110 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm (Mức độ 3)

Nội dung tài liệu: 110 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm (Mức độ 3)

1. Câu 1. Các giá trị của tham số m để hàm số y mx3 3mx2 3x 2 nghịch biến trên ¡ và đồ thị của nó không có tiếp tuyến song song với trục hoành là A. 1 m 0 .B. 1 m 0 .C. 1 m 0 .D. 1 m 0 . Lời giải Chọn D Phân tích: Vì đây là hàm bậc ba nên có hai tính chất sau: 1) Hàm số nghịch biến trên ¡ y 0, x ¡ và y 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm. 2) Đồ thị hàm số không có tiếp tuyến song song với trục hoành y 0 vô nghiệm. Kết hợp 2 tính chất ta được y 0, x ¡ . Hướng dẫn giải. TXĐ: D ¡ . y 3mx2 6mx 3 . Nếu m 0 thì y 3 0, x ¡ . Nếu m 0 thì ycbt y 0x ¡ m 0 m 0 2 0 9m 9m 0 1 m 0 Kết hợp 2 trường hợp ta được: 1 m 0 . Câu 2. Các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số y ax 4x2 1 có tiệm cận ngang là: 1 1 A. a 2. B. a 2 và a . C. a 1. D. a . 2 2 Lời giải Chọn A TH1: a 0 : lim ax 4x2 1 x lim ax 4x2 1 x 2 1 a2 4 x2 1 a 4 x lim lim x vậy để lim ax 4x2 1 không tồn tại thì x 2 x 1 x ax 4x 1 a 4 x a2 4 0 a 2 a2 4 0 là hữu hạn khi a 2 . a 2 TH2: a 0 : Trình bày tương tự ta được a 2 TH3: a 0 : lim 4x2 1 nên loại a 0 . x Vậy các giá trị thỏa mãn là: a 2. PP trắc nghiệm y ax 4x2 1 ax 2 x a 2 x Nếu a 2 0 y Nếu a 2 0 a 2 thì y 0 Vậy các giá trị thỏa mãn là: a 2.
2. Câu 3. Cho hàm số f x x3 x2 2x 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hai phương trình f x 2017 và f x 1 2017 có cùng số nghiệm. B. Hàm số y f x 2017 không có cực trị. C. Hai phương trình f x m và f x 1 m 1 có cùng số nghiệm với mọi m . D. Hai phương trình f x m và f x 1 m 1 có cùng số nghiệm với mọi m . Lời giải Chọn A Đặt x 1 a . Khi đó phương trình f x 1 2017 trở thành f a 2017 . Hay a là nghiệm của phương trình f x 2017 . Mà phương trình x 1 a luôn có nghiệm duy nhất với mọi số thực a . Đáp án B sai vì đồ thị hàm số y f x 2017 tạo thành qua phép tịnh tiến đồ thị hàm số y f x . Mà y f x có hai cực trị nên y f x 2017 phải có hai cực trị. Đáp án C và D sai vì thử bằng máy tính không thỏa mãn. Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y m2 1 x4 2mx2 đồng biến trên 1; 1 5 A. m 1 hoặc m 1 B. m 1 hoặc m 2 1 5 C. m 1 hoặc m D. m 1 2 Lời giải ChọnB. 2 3 2 2 y 4 m 1 x 4mx 4x m 1 x m Để hàm số y m2 1 x4 2mx2 đồng biến trên 1; y 0,x 1; m2 1 x2 m 0,x 1; , * ￿ Nếu m2 1 0 m 1 hoặc m 1 ￿ Với m 1 khi đó * 1 0 ￿ Với m 1 khi đó * 1 0 nhận m 1 ￿ Nếu m2 1 0 m 1 hoặc m 1. 2 2 2 m m Khi đó * m 1 x m,x 1; x 2 ,x 1; 1 2 m 1 m 1 1 5 m m 1 2 2 m m 1 0 1 5 1 5 m m 2 2 ￿ Nếu m2 1 0 1 m 1 2 2 2 m Khi đó * m 1 x m,x 1; x 2 ,x 1; m 1
3. 1 5 Vậy giá trị cần tìm m 1 hoặc m 2 2 Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x m có hai nghiệm phân biệt. log3 x 1 A. 1 m 0 . B. m 1. C. Không tồn tại m . D. 1 m 0 . Lời giải ChọnB. x 1 0 x 1 Điều kiện: x 1 1 x 0 y f(x)=x-2ln(3)/(ln(x+1)) 4 3 2 1 x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -1 -2 -3 -4 Xét hàm số 2 2 f x x ; f x 1 2 0,x 1;0  0 : log3 x 1 x 1 .ln 3.log3 x 1 Bảng biến thiên x 1 0 y + + y 1 2 Từ bảng biến thiên suy ra phương trình x m có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ log3 x 1 khi m 1 x2 a Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số y có 3 đường tiệm cận. x3 ax2 A. a 0,a 1. B. a 0,a 1. C. a 0,a 1. D. a 0 . Lời giải ChọnB. Hàm số có tập xác định là D ¡ \ 0, a x2 a Ta có lim y lim 0 nên y 0 là một tiệm cận ngang. x x x3 ax2 2 x a 2 a 0 Để hàm số y 3 2 có hai tiệm cận đứng thì a 0 và a a 0 . x ax a 1 Câu 7. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình bên. Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x m có ba điểm cực trị là y 1 O x 3
