27 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian (Mức độ 4)

Nội dung tài liệu: 27 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian (Mức độ 4)

1. Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2; 3 và mặt phẳng P : 2x 2y z 9 0. Đường thẳng d đi qua A và có véctơ chỉ phương u 3; 4; 4 cắt P tại B . Điểm M thay đổi trong P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 . Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau? A. H 2; 1; 3 . B. I 1; 2; 3 . C. K 3; 0; 15 . D. J 3; 2; 7 . Lời giải ChọnB. d A H B M P x 1 3t Phương trình đường thẳng d là: y 2 4t , t ¡ z 3 4t B d B 1 3t; 2 4t; 3 4t Mà B P 18t 18 0 t 1 B 2; 2; 1 Do MAB vuông tại M MB AB2 MA2 Để MB lớn nhất MA nhỏ nhất Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng P Xét AHM vuông tại H AM AH Để MA nhỏ nhất M  H MB là giao tuyến của mặt phẳng P với mặt phẳng ; là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng P  n n p ,ud 4;5;2 u MB n p ,n 9 1; 0; 2 x 2 t Vậy phương trình đường thẳng MB : y 2 z 1 2t Thấy ngay điểm I 1; 2; 3 thỏa mãn. Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho biết đường cong  là tập hợp tâm của các mặt cầu đi qua điểm A 1;1;1 đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng : x y z 6 0 và  : x y z 6 0 . Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong  bằng
2. A. 45 . B. 3 5. C. 9 . D. 3. Lời giải ChọnC. Gọi S là một mặt cầu thỏa đề bài, với tâm I x; y; z . Theo bài ra, ta có IA d I; d I;  . Mà d I; d I;  x y z 6 x y z 6 x y z 0. Vậy tâm của các mặt cầu thỏa đề bài sẽ nằm trên mặt phẳng (P): x + y + z = 0. d ;  2 2 2 Vì //  nên IA 2 3 . Từ đó x 1 y 1 z 1 12. Vậy điểm 2 2 2 2 I x; y; z thuộc mặt cầu (S1):(x- 1) + (y - 1) + (z - 1) = 12. Tập hợp tâm của mặt cầu S là giao tuyến của mặt cầu S1 và mặt phẳng P hay chính 2 2 là đường tròn có bán kính R R2 d 2 A; P 2 3 3 3. S1 Vậy diện tích của hình phẳng cần tính là S R2 9 . Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(10;6; 2), B(5;10; 9) và mặt phẳng ( ) : 2x 2y z 12 0. Điểm M di động trên mặt phẳng ( ) sao cho MA, MB luôn tạo với ( ) các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn () cố định. Hoành độ của tâm đường tròn () bằng ? 9 A. 4 B. C. 2 D. 10 2 Lời giải Chọn C   Gọi M x; y; z AM x 10; y 6; z 2 ; BM x 5; y 10; z 9 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên , có ·AMH B· MK,d A, 2d B, · AH sin AMH MA AH BK 2 2 Khi đó MA 2 MB MA 4MB . BK MA MB sin B· MK MB 2 2 2 2 2 2 Suy ra x 10 y 6 z 2 4 x 5 y 10 z 9 2 2 2 2 2 2 20 68 68 10 34 34 x y z x y z 228 0 S : x y z 40 3 3 3 3 3 3 Vậy M  là giao tuyến của và S 10 x 2t 3 10 34 34 34 Phương trình đường thẳng qua tâm O ; ; và vuông góc với ( ) là: y 2t 3 3 3 3 34 z t 3 10 34 34 Tọa độ tâm I của đường tròn  ứng với t thỏa mãn 2 2t 2 2t t 12 0 3 3 3
