95 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 3: Nguyên hàm. Tích phân (Mức độ 2)

Nội dung tài liệu: 95 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 3: Nguyên hàm. Tích phân (Mức độ 2)

1. 5 3 Câu 1. Biết rằng dx a ln 5 bln 2 a, b ¢ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 1 x 3x A. a 2b 0 .B. 2a b 0. C. a b 0 .D. a b 0. Lời giải Chọn D 5 3 5 1 1 dx dx 2 1 x 3x 1 x x 3 5 ln | x | ln | x 3| ln 5 ln 2. 1 Vậy a 1,b 1. 4 Câu 2. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f x dx 2. Mệnh đề nào sau đây là sai? 2 2 3 2 6 1 A. f 2x dx 2. B. f x 1 dx 2. C. f 2x dx 1. D. f x 2 dx 1. 1 3 1 0 2 Lời giải Chọn A 4 2 Đặt x 2t f x dx f 2t d 2t 2 1 2 2 f 2t d t 2 1 2 2 f 2t d t 1 f 2x dx 1 1 Câu 3. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 , y 2 x và y 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 2 2 A. S x3dx x 2 dx. B. S x3 x 2 dx . 0 1 0 1 1 1 C. S x3dx. D. S x3 2 x dx. 2 0 0 Lời giải Chọn C 1 2 1 1 Ta có: S x3dx 2 x dx x3dx 0 1 2 0 Câu 4. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y 0, y x ln x 1 và x 1 xung quanh trục Ox là 5 5 A. V . B. V 12ln 2 5 . C. V . D. V 12ln 2 5 . 6 6 18 18 Lời giải Chọn D Ta có: x ln x 1 0 x 0.
2. 1 2 V x ln x 1 dx 0 1 x2 ln x 1 dx 12ln 2 5 . 0 18 Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f 1 0 f 0 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y 0, x 1 và x 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 1 1 A. S f x dx f x dx . B. S f x dx . 1 0 1 1 1 C. S f x dx . D. S f x dx . 1 1 Lời giải ChọnB. Từ giả thiết ta có diện tích hình phẳng cần tìm được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên 1 tục trên ¡ , y 0, x 1 và x 1, nên: S f x dx . 1 1 Câu 6. Biết rằng F x là một nguyên hàm của hàm số f x sin 1 2x và thỏa mãn F 1. 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 3 A. F x cos 1 2x . B. F x cos 1 2x . 2 2 1 1 C. F x cos 1 2x 1. D. F x cos 1 2x . 2 2 Lời giải ChọnD. 1 1 F x f x dx sin 1 2x dx cos 1 2x C cos 1 2x C . 2 2 1 1 1 1 1 1 1 Mà F 1 cos 1 2. C 1 C 1 C F x cos 1 2x . 2 2 2 2 2 2 2 e f ln x Câu 7. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn dx e. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 x 1 1 e e A. f x dx 1. B. f x dx e. C. f x dx 1. D. f x dx e. 0 0 0 0 Lời giải ChọnB. 1 Đặt t ln x dt dx. Cận: x 1 t 0; x e t 1 x e f ln x 1 1 dx f t dt e f x dx e . 1 x 0 0 1 1 Câu 8. Biết rằng x cos 2xdx (asin 2 bcos 2 c) với a,b,c ¢ . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 4 A. 2a b c 1. B. a 2b c 0 . C. a b c 0 . D. a b c 1. Lời giải ChọnC.