4. A. m 1 hoặc m 3 . B. m 3 hoặc m 1. C. m 1 hoặc m 3 .D. 1 m 3. Lời giải ChọnA. Nhận xét: Đồ thị hàm số y f x m gồm hai phần: Phần 1 là phần đồ thị hàm số y f x m nằm phía trên trục hoành; Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị hàm số y f x m nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành. Dựa vào đồ thị của hàm số y f x đã cho hình bên ta suy ra dạng đồ thị của hàm số y f x m . Khi đó hàm số y f x m có ba điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số y f x m và trục hoành tại nhiều nhất hai điểm chung 1 m 0 m 1 . 3 m 0 m 3 Cách 2: Ta có 2 y f x m f x m f x . f x m y 2 f x m Để tìm cực trị của hàm số y f x m , ta tìm x thỏa mãn y 0 hoặc y không xác định f x 0 1 f x m 2 Dựa vào đồ thị ta có 1 có hai điểm cực trị x1, x2 trái dấu. Vậy để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì 2 có một nghiệm khác x1, x2 . m 1 m 1 Dựa vào đồ thị ta có điều kiện: nên chọn đáp ánA. m 3 m 3
5. x x2 4 Câu 8. Tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là x2 4x 3 A. y 1 và x 3. B. y 0, y 1 và x 3. C. y 0, x 1 và x 3.D. y 0 và x 3. Lời giải ChọnD. TXĐ : D ; 2  2; 3  3; 2 x 1 Xét pt : x 4x 3 0 x 3 x x2 4 lim 2 x 3 là tiệm cận đứng. x 3 x 4x 3 4 1 1 x x2 4 2 lim lim x 0 ; x x2 4x 3 x 4 3 x 1 2 x x x x2 4 4 lim 2 lim 0 x x 4x 3 x x2 4x 3 x x2 4 y 0 là tiệm cận ngang. ax b y Câu 9. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Tất cả các giá trị của m để phương cx d trình f x m có 2 nghiệm phân biệt là A. m 2 và m 1. 2 B. 0 m 1 và m 1. 1 C. m 2 và m 1. O 1 2 x D. 0 m 1. Lời giải ChọnB. Dựa vào đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số có ￿ a 0 d ￿ Tiệm cận đứng x 1 1 c d c a ￿ Tiệm cận ngang y 1 1 a c c b ￿ Đi qua điểm A 0; 2 2 b 2d d 2a b ￿ Đi qua điểm B 2; 0 0 b 2a 2c d ax 2a x 2 ￿ Vậy: y f (x) ax a x 1
6. x 2 Hay f x . x 1 f x khi f x 0 Ta có: y f x f x khi f x 0 Khi đó đồ thị gồm 2 phần + Phần 1: là phần đồ thị hàm số y f x nằm phía trên Ox . + Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị hàm số y f x nằm phía dưới Ox qua Ox. Số nghiệm của phương trình f x m là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m . Khi đó, phương trình f x m có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 m 1 và m 1. Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y ax x2 1 có cực tiểu. A. 1 a 1. B. 0 a 1.C. 1 a 2 .D. 2 a 0 . Lời giải ChọnA. Tập xác định: D ¡ x Ta có: y a . x2 1 + ĐK cần: Vì hàm số có đạo hàm liên tục trên ¡ nên điểm cực trị của hàm số cũng là nghiệm của phương trình y 0 . Vậy ta định a để phương trình y 0 có nghiệm. x Ta có: y 0 a f x , với x ¡ . x2 1 1 f x 0 với mọi x ¡ , lim f x 1; lim f x 1. x2 1 x2 1 x x Bảng biến thiên: x f x 1 f x 1 Do đó: Phương trình y 0 có nghiệm thì có nghiệm duy nhất x0 khi và chỉ khi 1 a 1.