3. 2 3t 2 0 t I 2;10; 12 . 3  Tâm I 2;10; 12 . Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x z 3 0 và điểm M (1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz , B là hình chiếu của A lên ( ). Biết rằng tam giác MAB cân tại M . Diện tích của tam giác MAB bằng 3 3 3 123 A. 6 3 B. C. D. 3 3 2 2 Lời giải Chọn B Gọi A 0;0;a Oz Phương trình đường thẳng d đi qua A 0;0;a và vuông góc với ( ) : x z 3 0 có dạng x t x t a 3 y 0 . Thay y 0 vào ( ) : x z 3 0 ta được t a t 3 0 t 2 z a t z a t a 3 a 3 Suy ra B ;0; 2 2 Do MAB cân tại M nên MA MB hay MA2 MB2 do đó ta có 2 2 2 2 2 a 3 2 a 3 1 0 1 0 a 1 1 0 1 1 2 2 A 0;0;3 , B 3;0;0 2 a 3 2a 18 0 a 3 A 0;0; 3 , B 0;0; 3 Loai Khi đó   MA 1; 1;2 , MB 2; 1; 1 1   3 3 S MA  MB MAB 2 2 Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A 2;3;3 , phương trình đường trung tuyến kẻ từ x 3 y 3 z 2 x 2 y 4 z 2 B là , phương trình đường phân giác trong của góc C là . 1 2 1 2 1 1 Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là A. u3 2;1; 1 . B. u2 1; 1;0 . C. u4 0;1; 1 . D. u1 1;2;1 . Lời giải Chọn C. x 2 2t Phương trình tham số của đường phân giác trong góc C là CD : y 4 t . z 2 t 7 t 5 t Gọi C 2 2t;4 t;2 t , suy ra tọa độ trung điểm M của AC là M 2 t; ; . 2 2 Vì M BM nên:
4. 7 t 5 t 3 2 2 t 3 2 2 t 1 1 t 1 t t 1. 1 2 1 1 4 2 Do đó C 4;3;1 . Phương trình mặt phẳng P đi qua A và vuông góc CD là 2. x 2 1. y 3 1. z 3 0 hay 2x y z 2 0 . Tọa độ giao điểm H của P và CD là nghiệm x; y; z của hệ x 2 2t x 2 2t x 2 y 4 t y 4 t y 4 H 2;4;2 . z 2 t z 2 t z 2 2x y z 2 0 2 2 2t 4 t 2 t 2 0 t 0 Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường phân giác CD , suy ra H là trung điểm AA , bởi vậy: xA 2xH xA 2.2 2 2 yA 2yH yA 2.4 3 5 A 2;5;1 . xA 2zH zA 2.2 3 1  Do A BC nên đường thẳng BC có véc-tơ chỉ phương là CA 2;2;0 2 1;1;0 , nên x 4 t phương trình đường thẳng BC là y 3 t . z 1 Vì B BM  BC nên tọa độ B là nghiệm x; y; z của hệ x 4 t x 2 y 3 t y 5 z 1 B 2;5;1  A . z 1 x 3 y 3 1 t 2 1 2  Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là AB 0;2; 2 2 0;1; 1 ; hay u4 0;1; 1 là một véc-tơ chỉ của phương đường thẳng AB . x 1 y 1 z m Câu 6. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : và mặt c 1 1 2 S : x 1 2 y 1 2 z 2 2 9 .Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt E , F sao cho độ dài đoạn EF lớn nhất 1 1 A. m 1.B. m 0 . C. m .D. m . 3 3 Lời giải Chọn B Mặt cầu S có tâm I 1;1;2 và bán kính R 3. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d , khi đó H là trung điểm đoạn EF . 2 Ta có EF 2EH 2 R2 d I, P . Suy ra EF lớn nhất khi d I, P nhỏ nhất Đường thẳng d qua A 1; 1;m và có véc tơ chỉ phương u 1;1;2 .