3. du dx u x Đặt sin 2x . dv cos 2xdx v 2 1 xsin 2x 1 1 1 Khi đó x cos 2xdx |1 sin 2xdx 2sin 2 cos 2 1 . 0 0 2 2 0 4 Vậy a b c 0 . Câu 9. Cho tích phân I x2 cos x dx và u x2 , dv cos x dx. Khẳng định nào sau đây đúng? 0 A. I x2 sin x 2 xsin x dx. B. I x2 sin x xsin x dx. 0 0 0 0 C. I x2 sin x xsin x dx. D. I x2 sin x 2 xsin x dx. 0 0 0 0 Lời giải ChọnA. Ta có: u x2 du 2xdx , dv cos x dx v sin x. Suy ra I x2 sin x 2 xsin x dx. 0 0 Câu 10. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. tan x.dx ln cos x C . B. cot x.dx ln sin x C . x x x x C. sin .dx 2cos C . D. cos .dx 2sin C . 2 2 2 2 Lời giải ChọnA. Kiểm tra lần lượt các đáp án sin x 1 + tan x.dx dx d cos x ln cos x C Đáp án A đúng. cos x cos x cos x 1 + cot x.dx dx d sin x ln sin x C Đáp án B sai. sin x sin x x x x x + sin .dx 2 sin d 2cos C Đáp án C sai. 2 2 2 2 x x x x + cos .dx 2 cos d 2sin C Đáp án D sai. 2 2 2 2 Câu 11. Cho hàm số y f x thỏa mãn f x x 1 ex và f x dx ax b ex c, với a , b , c là các hằng số. Khi đó A. a b 0. B. a b 3. C. a b 2. D. a b 1. Lời giải ChọnA. Ta sử dụng kết quả g x .dex g x .ex ex .d g x g x .ex ex .g x dx . g' x g x exdx g x .ex . Do đó ta có f x f x dx x 1 exdx x.ex x x a 1 f x dx x 1 1 e dx x 1 e b 1 Do đó a b 0 .
4. 2 Câu 12. Cho I x 4 x2 dx và t 4 x2 . Khẳng định nào sau đây sai? 1 t 2 3 3 t3 3 A. I 3 . B. I . C. I t 2dt . D. I . 2 0 0 3 0 Lời giải ChọnB. Đặt t 4 x2 t 2 4 x2 2tdt 2xdx hay tdt xdx Đổi cận: khi x 1 t 3 ; x 2 t 0 . 3 0 3 t3 3 3 Khi đó I t. t dt t 2dt 3 3 0 3 0 3 4 dx 2 Câu 13. Cho tích phân I a bln với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây 0 3 2x 1 3 đúng? A. a b 3 .B. a b 3 .C. a b 5 .D. a b 5 . Lời giải ChọnD. Đặt u 2x 1 u2 2x 1 udu dx . Đổi cận: x 0 u 1; x 4 u 3. 3 3 u 3 3 2 Vậy I du 1 du u 3ln 3 u 2 3ln . 1 1 3 u 1 3 u 3 Do đó a 2,b 3, suy ra a b 5 . e Câu 14. Cho tích phân I x ln2 xdx . Mệnh đề nào sau dây đúng? 1 e e e 1 e A. I x2 ln2 x x ln xdx .B. I x2 ln2 x 2 x ln xdx . 1 2 1 1 1 e e e e 1 C. I x2 ln2 x x ln xdx . D. I x2 ln2 x x ln xdx . 1 1 2 1 1 Lời giải ChọnD. 2 2 du ln xdx e e u ln x x 1 2 2 Đặt . Nên I x ln x x ln xdx . dv xdx x2 2 v 1 1 2 Câu 15. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và hàm số y g x xf x2 có đồ thị trên đoạn 0;2 5 4 như hình vẽ bên. Biết diện tích miền tô màu là S , tính tích phân I f x dx . 2 1
