43 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 2: Khối tròn xoay (Mức độ 3)

Nội dung tài liệu: 43 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 2: Khối tròn xoay (Mức độ 3)

1. Câu 1. Cho nửa đường tròn đường kính AB 2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt C· AB và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. 1 A. 60.B. 45.C. arctan .D. 30 . 2 Lời giải Chọn C AC AB. cos 2R.cos CH AC.sin 2R.cos .sin ; AH AC.cos 2R.cos2 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB là 1 8 V AH. CH 2 R3.cos4 .sin2 . 3 3 Đặt t cos2 0 t 1 8 V R3t 2 1 t 3 3 8 3 8 3 t t 2 2t R .t.t 2 2t R 6 6 3 2 1 Vậy V lớn nhất khi t khi arctan . 3 2  Chú ý: có thể dùng PP hàm số để tìm GTNN của hàm f t t 2 1 t Câu 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có AB AC a, BC 3a . Cạnh bên AA 2a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C bằng A. a . B. 2a . C. 5a . D. 3a . Lời giải: ChọnB. A' C' B' K I A C O B Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB 'C 'C cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng đã cho. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Đường thẳng qua O vuông góc với ABC cắt mặt phẳng trung trực của AA' tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp. AB2 AC 2 BC 2 1 Mặt khác cos µA 2.AB.AC 2 BC a 3 Ta có: R a .Do đó: R IA OI 2 OA2 a2 a2 a 2 . ABC 2sin A 2.sin1200
2. Câu 3. Cho hình nón đỉnh S. Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác ngoại tiếp đường tròn đáy của hình nón và có AB BC 10a , AC 12a góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và ABC bằng 45. Tính thể tích khối nón đã cho. A. 9 a3 . B. 27 a3 . C. 3 a3 . D. 12 a3 . Lời giải ChọnA. S A 12a C 10a 45 r O I 10a B 10a 10a 12a Nửa chu vi tam giác ABC : p 16a 2 Diện tích tam giác ABC là S p p a p b p c 16a 16a 10a 16a 10a 16a 12a 48a2 . S 48a2 Mà S p.r r ABC 3a , ABC p 16a với r là bán kính của đường tròn đáy nội tiếp tam giác ABC . SO tan SIO SO IO.tan 45 IO 3a IO 1 1 2 Thể tích khối nón là: V SO. .r 2 .3a . 3a 9 a3 nãn 3 3 Câu 4. Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai đáy sao cho MN  PQ. Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm M , N, P, Q đểO thu được M N khối đá có hình tứ diện MNPQ . Biết rằng MN 60 cm và thể tích khối tứ diện MNPQ bằng 30dm3. Hãy tìm thể tích của lượng đá bị cắt bỏ. A. 101,3 dm3 . B. 141,3 dm3 . 3 3 C. 121,3 dm D. 111,4 dm . Q Lời giải ChọnD. O' Chú ý: Ta có công thức tính thể tích khối tứ diện MNPQ là: P 1 V .MN.PQ.d MN, PQ .sin MN, PQ . MNPQ 6 1 Trong đó d MN, PQ OO h .602.h.1 30.103 h 50cm . 6 Vậy thể tích của lượng đá bị cắt bỏ bằng: 2 2 60 3 V Vt VMNPQ R .h 30 3 . .50 30 111,4 dm . 10 2
3. Câu 5. Cho tứ diện ABCD có AB 4a , CD 6a , các cạnh còn lại đều bằng a 22 . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 5a a 85 a 79 A. . B. 3a . C. . D. . 2 3 3 Lời giải ChọnC. A M I D B N C Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD Ta có: AB  MD , AB  MC AB  MCD Tương tự: CD  BN , CD  AN CD  ANB MCD , NAB là mặt phẳng trung trực của AB và CD Gọi I là điểm thuộc MN Do I MN I MCD IA IB Do I MN I NAB IC ID I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thì ID IB Xét AMD vuông tại M : MD AD2 AM 2 3 2a Xét NMD vuông tại N : MN MD2 ND2 3a Đặt MI x , NI 3a x 0 x 3a Ta có: R2 BI 2 x2 4a2 Mà R2 ID2 3a x 2 9a2 2 7a a 85 x2 4a2 3a x 9a2 x R . 3 3 Câu 6. Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm 1000 chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang ABCD vuông tại A và D xung quanh trục AD . Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao 7,2 cm ; đường kính miệng cốc bằng 6,4 cm ; đường kính đáy cốc bằng 1,6 cm . Kem được đỏ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng nửa hình cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ sở đó cần dùng lượng kem gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau A. 293 dm3. B. 170 dm3. C. 132 dm3. D. 954 dm3.