5.   Ta có AI 0;2;2 m , AI,u 2 m;2 m; 2 .  2 AI,u 2m 12 Suy ra d I, P 2 . u 1 1 4 2 Do đó d I, P nhỏ nhất khi m 0 . Khi đó EF 2EH 2 R2 d I, P 2 7 . x 1 t x 2t Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : y 2 t , d : y 1 t . Đường thẳng cắt z t z 2 t d , d lần lượt tại các điểm A , B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng là x 1 y 2 z x 4 y z 2 A. . B. . 2 1 3 2 1 3 x y 3 z 1 x 2 y 1 z 1 C. . D. . 2 1 3 2 1 3 Lời giải Chọn D  d A 1 t;2 t;t ,  d B 2t ;1 t ;2 t .  1 AB.u 0 2t t 1 t t 1 t t 2 0 2t 3t 2 t   2 . AB.u 0 4t 2t 2 t t 1 t t 2 0 6t 2t 1 t 1  1 3 Suy ra A 2;1;1 , AB 1; ; 2 2 AB ngắn nhất suy ra AB là đoạn vuông góc chung của d , d .  x 2 y 1 z 1 Vậy đi qua A 2;1;1 có vectơ chỉ phương u 2AB 2;1;3 : . 2 1 3 Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho a 1; 1;0 và hai điểm A 4;7;3 , B 4;4;5 . Giả sử M , N là hai  điểm thay đổi trong mặt phẳng Oxy sao cho MN cùng hướng với a và MN 5 2 . Giá trị lớn nhất của AM BN bằng A. 17 . B. 77 . C. 7 2 3 . D. 82 5 . Lời giải Chọn A   Vì MN cùng hướng với a nên t 0 : MN ta .  Hơn nữa, MN 5 2 t. a 5 2 t 5. Suy ra MN 5; 5;0 . x 4 4 x 1   Gọi A x ; y ; z là điểm sao cho AA MN y 7 5 y 2 A 1;2;3 . z 3 0 z 3 Dễ thấy các điểm A , B đều nằm cùng phía so với mặt phẳng Oxy vì chúng đều có cao độ dương. Hơn nữa vì cao độ của chúng khác nhau nên đường thẳng A' B luôn cắt mặt phẳng
6. Oxy tại một điểm cố định.   Từ AA MN suy ra AM A N nên AM BN A' N BN A' B dấu bằng xảy ra khi N là giao điểm của đường thẳng A' B với mặt phẳng Oxy . Do đó max AM BN A' B 4 1 2 4 2 2 5 3 2 17 , đạt được khi N A B  Oxy . x 4 y 4 z 2 Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 3; 4; 5 và các đường thẳng d : ; 1 5 2 3 x 1 y 2 z 5 d : . Đường thẳng d đi qua M và cắt d ,d lần lượt tại A, B . Diện tích tam giác 2 1 3 2 1 2 OAB bằng 5 3 3 5 A. . B. 5 3 . C. 3 5 . D. . 2 2 Lời giải  Ta có đường thẳng d1 đi qua điểm C 4;4;2 và có một véc tơ chỉ phương u1 5;2;3 và x 4 5t phương trình tham số của nó là: y 4 2t . z 2 3t  Đường thẳng d2 đi qua điểm D 1;2; 5 và có một véc tơ chỉ phương u2 1;3; 2 và x 1 t phương trình tham số của nó là y 2 3t . z 5 2t Gọi P là mặt phẳng đi qua d1 và M , Q là mặt phẳng đi qua d2 và M , khi đó gọi A d  Q , B d  P , d P  Q thì d đi qua A và B . 1  2  Ta có CM 7; 8; 7 ; DM 2; 6;0 .   Mặt phẳng P có một véc tơ pháp tuyến là u ,CM 10; 14;26 2 5; 7;13 nên nó có 1 một véc tơ pháp tuyến khác là n 5; 7;13 . Phương trình tổng quát của mặt phẳng P là 5 x 3 7 y 4 13 z 5 0 5x 7y 13z 22 0 .   Mặt phẳng Q có một véc tơ pháp tuyến là u , DM 12; 4;0 4 3;1;0 nên nó có 2  một véc tơ pháp tuyến khác là n 3;1;0 . Phương trình tổng quát của mặt phẳng Q là 3 x 3 1 y 4 0 3x y 5 0 . Vì A d1  Q nên A d1 A 4 5t;4 2t;2 3t và A Q 3 4 5t 4 2t 5 0 t 1 A 1;2; 1 . Vì B d2  P nên B d2 B 1 t ;2 3t ; 5 2t và B P 5 1 t 7 2 3t 13 5 2t 22 0 t 1 B 2; 1; 3 .     Ta có OA 1;2; 1 ;OB 2; 1; 3 OA,OB 7;1; 5 . 1   1 2 2 5 3 Diện tích tam giác OAB là S OA,OB 7 12 5 . 2 2 2