5. y y g x S O 1 2 x 5 5 A. I .B. I .C. I 5 .D. I 10 . 4 2 Lời giải ChọnC. 2 Ta có S xf x2 dx . 1 1 Đặt x2 t xdx dt . 2 Đổi cận x 1 t 1, x 2 t 4 . 4 1 1 4 1 Khi đó S f t dt f x dx I I 2S 5 . 1 2 2 1 2 Câu 16. Cho hàm bậc hai y f x có đồ thị như hình bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và Ox quanh Ox . y 1 O 1 x 16 4 16 12 A. . B. .C. .D. . 15 3 5 15 Lời giải ChọnA. Căn cứ vào đồ thị ta xác định được f x x2 2x Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x và trục Ox là x 0 và x 2 2 2 16 Thể tích khối tròn xoay là V x2 2x dx . 0 15 Câu 17. Cho hình phẳng D được giới hạn bởi các đường x 0, x 1, y 0 và y 2x 1. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D xung quanh trục Ox được tính theo công thức 1 1 1 1 A. V 2x 1dx B. V 2x 1 dx C. V 2x 1 dx D. V 2x 1dx 0 0 0 0 Lời giải Chọn B
6. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay gới hạn bởi các đường x a,x b,y 0 và b y f x là V f 2 x dx . a 1 dx Câu 18. Tích phân bằng 0 3x 1 4 3 1 2 A. B. C. D. 3 2 3 3 Lời giải Chọn D 1 dx 1 1 d 3x 1 2 1 2 3x 1 0 3x 1 3 0 3x 1 3 0 3 Câu 19. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y xex , y 0, x 0 , x 1 xung quanh trục Ox là 1 1 1 1 A. V x2e2xdx . B. V xexdx . C. V x2e2xdx . D. V x2exdx . 0 0 0 0 Lời giải Chọn C. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y f x , y 0, x a , x b ( a b ) xác định bởi: b V f 2 x dx . a 1 Vậy, V x2e2xdx . 0 1 Câu 20. Tích phân x x2 3 dx bằng 0 4 7 A. 2 . B. 1. C. . D. . 7 4 Lời giải Chọn D. Đặt t x2 3 dt 2xdx . x 0 t 3 , x 1 t 4 . 1 1 4 t 2 4 7 Khi đó: x x2 3 dx tdt . 0 2 3 4 3 4 2 2 1 1 x a Câu 21. Cho biết F x x3 2x là một nguyên hàm của f x . Tìm nguyên hàm của 3 x x2 g x x cos ax . 1 1 A. xsin x cos x C . B. xsin 2x cos 2x C . 2 4 1 1 C. xsin x cos x C . D. xsin 2x cos 2x C . 2 4 Lời giải Chọn C. 2 2 1 x 1 Ta có F x x2 2 . Suy ra a 1. x2 x2
7. Khi đó g x dx x cos xdx xdsin x x.sin x sin xdx x.sin x cos x C . Câu 22. Cho hình phẳng D được giới hạn bới các đường x 0 , x , y 0 và y sin x . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D xung quanh trục Ox được tính theo công thức A. V sin x dx . B. V sin2 xdx . 0 0 C. V sin x dx . D. V sin2 xdx . 0 0 Lời giải Chọn B Ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là V sin2 xdx . 0 1 Câu 23. Tính 32x 1dx bằng 0 9 12 4 27 A. .B. . C. . D. . ln 9 ln 3 ln 3 ln 9 Lời giải Chọn B 1 1 1 1 1 32x 1 1 12 Ta có 32x 1dx 32x 1d 2x 1 33 3 . 0 2 0 2 ln 3 0 2ln 3 ln 3 Câu 24. Cho f x x4 5x2 4. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai? 2 1 2 A. S f x dx . B. S 2 f x dx 2 f x dx . 2 0 1 2 2 C. S 2 f x dx . D. S 2 f x dx . 