4. A B 6,4 7,2 D C 1,6 Lời giải ChọnB. Thể tích của một chiếc kem cần tính bao gồm +) Thể tích của hình nón cụt có bán kính đáy lớn R1 3,2 cm, bán kính đáy nhỏ r1 0,8 cm và chiều cao h 7,2 cm. +) Thể tích của nửa khối cầu có bán kính R 3,2 cm. 1 2 2 2 3 Suy ra V h R1 R1r1 r1 R . 3 3 1 2 20288 .7,2 3,22 3,2.0,8 0,82 .3,23 170 cm3. 3 3 375 Vậy thể tích của 1000 chiếc kem là 170.103 cm3 170 dm3. Câu 7. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết rằng AB AA a, AC 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C bằng a 5 a 3 a 2 A. . B. a. C. . D. . 2 2 2 Lời giải ChọnA. A M 2a C a a B A' O C' I B' Ta có BC AC 2 AB2 a 5. Gọi I là trung điểm của B C , suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C . Gọi O là trung điểm của A C . Tam giác MA C vuông cân tại M. Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp MA C .
5. OI  A C OI€ A B Ta có OI  ACC A . OI  MO Suy ra OI là trục của tam giác MA C . Suy ra IA IC IM IB . 1 1 a 5 Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C bán kính R B C BC . 2 2 2 Câu 8. Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên billiards đó bằng. A. 2,7cm B. 4,2cm C. 3,6cm D. 2,6cm Lời giải Chọn A 2 6561 Thể tích khối nước trong cốc là V h.S 4,5. . 5,4 cm3 50 4 Thể tích của khối cầu là R3 3 Sau khi thả viên bi, chiều cao của mực nước bằng bán kính khối cầu nên tổng thể tích của nước x 2,7 6561 4 3 2 và khối cầu là R 2R. 5,4 x 7,5 50 3 x 4,8 Vậy x 2,7 Câu 9. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a 3 , BC 2a , đường thẳng AC tạo với mặt phẳng BCC B một góc 30 . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng
6. A B C A' B' C' A. 24 a2 . B. 6 a2 . C. 4 a2 . D. 3 a2 . Lời giải Chọn B. A B H M C R I A' B' M' C' \ Gọi M , M lần lượt là trung điểm của BC , B C . Dễ thấy trung điểm I của MM là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Kẻ AH vuông góc BC (H BC) ·AC H ·AC ,(BCC B ) 30 . 2 Ta có: AC BC 2 AB2 2a 2 a 3 a . AB.AC a 3.a a 3 AH.BC AB.AC AH . BC 2a 2 a 3 AH Trong tam giác vuông AHC , có: AC 2 a 3 . sin 30 1 2 2 Trong tam giác vuông ACC , có CC AC 2 AC 2 a 3 a2 a 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 CC BC a 2 2a 6 2 Bán kính R IB MI MB a 2 2 2 2 4 6a2 Diện tích mặt cầu: S 4 R2 4 . 6 a2 . 4
7. Câu 10. Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm , chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Khi đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng 9 26 9 26 9 26 A. cm2 .B. 9 26 cm2 . C. cm2 .D. cm2 . 10 2 5 Lời giải Chọn C 1 Ta có: OH 3 , OB OH 2 HB2 3 26 , cos H· OB . 26 Áp dụng công thức hình chiếu về diện tích của hình phẳng ta có: S S.cos H· OB 1 .32 S 9 26 S 2 cm2 . cos H· OB 1 2 26 Cách khác là dùng diện tích hình elip. 1 1 1 1 9 26 S S ab .3. 152 32 .3.3 26 cm2 . 2 E 2 2 2 2 Câu 11. Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đề tiếp xúc với đường sing của hình trụ ( tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là 120 cm3 , thể tích của khối cầu bằng A. 10 cm3 . B. 20 cm3 . C. 30 cm3 . D. 40 cm3 . Lời giải Chiều cao của hình trụ là 2r . Đường kính của hình trụ là 4r . Suy ra bán kính của hình trụ là 2r .