7. 1 + ĐK đủ: Ta có: y 0 với mọi x . Suy ra: y x0 0 nên x0 luôn là điểm x2 1 x2 1 cực tiểu với mọi a 1;1 . Vậy 1 a 1. x x2 1 Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số y có tiệm cận ngang. ax2 2 A. a 0. B. a 0. C. a 1 hoặc a 4. D. a 0. Lời giải ChọnA. Điều kiện: ax2 2 0 1 + TH1: a 0 . Ta có: y x x2 1 2 1 1 1 lim y lim x x2 1 lim 0 nên đồ thị hàm số có TCN: y 0 x x 2 x 2 x x2 1 + TH2: a 0 . Suy ra: ax2 2 0 với mọi x ¡ . Do đó: TXĐ: D ¡ 1 1 1 x x2 1 2 Ta có lim y lim lim x 0 nên đồ thị hàm số có TCN: y 0 x x 2 x 2 ax 2 a x2 2 2 2 2 + TH3: a 0 . Suy ra: x . Do đó: TXĐ: D ; nên đồ thị hàm a a a a số không có TCN. Vậy a 0 . Câu 12. Cho hàm số f x có đạo hàm là f x . Đồ thị của hàm số y f x được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f 0 f 3 f 2 f 5 . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f x trên đoạn 0;5 lần lượt là y O 2 5 x A. f 0 , f 5 . B. f 2 , f 0 . C. f 1 , f 5 . D. f 2 , f 5 . Lời giải ChọnD. Từ đồ thị y f x trên đoạn 0;5 , ta có bảng biến thiên của hàm số y f x Suy ra max f x f 2 . 0;5 x 0 2 5 f x – 0 f x CT
8. Từ giả thiết ta có f (0)+ f (3)= f (2)+ f (5) nên f (5)+ f (2)- f (3)= f (0) Hàm số f x đồng biến trên 2;5 nên f (3)> f (2) hay f (2)- f (3)< 0 , suy ra f (0)= f (5)+ f (2)- f (3)< f (5) Vây max f x f 5 . 0;5 Câu 13. Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình a x 9x 1 nghiệm đúng với mọi x ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 4 2 3 2 4 A. a 10 ; 10 B. a 10 ; 10 C. a 0; 10 D. a 10 ; Lời giải Chọn A Bất phương trình tương đương f x a x 9x 1 0 Xét đáp án C với a 1 ta được f x 1x 9x 1 0 thử với x 1 ta thấy bất phương trình không thỏa với mọi x ¡ . vì f 1 1 9.1 1 9 0 vô lí nên loại đáp án C Xét đáp án B với a 103 ta được f x 103x 9x 1 0 thử với x 0.01 ta thấy bất phương trình không thỏa với mọi x ¡ . vì f 0.01 103 0.01 9. 0.01 1 0.018 0vô lí nên loại đáp án B Xét đáp án D với a 105 ta được f x 105x 9x 1 0 thử với x 0.01 ta thấy bất phương trình không thỏa với mọi x ¡ . vì f 0.01 103 0.01 9. 0.01 1 0.0187 0 vô lí nên loại đáp án D Vậy suy ra đáp án A đúng. Cách 2: Để bất phương trình a x 9x 1 nghiệm đúng với mọi x ¡ thì đồ thị hàm số C : y a x luôn nằm trên đường thẳng d : y 9x 1 TH1: 0 a 1 ta có đồ thị C như hình vẽ bên. khi đó đồ thị C không nằm trên hoàn toàn so với đường thẳng d (loại) TH2: a 1 khi đó bất phương trình có dạng 1 9x 1 x 0 (loại) TH3: a 1 ta có đồ thị như hình vẽ bên