0 0 Lời giải Chọn D x2 1 x 1 Ta có: x4 5x2 4 0 2 x 4 x 2 Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 2 S f x dx 1 2 f x dx 2 (do f x là hàm số chẵn) 2 0 1 2 1 2 2 f x dx 2 f x dx 2 f x dx 2 f x dx 3 (do trong các khoảng 0;1 , 0 1 0 1 1;2 phương trình f x 0 vô nghiệm) Từ 1 , 2 , 3 suy ra các đáp án A, B, C là đúng, đáp án D là sai. Máy tính: Bấm máy tính kiểm tra, ba kết quả đầu bằng nhau nên đáp án sai là đáp ánD. x Câu 25. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng 0; là sin2 x
8. A. x cot x ln sinx C . B. x cot x ln sinx C . C. x cot x ln sinx C . D. x cot x ln sinx C . Lời giải Chọn A x F x f x dx dx . sin2 x u x du dx Đặt 1 . dv dx v cot x sin2 x x cos x d sin x Khi đó: F x dx x.cot x cot xdx x.cot x dx x.cot x sin2 x sin x sin x x.cot x ln sinx C . Với x 0; sinx 0 ln sinx ln sinx . Vậy F x x cot x ln sinx C . 1 dx Câu 26. Biết rằng a ln 2 bln 3 c ln 5 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 0 3x 5 3x 1 7 a b c bằng 10 5 10 5 A. B. C. D. 3 3 3 3 Lời giải Chọn A 1 dx A 0 3x 5 3x 1 7 Đặt t 3x 1 t2 3x 1 2tdt 3dx Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 2 2 2 tdt 2 2 2 t 2 2 3 2 2 A 3 dt dt 2ln t 2 3ln t 3 2 1 1 t 5t 6 3 1 t 2 t 3 3 1 t 2 t 3 3 2 2 20 4 2ln 4 3ln 5 2ln 3 3ln 4 10ln 2 2ln 3 3ln 5 ln 2 ln 3 2ln 5 3 3 3 3 20 4 10 Vậy: a b c 2 . 3 3 3 Câu 27. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x , y 0; x 0 và x 2 Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D xung quanh trục Ox 2 2 2 2 A. V 2x 1dx . B. V 2x 1dx . C. V 4x dx . D. V 4x dx . 0 0 0 0 Lời giải Câu 28. Biết rằng xex là một nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng ; . Gọi F x là một nguyên hàm của f x ex thỏa mãn F 0 1, giá trị của F 1 bằng 7 5 e 7 e 5 A. B. .C. .D. . 2 2 2 2
9. Lời giải Ta có xex f x f x x 1 ex f x 1 x e x . Suy ra f x x 2 e x . x 2 2 Khi đó F x f x exdx x 2 dx C . 2 x 2 2 Với F 0 1 C 1 F x 1  2 7 Vậy F 1  2 1 Câu 29. Giả sử f x là một hàm số liên tục trên ¡ bất kỳ. Đặt I f 1 2x dx . Mệnh đề nào sau đây 0 đúng? 1 1 1 1 1 1 A. I f x dx .B. I f x dx . C. I f x dx .D. I f x dx . 2 1 1 1 2 1 Lời giải FB: Nguyễn Thanh Hải 1 Xét I f 1 2x dx . 0 Đặt t 1 2x dt 2dx . Đổi cận: x 0 t 1 và x 1 t 1. 1 1 1 1 Khi đó: I f t dt f x dx . 2 1 2 1 Câu 30. Gọi D1 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x , y 0 và x 2020 ; D2 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 3x , y 0 và x 2020 . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích khối tròn xoay V1 tạo thành khi quay D1 và D2 xung quanh trục Ox . Tỉ số bằng V2 4 2 3 2 6 A. . B. . C. .D. . 