8. Thể tích khối trụ là 2r 2 .2r 8 r3 . Theo bài ra có 3 3 3 3 4 3 3 8 r 120 cm r 15 cm r 20 cm . 3 Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ có hai đường tròn đáy cùng nằm trên mặt cầu bán kính bằng 3 cho trước. A. 24 3 . B. 9 3 . C. 12 3 . D. 18 3 . Lời giải Gọi bán kính đáy của khối trụ là : r 0 r 3 Do hình trụ nội tiếp mặt cầu nên đường cao của hình trụ là h 2 9 r 2 . Thể tích khối trụ là : 2 2 3 r r 2 2 2 9 r r r V r 2h 2 r 2 9 r 2 4 . . 9 r 2 4 2 2 12 3 . 2 2 3 r 2 Dấu bằng xảy ra khi 9 r 2 r 6 . 2 Vậy Max V 12 3 . Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ có hai đường tròn đáy cùng nằm trên mặt cầu bán kính bằng 3 cho trước A. 18 3 . B. 12 3 . C. 24 3 . D. 9 3 . Lời giải Chọn B
9. 2 2 2 Gọi O2O1 2x O2 A OA O1O 9 x . Điều kiện 0 x 3 . 2 2 2 Vtru hr .O1O2.O2 A .2x. 9 x . Xét hàm số f x 2 x 9 x2 trên khoảng 0; . f x 2 9 3x2 f x 0 x 3 . Ta có bảng biến thiên sau : Vậy MaxVtru 12 3 x 3 . 0 Câu 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB a, B· AC 120 , AA 2a. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A B C bằng 16 a2 A. 8 a2 . B. 4 a2 . C. . D. 16 a2 . 3 Lời giải Chọn A
10. A' C' O' M' B' 2a I a C A 1200 a O M B Gọi O, O lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và A B C . Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A B C thì I là trung điểm của đoạn OO . Bán kính mặt cầu là R IA. OO Ta có OO AA 2a OI a . 2 Xét tam giác ABC có BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos B· AC 3a2 BC a 3 . BC a 3 Theo định lý sin ta có r OA a (với r là bán kính đường tròn ngoại 2sin A 2sin1200 tiếp tam giác ABC ). Bán mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A B C là R IA OI 2 AO2 a2 a2 a 2 . 2 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A B C là S 4 R2 4 a 2 8 a2 . Câu 15. Một cơ sở chế biến nước mắm đặt hàng xưởng sản xuất gia công làm một bể chứa bằng inox hình trụ có nắp đậy với dung tích 2m3 . Yêu cầu đặt ra cho xưởng sản xuất là phải tốn ít vật liệu nhất. Biết rằng giá tiền 1m2 inox là 600 nghìn đồng, hỏi số tiền inox (làm tròn đến hàng nghìn) để sản xuất bể chứa nói trên là bao nhiêu? A. 7307000 đồng. B. 6421000 đồng. C.4121000 đồng. D. 5273000 đồng. Lời giải Giải sử bể chứa hình trụ có chiều cao h , bán kính đáy R, h 0, R 0 . 2 Khi đó thể tích của bể chứa hình trụ là: V R2h 2 h . R2 Mặt khác, diện tích toàn phần của hình trụ là: 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 2 3 STP 2 R Rh 2 R R 2 2 R 2 R 2.3 R . . 6 R R R R R R Vật liệu làm bể chứa tốn ít nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6.3 . Khi đó số tiền inox (làm tròn đến hàng nghìn) để sản xuất bể chứa nói trên là: 6 3 .600000 5273000 (đồng). Câu 16. Cho khối nón có góc ở đỉnh bằng 120 và có thể tích bằng a3 . Diện tích xung quanh của khối