9. Để C nằm trên hoàn toàn so với đường thẳng d thì d tiếp xúc với d tại điểm M 0;1 Ta có y a x y ' a x ln a 0 9 3 4 y ' 0 9 a ln a 9 ln a 9 a e a 10 ;10 Cách 3: Ta có a x 9x 1,x ¡ a x 9x 1 0,x ¡ Xét hàm số f x a x 9x 1 f ' x a x ln a 9 a x 0 TH1: 0 a 1 f ' x 0,x ¡ f x nghịch biến trên ¡ ln a 0 f x f 0 0 x 0 ( không thỏa mãn ) 9 9 TH2: a 1 ln a 0, f ' x 0 a x x log x ln a a ln a 0 BBT Do đó f x 0, x ¡ f x0 0 9 9 9 3 4 Mà f 0 0 x0 0 loga 0 1 ln a 9 a e a 10 ;10 ln a ln a Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ( 10;10) để hàm số y m2 x4 2 4m 1 x2 1 đồng biến trên khoảng (1; ) ? A. 15 B. 6 C. 7 D. 16 Lời giải Chọn D Ta xét 2 trường hợp: TH 1: m2 0, khi đó y 2x2 1 y ' 4x 0, x 1; . (Nhận)
10. TH 2: m2 0 , đặt t x2 , khi đó y m2t 2 2 4m 1 t 1, t 1 Ta có y ' 2m2t 2 4m 1 4m 1 y ' 0 t 1 m2 4m 1 Lập bảng biến thiên ta có 1 m2 4m 1 0 m2 m 2 3 m 2 3 Vậy m 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0;4;5;6;7;8;9 Câu 15. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Bảng biến thiên của hàm số y f (x) được x cho như hình vẽ bên. Hàm số y f 1 x nghịch biến trên khoảng 2 A. (2;4) B. (0;2) C. ( 2;0) D. ( 4; 2) Lời giải Chọn D x 1 x Xét hàm y f 1 x , ta có: y f 1 1 2 2 2 x 2 1 3 1 1 x x 2 Xét BPT y f 1 1 0 f 1 2 với 2 2 2 x 1 1 a 2 2 f a 2,a 1;0 . Xét (1): 1 4 x 2 . Xét (2): 2 2 2a x 4 Ta thấy các đáp án B, C không thỏa mãn và với a 0 2 2a 2 nên Đáp án A không thỏa mãn, vậy đáp án D thỏa mãn. Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y x3 (a 10)x2 x 1 cắt trục hoành tại đúng một điểm? A.9 B.10 C.11 D.8 Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điển x3 (a 10)x2 x 1 0 x3 x 1 a 10 (vì x 0 không là nghiệm) x2 x3 x 1 1 1 Đặt f x x . x2 x x2 x3 x 2 Ta có: f x . x3
11. f x 0 x 1. Bảng biến thiên: x 1 0 y 0 1 y Yêu cầu bài toán tương đương a 10 1 a 11. Suy ra có 10 giá trị nguyên âm của a thỏa. Câu 17. Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x2 x 2 a ln x2 x 1 0 nghiệm đúng với mọi x ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 2;3 B. a (8; ) C. a 6;7 D. a 6; 5 Lời giải Chọn C 2 2 1 3 3 Đặt t x x 1 x 2 4 4 Ta có: x2 x 2 a ln x2 x 1 0 t 1 a ln t 0 3 Đặt f t t 1 a ln t, t . 4 a 3 f t 1 0 f t là hàm số đồng biến trên ; . t 4 3 Khi đó f t f 4 3 7 3 4 3 f t 0,x ¡ f 0 a.ln 0 a ln 6,083. 4 4 4 7 4 Câu 18. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) (x 1)2 (x2 2x), với mọi x ¡ .Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f (x2 8x m) có 5 điểm cực trị? A. 15 B.17 C.16 D.18 Lời giải Chọn A x 0 2 2 Ta có f x (x 1) (x 2x) 0 x 1 x 2 Bảng biến thiên: x 0, x 2 là các điểm cực trị của hàm số f (x) Xét hàm số y f (x2 8x m) Ta có y 2x 8 . f (x2 8x m)