3 3 3 3 Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y 2 x và đường thẳng y 0: 2 x 0 x 0 . Thể tích V1 của khối tròn xoay tạo thành khi quay D1 quanh trục Ox là: 2020 2020 2020 2 V 2 x dx 4xdx 2 x2 2 .20202 . 1 0 0 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y 3x và đường thẳng y 0: 3x 0 x 0. Thể tích V2 của khối tròn xoay tạo thành khi quay D2 quanh trục Ox là: 2020 2020 2020 2 3 3 V 3x dx 3xdx x2 .20202 . 2 0 0 2 0 2
10. V 2 4 Vậy 1 . 3 V2 3 2 Câu 31. Gọi D1 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x, y 0 và x 2020; D2 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 3x, y 0 và x 2020 . Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo V1 thành khi quay D1 và D2 xung quanh trục Ox . Tỉ số bằng V2 4 2 3 2 6 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A Xét V1 : Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: 2 x 0 x 0 x 0 2020 2020 2 2020 Suy ra V 2 x dx 4xdx 2 x2 2 .20202 1 0 0 0 Xét V2 : Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: 3x 0 x 0 x 0 2020 2020 2 3 2020 3 Suy ra V 3x dx 3xdx x2 .20202 2 0 0 2 0 2 V 2 .20202 4 Vậy 1 . V 3 2 3 2 .2020 2 1 Câu 32. Giả sử f (x) là một hàm số liên tục trên ¡ bất kỳ. Đặt I f (1 2x)dx . Mệnh đề nào sau đây 0 đúng? 1 1 1 1 1 1 A. I f (x)dx . B. I f (x)dx . C. I f (x)dx . D. I f (x)dx. 1 2 1 1 2 1 Lời giải Chọn B 1 I f (1 2x)dx 0 Đặt t 2x 1 dt 2dx Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 1 1 dt 1 1 I f t . f t dt 1 2 2 1 1 1 Vậy I f (x)dx. 2 1
11. Câu 33. Cho y = f (x) là hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng được tô đậm. y 2 O 1 2 3 x 9 37 5 8 A. . B. . C. . D. . 4 12 12 3 Lời giải Chọn B Giả sử f (x) ax3 bx2 cx d có đồ thị (C) như hình vẽ trên. Điểm O(0;0) (C) d 0 f (x) ax3 bx2 cx . a b c 0 a 1 3 2 Các điểm A(1;0), B(2;2), D(3;0) (C) 4a 2b c 1 b 4 f (x) x 4x 3x . 9a 3b c 0 c 3 Diện tích hình phẳng cần tìm là 1 3 1 3 37 S 0 f (x)dx  f (x) 0dx (x3 4x2 3x)dx ( x3 4x2 3x)dx 0 1 0 1 12 2 Câu 34. Cho tích phân I cos5 x dx. Nếu đặt t sin x thì 0 1 1 1 1 2 2 A. I 1 t 2 dt . B. I t 4 dt . C. I t 4 dt . D. I 1 t 2 dt . 0 0 0 0 Lời giải Chọn A Đặt t sin x dt cosx dx và cos2 x 1 sin2 x 1 t 2 . Với x 0 t 0; x t 1. Vậy 2 2 2 1 2 2 I cos4 x.cosx dx 1 sin2 x .cosx dx 1 t 2 dt. 0 0 0 Câu 35. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 và y 2 x2 . Thể tích khối tròn xoay giới hạn được tạo thành khi quay D xung quanh trục Ox được tính theo công thức 2 1 2 2 A. V 2 x2 dx . B. V 2 x2 dx . 2 1 1 2 2 2 C. V 2 x2 dx 2 . D. V 2 x2 dx 4 . 1 2 Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm 1 2 x2 x 1.