11. nón đã cho bằng A. 2 3 a 2 . B. 3 a 2 . C. a2 . D. 4 3 a 2 Lời giải Chọn A Gọi h là chiều cao khối nón, R là bán kính đáy, ta có: 1 R2h a3 3 R h 3 R a 3 . R 3 3 h a tan 60 h a h Độ dài đường sinh của khối nón là: l R2 h2 2a . 2 Diện tích xung quanh của khối nón đã cho là: Sxq Rl .a 3.2a 2 3 a . Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng ABC đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng SAC và SBC , AC 2 3a , ·ABC 60 , đường thẳng SA tạo với ABC một góc 30 . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng 5 A. 32 a2.. B. 5 a2.. C. a2. . D. 20 a2. 3 Lời giải Chọn D Mặt phẳng ABC đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng SAC và SBC SC  ABC . Đường thẳng SA tạo với ABC một góc 30 S· AC 30 ; SC 2a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . AC 2 3a Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có: 2OC 4a OC 2a . sin ·ABC sin 60 Từ Odựng trục ABC là đường thẳng , PSC .Trong mặt phẳng SC; , đường trung trực cạnh SC cắt trục ABC tại I , ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . R IC OC 2 OI 2 4a2 a2 a 5 . 2 Diện tích mặt cầu bằng 4 . a 5 20 a2 .
12. Câu 18. Cho mặt cầu có bán kính bằng 3 . Một khối nón có chiều cao thay đổi sao cho đỉnh và đường tròn đáy cùng thuộc mặt cầu đã cho. Khi thể tích khối nón lớn nhất thì chiều cao của nó bằng 2 4 A. 4 .B. 8 .C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn A Gọi chiều cao của hình nón là x , 0 x 6 . Gọi bán kính đáy của hình nón là r Khi đó r 2 OM 2 OH 2 32 x 3 2 x 6 x . 3 x x 6 x 1 2 1 2 4 x x 4 2 2 32 Vậy V r .x x 6 x . . 6 x . 3 3 3 2 2 3 3 3 32 x Vậy maxV khi 6 x x 4 . 3 2 Câu 19. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm 240cm , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):. Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệuV1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò V được theo cách 2. Tính tỉ số 1 . V2 V 1 V V V A. 1 B. 1 1 C. 1 2 D. 1 4 V2 2 V2 V2 V2
13. Lời giải Chọn C R Ban đầu bán kính đáy là R , sau khi cắt tấm tôn bán kính đáy là 2 Đường cao của các khối trụ là không đổi 2 2 2 R R V1 Ta có V1 h R , V2 2.h h . Vậy tỉ số 2. 2 2 V2 Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 5 15 5 15 4 3 5 A. V B. V C. V D. V 18 54 27 3 Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm của AB Vì SAB đều nên SH  AB Mà SAB  ABC SH  ABC SH là đường cao của hình chóp S.ABC Gọi G là trọng tâm của ABC G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Qua G kẻ đường thẳng d song song với SH d  ABC Gọi K là trung điểm của SC , vì SHC vuông cân tại H SH HC HK là đường trung trực ứng với SC . IA IB IC Gọi I d  HK ta có IA IB IC IS IS IC I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Xét hai tam giác đều ABC SAB có độ dài các cạnh bằng 1. 2 3 G là trọng tâm ABC CG CH . 3 3 3 15 Xét HIG vuông tại G ta có IG HG IC 6 6 3 4 3 4 15 5 15 Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp V IC . 3 3 6 54 Cách 2:
14. 3 R , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và ABC R R b d b d 3 GT 2 15 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là R R2 R2 R b d 4 6 4 5 15 Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp V R3 . 3 54 Câu 21. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h . Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. a2h a2h A. V . B. V . C. V 3 a2h . D. V a2h . 9 3 Lời giải Chọn B Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đáy của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ. 3a Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng . 3 2 3a a2h Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là V h.S h. . (đvtt). 3 3 Câu 22. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a . a3 a3 a3 A. V B. V a3 C. V D. V 4 6 2 Lời giải Chọn D