12. x 4 2 2 y 2x 8 f (x 8x m) 0 x 8x m 0 (1) 2 x 8x m 2 (2) Dễ thấy phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung . Do đó hàm số y f (x2 8x m) có 5 điểm cực trị khi phương trình (1) và (2) có hai nghiệm phân biệt khác 4 . Hay m 16 Vậy có 15 số nguyên dương thoả yêu cầu bài toán Câu 19. Cho đồ thị C : y x3 3x2 . Có bao nhiêu số nguyên b 10;10 để có đúng một tiếp tuyến của C đi qua điểm B 0;b ? A. 2 B. 9 C. 17 D. 16 Lời giải Chọn C Phương trình đường thẳng đi qua B 0;b và có hệ số góc k là y kx b . Để có đúng một tiếp tuyến của C đi qua điểm B 0;b thì x3 3x2 kx b có 1 nghiệm 2 k 3x 6x x3 3x2 3x2 6x x b có 1 nghiệm Hay 2x3 3x2 b * có 1 nghiệm. Xét hàm số g x 2x3 3x2 . 2 x 0 Ta có g x 6x 6x g x 0 . Ta có bảng biến thiên x 1 x 0 1 y 0 0 1 y 0 b 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có đẻ phương trình * cơ 1 nghiệm thì , mà b 1 b 10;10 ,b ¢ Suy ra b 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Vậy có 17 giá trị b thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 20. Cho hàm số bậc bốn y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số y f x2 2x 2 là
13. y x 1 O 1 3 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn A. Từ đồ thị của y f x ta chọn f x x 1 x 1 x 3 . 2 Áp dụng công thức y f u u f u với u x 2x 2 Ta có x 1 y f x2 2x 2 . x2 2x 2 1 x2 2x 2 1 x2 2x 2 3 x2 2x 2 2 2 2 x 1 x 1 x 2x 2 1 x 1 x 2x 7 y 0 x 1 2 2 x2 2x 2 x2 2x 2 1 x2 2x 2 3 x 1 2 2 x 1 2 2 1 1 2 2 y 0 0 0 y Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có một điểm cực đại. Câu 21. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình 3 7 f x2 2x m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn ; . 2 2 A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C. 3 7 Đặt t x2 2x , x ; 2 2 Bảng biến thiên:
14. 3 3 x 1 2 2 t – 0 21 21 t 4 1 4 21 Dựa vào bảng biến thiên t 1; . 4 Ta có: f x2 2x m 1 f t m 2 . 21 3 7 Ta thấy, với mỗi giá trị t 1; ta tìm được hai giá trị của x ; . 4 2 2 3 7 Do đó, phương trình 1 có 4 nghiệm thực phân biệt thuộc ; 2 2 21 Phương trình 2 có hai nghiệm thực phân biệt thuộc 1; 4 Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f t tại hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc 21 1; . 4 Dựa vào đồ thị ta thấy có hai giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu là m 3 và m 5 . Câu 22. Cho hàm số y x3 mx2 mx 1 có đồ thị C . Có bao nhiêu giá trị của m để tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của C đi qua gốc tọa độ O ? A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B. 2 2 2 2 m m m Ta có y 3x 2mx m 3 x m m . 3 3 3 m m2 Dấu bằng xảy ra khi x , khi đó hệ số góc tiếp tuyến là f x m và tiếp tuyến có 3 0 3 m2 m 2m3 m2 dạng y f x0 x x0 y0 hay y m x 1 3 3 27 3 m3 Tiếp tuyến qua O 0 1 m 3. 