12. Thể tích khối tròn xoay giới hạn được tạo thành khi quay D xung quanh trục Ox được tính theo công thức 1 1 2 2 V 2 x2 12 dx 2 x2 1 dx 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 x2 dx dx 2 x2 dx x 2 x2 dx 2 . 1 1 1 1 1 f x dx F x C Câu 36. Nếu thì 1 A. f 2x 3 dx 2F 2x 3 C . B. f 2x 3 dx F x C . 2 1 C. f 2x 3 dx F 2x 3 C . D. f 2x 3 dx F 2x 3 C . 2 Lời giải Chọn D Đặt t 2x 3 dt 2dx dt 1 1 1 Ta có: f 2x 3 dx f t . f t dt F t C F 2x 3 C 2 2 2 2 . Câu 37. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng các diện tích 4 S , S thỏa mãn S 2S 3 . Tích phân f x dx bẳng 1 2 1 2 0 3 3 9 A. 3 . B.  . C.  . D.  2 2 2 Lời giải Chọn C x 0 Ta có: f x 0 x a 0 a 4 x 4 4 a 4 3 3 Tích phân f x dx f x dx f x dx S S 3 . 1 2 0 0 a 2 2 x Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f x là x2 1
13. 1 1 A. 2 x2 1 C .B. C .C. x2 1 C .D. x2 1 C . x2 1 2 Lời giải Chọn D 1 2 x 1 1 1 x 1 2 f x dx dx x2 1 2 d x2 1 . C x2 1 C 2 x 1 2 2 1 2 2 1 2 Câu 39. Nếu f x dx 3 và g x dx 1 thì f x 2g x dx bằng 1 2 1 A. 5.B. 1.C. 1.D. 0 . Lời giải Chọn B 2 2 2 2 1 f x 2g x dx f x dx 2 g x dx f x dx 2 g x dx 3 2 1. 1 1 1 1 2 1 1 1 Câu 40. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f 1 2x dx . Tích phân f x dx bằng 0 3 1 2 2 1 1 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B 1 Đặt 1 2x t 2dx dt dx dt. 2 Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 1. 1 1 1 1 1 1 1 2 1 Khi đó: f 1 2x dx f t . dt f t dt f t dt f x dx . 0 3 1 2 2 1 1 3 1 Câu 41. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 0, y x và y x 2 . Diện tích S của D được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 A. S x 2 x dx .B. S x 2dx 2 . 2 2 2 2 C. S x 2dx .D. S x 2 x dx . 2 2 Lời giải Chọn B Xét phương trình hoành độ giao điểm của • y 0 và y x ta được x 0 . • y 0 và y x 2 ta được x 2 0 x 2.
14. x 0 x 0 • và y x 2 ta được x 2 x x 2 n . y x 2 x 2 x x 1 l 0 2 0 2 Diện tích S của D là S x 2 dx x 2 x dx x 2dx x 2 xdx 2 0 2 0 0 2 2 2 x 2dx x 2dx xdx S x 2dx 2 . 2 0 0 2 Câu 42. Giả sử a,b là các số thực dương. Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y a x , y 0, x 1 quanh trục Ox ; V2 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y bx2 , y 0, x 1 quanh trục Ox . Biết a V 10V , giá trị bằng 2 1 b 1 5 A. 2 5 . B. 5.C. .D. . 5 10 Lời giải Chọn C 1 2 a2 xdx a V 1 a2 1 a 1 Ta có 1 0 2 . V 1 b2 10 b2 25 b 5 2 b2 x4dx 5 0 Câu 43. Tính tích phân I cos3 x.sin xdx . 0 1 1 A. I 4 . B. I 4 . C. I 0 . D. I . 4 4 Lời giải Chọn C Ta có: I cos3 x.sin xdx . Đặt t cos x dt sin xdx dt sin xdx 0 Đổi cận: Với x 0 t 1; với x t 1. 1 4 1 1 t 4 14 1 Vậy I t3dt t3dt 0 . 1 1 4 1 4 4 Cách khác : Bấm máy tính. e Câu 44. Tính tích phân I x ln xdx : 1