15. AC a 2 Bán kính đường tròn đáy là R ; chiều cao h a . 2 2 a2 a3 Vậy thể tích khối trụ là: V R2h . .a . 2 2 Câu 23. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 3 2a, cạnh bên bằng 5a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 25a A. R 3a .B. R 2a.C. R . D. R 2a . 8 Lời giải Chọn C Gọi O là tâm hình vuông ABCD , G là trung điểm SD , GI  SD, I SO . Ta có cạnh đáy bằng 3 2a nên BD 3 2a. 2 6a , OD 3a . Xét SOD vuông tại O ta có: SO SD2 OD2 4a SO SD 1 2 25a Ta có SOD: SGI , suy ra 4a.R 5a R SG SI 2 8 Câu 24. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a 2 . Tính thể tích V của khối nón đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. a3 2 a3 a3 2 a3 A. V B. V C. V D. V 2 6 6 2 Lời giải. Chọn C. 1 1 OD BD . 2. 2a a; 2 2 SO SD2 OD2 2a2 a2 a S a 2 3 A D O a 2 B H C
16. 2 Dựng OH  BC O là đường tròn tâm O , bán kính OH a là đường tròn nội tiếp tứ 2 giác ABCD . a2 S OH2 O 2 1 1 V .SO.S .a. a2 a3 N 3 O 3 2 6 Câu 25. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a . Hình nón N có đỉnh A có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Tính diện tích xung quanh Sxq của N . 2 2 2 2 A. Sxq 6 a B. Sxq 3 3 a C. Sxq 12 a D. Sxq 6 3 a Lời giải Chọn B A B O M D C Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . 3a 3 2 2 3a 3 Ta có BM ; r BM . a 3 . 2 3 3 2 2 Sxq .r.l r.AB a 3.3a 3 3. a . Câu 26. Cho mặt cầu S có bán kính bằng 4 , hình trụ H có chiều cao bằng 4 và hai đường tròn đáy V1 nằm trên S . Gọi V1 là thể tích của khối trụ H và V2 là thể tích của khối cầu S . Tính tỉ số V2 V 9 V 1 V 3 V 2 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 V2 16 V2 3 V2 16 V2 3 Lời giải Chọn A 2 2 2 Ta có r 4 2 2 3. Thể tích của khối trụ H là V1 r h .12.4 48 .
17. 4 3 4 3 256 V1 9 Thể tích của khối cầu S là V2 R .4 . Vậy .Câu 27. Cho tứ diện ABCD có 3 3 3 V2 16 tam giác BCD vuông tại C , AB vuông góc với mặt phẳng BCD , AB 5a , BC 3a và CD 4a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 5a 2 5a 3 5a 2 5a 3 A. R . B. R . C. R . D. R . 3 3 2 2 Lời giải Chọn C Tam giác BCD vuông tại C nên BD 5a . Tam giác ABD vuông tại B nên AD 5a 2. Ta có: B và C cùng nhìn AD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD AD 5a 2 là trung điểm I của AD . Bán kính mặt cấu này là: R . 2 2 Câu 28. Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A, AB a và ·ACB 300 . Tính thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC . 3 a3 3 a3 A. V . B. V 3 a3 . C. V . D. V a3 . 3 9 Lời giải Chọn A. AB Đường cao hình nón là : AC a 3 . t an30 1 1 3 a3 Thể tích hình nón : V hR2 .a 3.a2 . 3 3 3 Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB 3a , BC 4a , SA 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 5a 17a 13a A. R . B. R . C. R . D. R 6a . 2 2 2 Lời giải Chọn C. S 12a I A D 3a O B 4a C Ta có : AC AB2 BC 2 5a Vì SA  AC nên SC SA2 AC 2 13a BC  AB Nhận thấy : BC  SB .Tương tự :CD  SD BC  SA Do các điểm A, B, D đều nhìn đoạn thẳng SC dưới một góc vuông nên gọi I là trung điểm của đoạn thẳng SC thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
