H E 5 N 2 Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , E 2;1 , F 4;7 và N 1; 1 . Từ AE A F z 2 i z 4 7i 6 2 và EF 6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF . 3 3 5 2 2 73 Gọi H là hình chiếu của N lên EF , ta có H ; . Suy ra P NH NF . 2 2 2 Câu 10. Cho số phức z a bi (a, b ¡ ) thỏa mãn z 1 3i z i 0 . Tính S a 3b 7 7 A. S B. S 5 C. S 5 D. S 3 3 Lời giải.
7. Chọn B. z 1 3i z i 0 a bi 1 3i a2 b2 i 0 a 1 b 3 a2 b2 i 0 a 1 a 1 a 1 a 1 0 a 1 b 3 b 3 2 2 2 4 b 3 a b 0 b 1 b 3 2 b 2 4 3 b 1 b 3 b 3 4 S a 3b 1 3. 5 3 z Câu 11. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3i 5 và là số thuần ảo ? z 4 A. 0 B. Vô sốC. 1 D. 2 Lời giải. Chọn C. 2 2 z 3i 5 a b 3 i 5 a b 3 5 z a bi a bi a 4 bi lµ sè thuÇn ¶o lµ sè thuÇn ¶o lµ sè thuÇn ¶o 4 z a 4 bi a 4 bi a 4 bi 2 a2 b 3 25 a2 b2 6b 16 2 2 a2 4a b2 4bi a b 4a 0 lµ sè thuÇn ¶o 2 2 a 4;b 0 a 4 b 2a 8 b 16 3 a 2 13 16 24 13a 68a 64 0 z i 24 13 13 a 4;b 0 b 13 2a 8 b 3 4a 6b 16 2 2 2 2 2a 8 a b 4a 0 a 4a 0 3 a 4;b 0 a 4;b 0 Vậy có 1 số phức thỏa YCBT. Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn z 3 5 và z 2i z 2 2i . Tính z . A. z 17 .B. .C. z 17 z 10 .D. . z 10 Lời giải Chọn C. Gọi z a bi(a,b R) . 2 Ta có : z 3 5 a bi 3 5 a 3 b2 25 (1). Ta lại có:
8. z 2i z 2 2i a bi 2i a bi 2 2i a2 (b 2)2 (a 2)2 (b 2)2 2 2 a 2 a a (a 2) a 1 a 2 a Thế vào (1) 16 b2 25 b2 9 . Vậy z a2 b2 12 9 10 . Câu 13. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z 1 và z 3 i m . Tìm số phần tử của S . A. 2 . B. 4. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn A. 2 2 x y 1(1) Gọi z x yi (x, y ¡ ) ,ta có hệ 2 2 2 (x 3) (y 1) m (m 0) Ta thấy m 0 z 3 i không thỏa mãn z.z 1 suy ra m 0 . Xét trong hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn (1) là đường tròn C1 có O 0;0 , R1 1, tập hợp các điểm thỏa mãn (2) là đường tròn C2 tâm I 3; 1 , R2 m , ta thấy OI 2 R1 suy ra I nằm ngoài C1 . Để có duy nhất số phức z thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với C1 , C2 tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều điều này xảy ra khi OI R1 R2 m 1 2 m 1 hoặc R2 R1 OI m 1 2 3 . Câu 14. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 4 i 2i 5 i z ? A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Lời giải Chọn B. Ta có z z 4 i 2i 5 i z z z 4 z z i 2i 5 i z z z 5 i 4 z z 2 i . Lấy module 2 vế ta được
9. 2 2 2 2 2 2 z z 5 1 4 z z 2 z 2 z 5 1 4 z z 2 1 . Đặt t z , t 0 . Phương trình 1 trở thành t 2 t 5 2 1 4t 2 t 2 2 t 2 t 2 10t 26 17t 2 4t 4 t 4 10t3 9t 2 4t 4 0 t 1 t3 9t 2 4 0 t 1 n t 1 t 8,95 n . 3 2 t 9t 4 0 t 0,69 n t 0,64 l 4t 2 t i Ứng với mỗi giá trị t 0 , với z suy ra có một số phức z thỏa mãn. 5 i t Câu 15. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 3 i 2i 4 i z ? A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 Lời giải Chọn B z z 3 i 2i 4 i z z 4 i z 3 z z 2 i (*) 2 2 z 4 1. z 9 z 2 z 2 (1). Đặt m z 0 ta có 1 m 4 2 1 .m2 9m2 m 2 2 m4 8m3 7m2 4m 4 0 m 1 m 1 m 6,91638 m 1 m3 7m2 4 0 . 3 2 m 7m 4 0 m 0.80344 m 0.71982 L 3m m 2 i Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi z m sẽ có một số phức z thỏa mãn đề bài. m 4 i Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 16. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z z 6 i 2i 7 i z ? A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Lời giải Chọn B Đặt z a 0,a ¡ , khi đó ta có z z 6 i 2i 7 i z a z 6 i 2i 7 i z a 7 i z 6a ai 2i a 7 i z 6a a 2 i a 7 i z 6a a 2 i a 7 2 1 a2 36a2 a 2 2 a4 14a3 13a2 4a 4 0 a 1 a 1 a3 13a2 4 0 3 2 a 12a 4 0
10. Xét hàm số f a a3 13a2 a 0 , có bảng biến thiên là Đường thẳng y 4 cắt đồ thị hàm số f a tại hai điểm nên phương trình a3 12a2 4 0 có hai nghiệm khác 1 . Mỗi giá trị của a cho ta một số phức z . Vậy có 3 số phức thỏa mãn điều kiện. Câu 17. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 5 i 2i 6 i z ? A. 1 B. 3 C. 4 D. 2 Lời giải Chọn B Ta có z z 5 i 2i 6 i z z 6 i z 5 z z 2 i 1 Lây môđun hai vế của 1 ta có: 2 2 z 6 1. z 25 z 2 z 2 Bình phương và rút gọn ta được: z 4 12 z 3 11 z 2 4 z 4 0 z 1 z 3 11 z 2 4 0 z 1 z 1 z 10,9667... 3 2 z 11 z 4 0 z 0,62... z 0,587... Do z 0 , nên ta có z 1, z 10,9667..., z 0,62... . Thay vào 1 ta có 3 số phức thỏa mãn đề bài.