15. 1 e2 2 e2 1 e2 1 A. I B. I C. I D. I 2 2 4 4 Lời giải Chọn C 1 du dx e u ln x x I x ln xdx . Đặt dv xdx x2 1 v 2 e e x2 e 1 x2 e2 1 e e2 x2 e2 e2 1 e2 1 I ln x . dx xdx . 2 0 0 x 2 2 2 0 2 4 0 2 4 4 4 Câu 45. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 x và đồ thị hàm số y x x2. 37 9 81 A. B. C. D. 13 12 4 12 Lời giải Chọn A x 0 3 2 3 2 Phương trình hoành độ giao điểm x x x x x x 2x 0 x 1 x 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 x và đồ thị hàm số y x x2 là: 1 0 1 S x3 x x x2 dx x3 x2 2x dx x3 x2 2x dx 2 2 0 0 1 4 3 4 3 x x 2 x x 2 16 8 1 1 37 x x 4 1 . 4 3 4 3 4 3 4 3 12 2 0 Câu 46. Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2(x 1)ex , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox . A. V 4 2e B. V 4 2e C. V e2 5 D. V e2 5 Lời giải Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm 2 x 1 ex 0 x 1 Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox là: 2 du 2 x 1 dx 1 1 x 2 2 2x u x 1 V 2 x 1 e dx 4 x 1 e dx . Đặt 2x 2x e 0 0 dv e dx v 2 2x 1 1 2x 2x 1 1 2 e e 2 e V 4 x 1 4 2 x 1 dx 4 x 1 4 x 1 e2xdx 2 0 0 2 2 0 0 u x 1 du dx 1 Gọi I x 1 e2xdx . Đặt 2x 1 2x e 0 dv e dx v 2 2x 1 1 2x e e 1 I 4 x 1 4 dx 2 e2x 2 e2 3 e2 1 0 2 0 0 2
16. 2x 1 2 e 2 2 Vậy V 4 x 1 I1 2 3 e e 5 . 2 0 1 Câu 47. Biết F x là một nguyên hàm của f x và F 2 1. Tính F 3 . x 1 1 7 A. F 3 ln 2 1 B. F 3 ln 2 1 C. F 3 D. F 3 2 4 Lời giải Chọn B 1 F(x) f (x)dx dx ln x 1 C . F(2) 1 ln1 C 1 C 1. x 1 Vậy F(x) ln x 1 1. Suy ra F(3) ln 2 1. 4 dx Câu 48. Biết I a ln 2 bln 3 c ln 5, với a,b,c là các số nguyên. Tính S a b c. 2 3 x x A. S 6 . B. S 2. C. S 2 . D. S 0. Lời giải Chọn B 1 1 1 1 Ta có: . x2 x x(x 1) x x 1 4 dx 4 1 1 4 I dx ln x ln(x 1) (ln 4 ln 5) (ln 3 ln 4) Khi đó: 2 3 x x 3 x x 1 3 4ln 2 ln 3 ln 5. Suy ra: a 4,b 1,c 1. Vậy S 2. Câu 49. Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y ex , y 0, x 0 , x ln4. Đường thẳng x k (0 k ln 4) chia H thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1 2S2 . y S 2 S 1 x O k l n 4 2 8 A. k ln 4 . B. k ln2. C. k ln D. k ln3. 3 3 Lời giải Chọn D
17. k ln 4 k ln 4 Ta có S exdx ex ek 1 và S exdx ex 4 ek . 1 0 2 k 0 k k k Lại có S1 2S2 e 1 2 4 e k ln 3. Câu 50. Gọi S là diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các đường y f x , trục hoành và hai đường 0 2 thẳng x 1, x 2. Đặt a f x dx ,b f x dx , mệnh đề nào sau đây đúng? 1 0 A. S b a B. S b a C. S b a D. S b a Lời giải Chọn A Ta có: 2 0 2 0 2 S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx a b . 1 1 0 1 0 2 Câu 51. Tính tích phân I 2x x2 1dx bằng cách đặt u x2 1, mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 2 A. I 2 udu B. I udu 0 1 3 1 2 C. I udu D. I udu 0 2 1 Lời giải Chọn C 2 I 2x x2 1dx 1