7. x 2 y z 4 Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và đường thẳng 3 2 2 x 1 y 2 z 1 : . Biết rằng trong tất cả các mặt phẳng chứa thì mặt phẳng 3 1 2 (P) : ax by cz 25 0 tạo với d góc lớn nhất. Tính T a b c . A. T 9 . B. T 8 . C. T 5 . D. T 7 . Lời giải Trên đường thẳng lấy điểm M .Dựng đường thẳng d đi qua M song song với d . Khi đó góc giữa d và (P) chính là góc giữa d và (P) . Trên đường thẳng d lấy điểm A . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và . Ta có: ·d,(P) ·d ,(P) ·AMH . Góc giữa d và (P) lớn nhất khi sin ·AMH lớn nhất. AH AK Màsin ·AMH . AM AM ( Dấu bằng xảy ra khi H  K , suy ra mặt phẳng(P) vuông góc với mặt phẳng (AMK) ). (P) u  u  u 3 3;13; 2 Do đó đi qua M và nhận d làm vecto pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng P : 3(x 1) 13(y 2) 2(z 1) 0 3x 13y 2z 25 0 . Vậy T a b c 8 . Cách 2 3a b 2c 0 a 5 c Vì mặt phẳng (P) chứa nên ta có: . a 2b c 25 0 b c 15 Khi đó n 5 c;c 15;c là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng(P) . 2 · 3 5 c 2 c 15 2c 3 c 30c 225 sin d,(P) 2 3 2 22 2 2 . 5 c 2 c 15 2 c2 17 3c 40c 250 c2 30c 225 Góc giữa d và (P) lớn nhất khi sin ·d,(P) lớn nhất T lớn nhất. 3c2 40c 250 c2 30c 225 Ta có: T 3T 1 3c2 10 4T 3 c 250T 225 0 (1) . 3c2 40c 250 1 17 + Nếu T thì (1) c . 3 2 1 13 + Nếu T thì (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0 14T 2 13T 0 0 T . 3 14 13 5 4T 3 T c 2 . max 14 3T 1 Suy ra góc giữa d và (P) lớn nhất c 2 .
8. Phương trình mặt phẳng (P) là 3x 13y 2z 25 0 . Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 4x 12y 6z 24 0 . Hai điểm M , N thuộc S sao cho MN 8 và OM 2 ON 2 112 . Khoảng cách từ O đến đường thẳng MN bằng A. 4 . B. 3 . C. 2 3 . D. 3 . Lời giải Chọn B Phương trình mặt cầu S : x2 y2 z2 4x 12y 6z 24 0 ; ta có I 2; 6; 3 , R 5 và OI 7 .   2   2    OM 2 ON 2 OI IM OI IN 2OI IM IN       2OI.MN 2.OI.MN.cos OI, MN 112.cos OI, MN .   Khi đó OM 2 ON 2 112 cos OI, MN 1.   Suy ra OI và MN ngược hướng hay OI PMN (vì O MN ). 2 2 MN Vậy d O, MN d I, MN R 3 . 