18. SC 13a Vậy R . 2 2 Câu 30. Cho mặt cầu S tâm O , bán kính R 3. Mặt phẳng P cách O một khoảng bằng 1 và cắt S theo giao tuyến là đường tròn C có tâm H . Gọi T là giao điểm của tia HO với S , tính thể tích V của khối nón có đỉnh T và đáy là hình tròn C . 32 16 A. V . B. V 16 . C. V . D. V 32 . 3 3 Lời giải Chọn A. T R=3 O 1 H (C) Gọi r là bán kính đường tròn C thì r là bán kính đáy của hình nón. Ta có: r 2 R2 OH 2 8 HT HO OT 1 3 4 h là chiều cao của hình nón 1 1 32 Suy ra: V .HT.S .4. .8 . no´n 3 C 3 3 Câu 31. Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng 3 mm và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 mm. Giả định 1m3 gỗ có giá a . 1m3 than chì có giá 9a . Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 97,03a đồngB. 10,33a đồng C. 9,7a đồng D. 103,3a đồng Lời giải Chọn C 3mm 0,003m;200mm 0,2m;1mm 0,001m 2 6 2 Diện tích đáy của phần than chì: S1 r .10 (m ) 32 3 27 3 Diện tích đáy phần bút bằng gỗ: S 6S S 6. .10 6 .10 6 (m2 ) 2 OAB 1 4 2 2 6 3 Thể tích than chì cần dùng: V1 S1.h r 0,2 0,2 .10 (m ) 27 3 Thể tích gỗ làm bút chì: V S .h .0,2.10 6 (m3 ) 2 2 2 Tiền làm một cây bút: 27 3 V .9a V .a 9V V a 9.0,2 .10 6 .0,2.10 6 a 9,7a 1 2 1 2 2 Câu 32. Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và chiều cao 200 mm .
19. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều cao của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1 mm . Giã định 1 m3 gỗ có giá a , 1 m3 than chì có giá 7a . Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 84,5.a B. 9,07.a C. 8,45.a D. 90,07.a Lời giải Chọn C 2 7 3 Thể tích phần lõi than chì: V1 .0,001 .0,2 2 .10 m . 7 6 Số tiền làm lõi than chì T1 (2 .10 )7a.10 1,4 a . Thể tích phần thân bằng gỗ của bút (0,003)2 3 V 6. .0,2 2 .10 7 3.27.10 7 2 .10 7 m3 . 2 4 Số tiền làm phần thân bằng gỗ của bút T 27 3.10 7 .2.10 7 a.106 2,7 3 .0,2 a . 2 Vậy giá vật liệu làm bút chì là: T T1 T2 8,45.a . Câu 33. Cho hình trụ có chiều cao bằng 5 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 10 3 . B. 5 39 . C. 20 3 . D. 10 39 . Lời giải Goi hình trụ có hai đáy là O, O và bán kính R . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục nên thiết diện thu được là hình chữ nhật 30 ABCD với AB là chiều cao khi đó AB CD 5 3 suy ra AD BC 2 3 . 5 3 2 AD2 2 3 Gọi H là trung điểm của AD ta có OH 1 suy ra R OH 2 1 2 . 4 4 Vậy diện tích xung quanh hình trụ là Sxq 2 Rh 2 .2.5 3 20 3 . Câu 34. Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 2 .Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2 , thiết diện thu được có diện tích bằng 16. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 24 2 . B. 8 2 . C. 12 2 . D. 16 2 . Lời giải
20. Chọn D Gọi O,O lần lượt là tâm hai đáy của hình trụ. Hình trụ có chiều cao là h 4 2 . Mặt phẳng song song với trục của hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật ABCD 16 16 Ta có: S AD.AB 16 AB 2 2 . ABCD AD 4 2 Trong tam giác OAB , từ O kẻ OI  AB , lại có: OI  AD suy ra: OI  ABCD d OO ; ABCD d O; ABCD OI 2 Vì tam giác OAB cân tại O nên đường cao OI đồng thời là đường trung tuyến hay I là trung điểm của đoạn thẳng AB AB AI 2 . 2 2 2 r OA AI 2 OI 2 2 2 2 . Diện tích xung quanh hình trụ là: Sxq 2 rh 2 2.4 2 16 2 . Câu 35. Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 2 . Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 12 2 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 6 10 . B. 6 34 . C. 3 10 . D. 3 34 . Lời giải Chọn A Gọi thiết diện là ABCD với A, B trên đường tròn đáy tâm O