18. đặt u x2 1 du 2xdx . Đổi cận x 1 u 0 ; x 2 u 3 3 Nên I udu 0 ln x Câu 52. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x . Tính: I F e F 1 ? x 1 1 A. I e B. I C. I D. I 1 e 2 Lời giải Chọn C Theo định nghĩa tích phân: e e e ln x e ln2 x 1 I F e F 1 f x dx dx ln x.d ln x . 1 1 x 1 2 1 2 Câu 53. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 sin x , trục hoành và các đường thẳng x 0 , x . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V 2 1 B. V 2 1 C. V 2 2 D. V 2 Lời giải Chọn B 2 Ta có: V 2 sin x dx 2 sin x dx 2x cos x 2 1 . 0 0 0 2 2 2 Câu 54. Cho f x dx 2 và g x dx 1. Tính I x 2 f x 3g x dx . 1 1 1 5 7 17 11 A. I B. I C. I D. I 2 2 2 2 Lời giải Chọn C 2 2 x2 2 2 3 17 Ta có: I x 2 f x 3g x dx 2 f x dx 3 g x dx 2.2 3 1 . 1 2 1 1 1 2 2 3 Câu 55. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x ex 2x thỏa mãn F 0 . Tìm F x . 2 3 1 A. F x ex x2 . B. F x 2ex x2 . 2 2 5 1 C. F x ex x2 . D. F x ex x2 . 2 2 Lời giải Chọn D. F x ex 2x dx ex x2 C . 3 3 1 1 F 0 e0 C C . Vậy F x ex x2 . 2 2 2 2 1 1 1 Câu 56. Cho dx a ln 2 bln 3 với a,b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 x 1 x 2 A. a b 2 . B. a 2b 0. C. a b 2. D. a 2b 0 . Lời giải
19. Chọn D. 1 1 1 1 Ta có dx ln x 1 ln x 2 ln 2 ln 3 ln1 ln 2 2ln 2 ln 3 0 x 1 x 2 0 suy ra a 2,b 1 a 2b 0 . Câu 57. Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y x2 1 , trục hoành và các đường thẳng x 0, x 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 4 4 A. V . B. .V 2 C. . V D. . V 2 3 3 Lời giải Chọn A. Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức: 1 1 2 1 3 2 2 x 4 V x 1 dx x 1 dx x . 3 3 0 0 0 2 2 Câu 58. Cho f x dx 5 . Tính I f x 2sin x dx . 0 0 A. I 7 . B. .I 5 C. . I 3D. . I 5 2 Lời giải Chọn A. 2 2 2 I f x 2sin x dx f x dx 2 sin x dx 0 0 0 2 I f x dx 2cos x 2 5 2 0 1 7 0 0 Câu 59. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x sin x cos x thoả mãn F 2 2 A. F x cos x sin x 3 . B. F x cos x sin x 3. C. F x cos x sin x 1. D. F x cos x sin x 1. Lời giải Chọn D. Có F x f x dx sin x cos x dx cos x sin x C Do F cos sin C 2 1 C 2 C 1 F x cos x sin x 1. 2 2 2 Câu 60. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b a b . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: b b b b A. V f 2 x dx B. V 2 f 2 x dx C. V 2 f 2 x dx D. V 2 f x dx a a a a Lời giải
20. Chọn A Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 3x2 1 là x3 A. x3 C B. x C C. 6 x C D. x3 x C 3 Lời giải Chọn D 3x2 1 dx x3 x C. 2 dx Câu 62. Tích phân bằng 0 x 3 16 5 5 2 A. B. log C. ln D. 225 3 3 15 Lời giải Chọn C 2 dx 5 ln x 3 2 ln 0 0 x 3 3 Câu 63. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x2 , cung tròn có phương trình y 4 x2 và trục hoành . Diện tích của H bằng 4 3 4 3 4 2 3 3 5 3 2 A. B. C. D. 12 6 6 3 Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được 3x2 4 x2 x 1 với 0 x 2 nên ta có x 1 1 1 2 3 2 3 2 Ta có diện tích S 3x2dx 4 x2 dx x3 4 x2 dx 4 x2 dx 3 3 0 1 0 1 1 Đặt : x 2 sin t dx 2 cos tdt; x 1 t ; x 2 t 6 2 3 1 2 4 3 S 2 t sin 2t 3 2 6 6 2 dx Câu 64. Biết dx a b c với a,b, c là các số nguyên dương. Tính 1 (x 1) x x x 1 P a b c