2 Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x y 2z 16 0 và mặt cầu 2 2 2 S : x 2 y 1 z 3 21. Một khối hộp chữ nhật H có bốn đỉnh nằm trên mặt phẳng P và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu S . Khi H có thể tích lớn nhất, thì mặt phẳng chứa bốn đỉnh của H nằm trên mặt cầu S là Q : 2x by cz d 0 . Giá trị b c d bằng: A. 15 .B. 13 .C. 14 .D. 7 . Lời giải Chọn B Ta có mặt cầu S có tâm I 2; 1;3 và bán kính R 21 và d I, P 9. Do H là hình hộp chữ nhật nên P // Q Q : 2x y 2z d 0 11 d Khi đó d I, Q d0 3 2 Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp bốn điểm của khối hộp nằm trên mặt cầu là 21 d0 Gọi m,n là hai cạnh của hình chữ nhật, khi đó diện tích hình chữ nhật là mn
9. 2 2 2 m n 4 21 d0 Áp dụng bất đẳng thức Am – Gm : mn 42 2d 2 2 2 0 2 Ta có thể tích của khối hộp H là V 9 d0 42 2d0 400 11 d d 14 n Đẳng thức xảy ra khi d0 1 1 b c d 13. 3 d 8 l Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x 2 y 2z 3 0 và mặt cầu  S : x 2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 5 0. Giả sử M P và N S sao cho MN cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN. A. MN 3 B. MN 1 2 2 C. MN 3 2 D. MN 14 Lời giải Chọn C Mặt phẳng P có vtpt n 1; 2; 2 . Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 1 và bán kính r 1 . Nhận thấy rằng góc giữa u và n bằng 45ο . Vì d I; P 2 1 r nên P không cắt S . NH Gọi H là hình chiếu của N lên P thì N· MH 45ο và MN NH 2 nên MN sin 45ο lớn nhất khi và chỉ khi NH lớn nhất. Điều này xảy ra khi N  N và H  H với N là giao điểm của đường thẳng d qua I , vuông góc P và H là hình chiếu của I lên P . NH Lúc đó và max . NHmax N H r d I; P 3 MNmax ο 3 2 sin 45 Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 y2 z2 9 , điểm M (1;1; 2) và mặt phẳng (P) : x y z 4 0 . Gọi là đường thẳng đi qua M, thuộc (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. Biết rằng có một vectơ chỉ phương là u (1; a;b) . Tính t a b A. T 2 B. T 1 C. T 1 D. T 0 Lời giải. Chọn C. S có tâm O 0;0;0 , bán kính R 3
10. (S) O (C) H A M B (P) 4 M P d O; P R 3 3 P cắt S theo giao tuyến là đường tròn C có tâm H và bán kính HA HB (H là hình chiếu của O lên P . + Tìm H? x t OH đi qua O và  P có PT là y t Suy ra: H t;t;t z t 4 4 4 4 H P t Suy ra: H ; ; 3 3 3 3  1 1 1 6 HM ; ; HM R 3 M nằm trong (S) 3 3 3 3 + , Dựng   tại I ABmin d H AB max HI AB HIM HI HM const AB  HM    Dấu “=” xảy ra M  I u HM,n 1;1;0 Z [ 1; 1;0 AB P AB  P Mà có 1 VTCP: u 1;a;b Suy ra T a b 1 0 1 Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 4;6;2 và B 2; 2;0 và mặt phẳng P : x y z 0. Xét đường thẳng d thay đổi thuộc P và đi qua B , gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R 6 B. R 2 C. R 1 D. R 3 Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm của AB I 3;2;1 3 2 1 d I; P 2 3 3 AB Gọi S là mặt cầu có tâm I 3;2;1 và bán kính R 3 2 2 Ta có H S . Mặt khác H P nên H C S  P 2 2 2 Bán kính của đường tròn C là R R d 2 I; P 3 2 2 3 6 .
11. Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0; 2 . Gọi D là điểm khác O sao cho DA , DB , DC đôi một vuông góc nhau và I a;b;c là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Tính S a b c . A. S 4 . B. S 1. C. S 2 . D. S 3. Lời giải Chọn B. Cách 1. Xét trục d của ABC , ta có ABC : x y z 2 0 , do ABC đều nên d đi qua 2 x t 3 2 2 2 2 trọng tâm G ; ; và có VTCP u (1;1;1) suy ra d : y t . 3 3 3 3 2 z t 3 Ta thấy DAB DBC DCA , suy ra DA DB DC D d nên giả sử 2 2 2 D t; t; t . 3 3 3  4 2 2  2 4 2  2 2 4 Ta có AD t; t; t ; BD t; t; t ;CD t; t; t 3 3 3 3 3 3 3 3 3   2 4 4 4 t D ; ; AD.BD 0 3 3 3 3 Có   . AD.CD 0 2 t D 0;0;0 (loai) 3 2 2 2 Ta có I d I t; t; t , do tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm I nên 3 3 3 1 1 1 1 IA ID t I ; ; S 1. 3 3 3 3
12. Cách 2. Xét tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA OB OC 2, 2 2 2 ABC đều cạnh bằng 2 2 nên gọi G là trọng tâm của ABC thì G ; ; và đường 3 3 3 thẳng OG là trục đường tròn ngoại tiếp ABC . Dựng hình lập phương OADB.CA D B . Khi đó D 2; 2;0 và tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là trung điểm J của đoạn thẳng CD có tọa độ là J 1; 1; 1 . Theo giả thiết: Vì D là điểm khác O sao cho DA , DB , DC đôi một vuông góc nhau, ABC đều nên D đối xứng với O qua G và tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện DABC đối xứng 1 1 1 với điểm J qua G . Do đó: I ; ; . Vậy S 1 3 3 3 Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;2;1 , B 3; 1;1 và C 1; 1;1 . Gọi S1 là mặt cầu có tâm A , bán kính bằng 2 ; S2 và S3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B , C và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S1 , S2 , S3 . A. 5 B. 7 C. 6 D. 8 Lời giải Chọn B Gọi phương trình mặt phẳng P tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là: ax by cz d 0 . a 2b c d 2 2 2 2 d A; P 2 a b c 3a b c d Khi đó ta có hệ điều kiện sau: d B; P 1 1 a2 b2 c2 d C; P 1 a b c d 1 a2 b2 c2 a 2b c d 2 a2 b2 c2 2 2 2 3a b c d a b c . a b c d a2 b2 c2
13. 3a b c d a b c d Khi đó ta có: 3a b c d a b c d 3a b c d a b c d a 0 . a b c d 0 với a 0 thì ta có 2b c d 2 b2 c2 2b c d 2 b2 c2 c d 0 c d 0,b 0 4b c d 0 do đó 2b c d 2 b c d c d 4b,c 2 2b c d 0 có 3 mặt phẳng. Với a b c d 0 thì ta có 4 2 2 2 b a 3b 2 a b c 3b 4 a 3 2 2 2 2a a2 b2 c2 11 2a a b c c a 3 do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán. x 1 t Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 2 t. Gọi là đường thẳng đi qua điểm z 3 A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương u (0; 7; 1). Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và có phương trình là x 1 6t x 4 5t x 4 5t x 1 5t A. y 2 11t. B. y 10 12t. C. y 10 12t. D. y 2 2t. z 3 8t z 2 t z 2 t z 3 t Lời giải Chọn B Đường thẳng d đi qua A(1;2;3) và có VTCP a (1;1;0) . Ta có a.u 1.0 1.( 7) 0.( 1) 7 0 (a,u) 90. Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và có VTCP: u a 1 b 5;12;1 // 5;12;1 . u a 5 2 x 4 5t Phương trình đường thẳng cần tìm là y 10 12t. z 2 t Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) : (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 1 và điểm A(2;3;4) . Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S) , M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là A. 2x 2y 2z 15 0 B. x y z 7 0 C. 2x 2y 2z 15 0 D. x y z 7 0 Lời giải Chọn B
14. Dễ thấy A nằm ngoài mặt cầu (S) . Tâm mặt cầu là I(1;2;3) .   Đường thẳng AM tiếp xúc với (S) AM  IM AM.IM 0 (x 2)(x 1) (y 3)(y 2) (z 4)(z 3) 0 (x 1 1)(x 1) (y 2 1)(y 2) (z 3 1)(z 3) 0 (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 (x y z 7) 0 x y z 7 0 (Do (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 0) . Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1;0;2 và đi qua điểm A 0;1;1 . Xét các điểm B , C , D thuộc S sao cho AB , AC , AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng 8 4 A. B. 4 C. D. 8 3 3 Lời giải Chọn C D a D R I a c C R I A c A C b M b M B B Đặt: AD a, AB b , AC c . Ta có: R IA 3 . b2 c2 a b2 a2 c2 AM ; IM R2 IA2 3. 2 2 4 3 b2 a2 c2 AD BĐT Cosi: b2 a2 c2 33 b2a2c2 b2a2c2 abc 8 . 27 1 1 4 V abc .8 . 6 6 3 Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 2 y 3 2 z 1 2 16 và điểm A 1; 1; 1 . Xét các điểm M thuộc S sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với S , M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là A. 3x 4y 2 0 B. 3x 4y 2 0 C. 6x 8y 11 0 D. 6x 8y 11 0 Lời giải Chọn A S có tâm I 2;3; 1 ; bán kính R 4
15.  A 1; 1; 1 IA 3; 4;0 , tính được IA 5 .  Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận IA 3; 4;0 làm vectơ pháp tuyến. IM 2 16 Do hai tam giác MHI và AMI đồng dạng nên tính được IM 2 IH.IA IH , từ đó tính IA 5  16  2 11 được IH IA tìm được H ; ; 1 25 25 25 2 11 Mặt phẳng cần tìm có phương trình là: 3 x 4 y 0 3x 4y 2 0. 25 25 2 Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z 2 3 . Có tất cả bao nhiêu điểm A a;b;c ( a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 12 . B. 8 . C. 16 . D. 4 . Lời giải Do A(a;b;c) thuộc mặt phẳng (Oxy) nên A(a;b;0). Nhận xét: Nếu từ A kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc đến mặt cầu khi và chỉ khi R £ IA £ R 2 Û 3 £ a2 + b2 + 2 £ 6 Û 1 £ a2 + b2 £ 4. Tập các điểm thỏa đề là các điểm nguyên nằm trong hình vành khăn , nằm trong mặt phẳng (Oxy), tạo bởi 2 đường tròn đồng tâm O (0;0;0) bán kính lần lượt là 1 và 2 . Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0;4; 3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 . Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. P 3;0; 3 . B. Q 0;11; 3 . C. N 0;3; 5 . D. M 0; 3; 5 . Lời giải Chọn D Cách 1:
16. Ta có d thuộc mặt trụ có bán kính r 3 và có trục là Oz . Gọi A là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy A 0;4;0 . Gọi điểm K là giao của mặt trụ và Oy sao cho A K lớn nhất, suy ra K 0; 3;0 . Ta có: d A,d A' K 7 . Suy ra maxd A,d 7 . Khi đó đường thẳng d đi qua K 0; 3;0 và song song với Oz . x 0 Phương trình đường thẳng d là: y 3 z t Vậy d đi qua M 0; 3; 5 . Cách 2:
17. Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d P : z 3 0 . Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên Oz I 0;0; 3 . Gọi M P d . Ta có tập hợp các điểm M là đường tròn C có tâm I 0;0; 3 , bán kính R 3 và nằm trên P . Tọa độ các điểm thuộc đường tròn C là nghiệm của hệ phương trình 2 x2 y2 z 3 9 . z 3 0 x 0 Phương trình đường thẳng AI : y 4 t , t R . z 3 M ' 0;3; 3 AM ' 1 Gọi M ' AI  C . M ' 0; 3; 3 AM ' 7 Ta có: d A,d AM AM 7, với M 0; 3; 3 . Suy ra maxd A,d 7 . Khi đó đường thẳng d đi qua K và song song với Oz . x 0 Phương trình đường thẳng d là: y 3 , t ' R . z 3 t ' Vậy M 0; 3; 5 d . 2 Câu 24. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S : x2 y2 z 2 3 . Có tất cả bao nhiêu điểm A a;b;c ( a,b,c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 12. B. 4 . C. 8 . D. 16 . Lời giải Chọn A
18. Mặt cầu S có tâm I 0;0; 2 , bán kính R 3 . Dễ thấy S cắt mặt phẳng Oxy nên từ một điểm A bất kỳ thuộc mặt phẳng Oxy và nằm ngoài S kẻ tiếp tuyến tới S thì các tiếp tuyến đó nằm trên một mặt nón đỉnh A, các tiếp điểm nằm trên một đường tròn được xác định. Còn nếu A thuộc S thì ta kẻ các tiếp tuyến đó sẽ thuộc một mặt phẳng tiếp diện của S tại điểm A. Để có ít nhất hai tiếp tuyến qua A thỏa mãn bài toán khi và chỉ khi + Hoặc A thuộc S IA R 3 . + Hoặc các tiếp tuyến tạo thành mặt nón và góc ở đỉnh của mặt nón là 2 IM 2 3 2 M· AN 900 M· AI 450 suy ra SinM· AI IA 6 . 2 IA 2 IA 2 Vậy điều kiện bài toán là 3 IA 6 3 IA2 6. Vì A Oxy A a;b;0 . Ta có 3 IA2 6 3 a2 b2 2 6 1 a2 b2 4 (*). Do A a;b;c có tọa độ nguyên nên ta có điểm thỏa mãn (*) là A 0;2;0 , A 0; 2;0 , A 0;1;0 , A 0; 1;0 , A 2;0;0 , A 2;0;0 , A 1;0;0 , A 1;0;0 , A 1;1;0 , A 1; 1;0 , A 1;1;0 , A 1; 1;0 . Vậy có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z 1 2 5 . Có tất cả bao nhiêu điểm A a;b;c ( a,b,c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 20. B. 8. C. 12. D. 16. Lời giải Chọn A I R M r H A r N Gọi M , N là tiếp điểm, H là tâm của đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng AMN và mặt cầu S , r là bán kính của đường tròn giao tuyến.
19. Ta có: AM MH r . Dễ thấy: IM 2 MA2 AI 2 R2 r 2 AI 2 . Do 0 r R R2 AI 2 2R2 Với giả thiết bài toán, ta có I 0;0; 1 , R 5 , A a;b;0 , ta có 5 a2 b2 1 10 4 a2 b2 9 a 0 b 0 a 2 a 1 b 1 a 0 b 0 Do đó: v v v v v v . b 2 a 2 b 2 b 2 a 2 b 3 a 3 KL: có 20 điểm thỏa mãn bài toán. Câu 26. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0;3; 2 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. Q 2;0; 3 . B. M 0;8; 5 . C. N 0;2; 5 . D. P 0; 2; 5 . Lời giải Chọn D Do đường thẳng d / /Oz nên d nằm trên mặt trụ có trục là Oz và bán kính trụ là R 2. Gọi H là hình chiếu của A trên trục Oz , suy ra tọa độ H 0; 0; 2 . Do đó d A,Oz AH 3.  3  Gọi B là điểm thuộc đường thẳng AH sao cho AH AB 5 B 0; 2; 2 . Vậy d A, d 5 d là đường thẳng đi qua B và song song với Oz. max x 0 Phương trình tham số của d : y 2 . z 2 t Kết luận: d đi qua điểm P 0; 2; 5 . Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z 1 2 5 . Có tất cả bao nhiêu điểm A a;b;c ( a,b,c là các số nguyên ) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. A. 12. B. 16. C. 20. D. 8
20. Lời giải Chọn C Do A a;b;c Oxy c 0 . Gọi I là tâm mặt cầu. Từ A kẻ được hai tiếp tuyến nên ta có IA R 5 . Gọi hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến là M , N do hai tiếp tuyến vuông góc với nhau nên MN AM 2 2 IA2 R2 2R IA R 2 Từ đó ta có 5 IA 10 5 a2 b2 1 10 4 a2 b2 9 . Các cặp số nguyên a;b thỏa mãn là: 0; 2 , 0; 3 , 2;0 , 1; 2 , 2; 1 , 2; 2 , 3;0 Vậy 20 điểm A thỏa mãn điều kiện đã cho.