27 36 Câu 23. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số y mx trên 0;3 bằng 20 . Mệnh đề nào sau đây x 1 đúng? A. 0 m 2 .B. 4 m 8. C. 2 m 4 . D. m 8 . Lời giải Chọn C 36 36 y mx y m x 1 x 1 2 36 Trường hợp 1: m 0 , ta có y 0,x 1.Khi đó min y y 3 9 . x 1 2 x 0;3 Trường hợp 2: m 0 11 ￿ Nếu m 0 , ta có y 0 , x 1 Khi đó min y y 3 20 3m 9 m . x 0;3 3
15. 6 x 1 36 2 36 m ￿ Nếu m 0 , khi đó y 0 m 0 x 1 . x 1 2 m 6 x 1 l m 6 4 6 m 4 ￿ 0 1 3 m 36 , min y y 1 12 m m 20 . m 9 x 0;3 m m 100 l 6 9 11 ￿ 1 3 m , min y y 3 20 3m 9 m l . m 4 x 0;3 3 Câu 24. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x3 2x2 x3 2x với mọi x ¡ . Hàm số f 1 2018x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị? A. 9 . B. 2018 . C. 2022 . D. 11. Lời giải Chọn A Ta có f x x3 x 2 x2 2 0 có 4 nghiệm và đổi dấu 4 lần nên hàm số y f x có 4 cực trị. Suy ra f x 0 có tối đa 5 nghiệm phân biệt. Do đó y f 1 2018x có tối đa 9 cực trị. Câu 25. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên mđể phương trình f x3 3x m có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 1;2]? A. 3 B. 2 C. 6 D. 7 Lời giải Chọn B Đặt t x3 3x , với x [ 1;2] ta có bảng biến thiên Với t ( 2;2]thì có 2 nghiêm x [ 1;2] Để phương trình có 6 nghiệm thì phương trình f t m có 3 nghiệm t ( 2;2] Dựa vao đồ thị ta có m 0;m 1
16. Câu 26. Cho f x mà hàm số y f ' x có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tất cả các giá trị của tham 1 số m để bất phương trình m x2 f x x3 nghiệm đúng với mọi x 0;3 là 3 2 A. m f 0 B. m f 0 C. m f 3 D. m f 1 3 Lời giải Chọn B 1 1 Ta có: m x2 f x x3 m f x x3 x2 . 3 3 1 Xét hàm số g x f x x3 x2 trên 0;3 , có g ' x f ' x x2 2x . 3 g ' x 0 f ' x 2x x2 x 0;3 . Theo bảng biến thiên f ' x 1, x 0;3 , mà 2x x2 1,x ¡ f ' x 2x x2 ,x 0;3 nên ta có bảng biến thiên của g x trên 0;3 : Từ bảng biến thiên ta có m g x ,x 0;3 m f 0 Câu 27. Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Hàm số y f 1 2x đồng biến trên khoảng 3 1 1 3 A. 0; .B. ;1 .C. 2; .D. ;3 . 2 2 2 2 Lời giải Ta có y f 1 2x y f 1 2x . Hàm số đồng biến y 0 f 1 2x 0 . x 2 1 2x 3 3 2 1 2x 1 0 x . 2 1 2x 3 x 1 Vậy chọn đáp án A. Câu 28. Cho hàm số f x x 1 3 3x 3. Đồ thị hình bên là của hàm số có công thức
17. A. y f x 1 1. B. y f x 1 1. C. y f x 1 1. D. y f x 1 1. Lời giải Ta có y ax3 bx2 cx d , y 3ax2 2bx c Từ đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là 1; 1 , 1;3 nên y 1 0 3a 2b c 0 b 0 y 1 0 3a 2b c 0 a 1 y 1 1 a b c d 1 c 3 a b c d 3 d 1 y 1 3 Ta có y x3 3x 1 x 1 1 3 3 x 1 3 1 f x 1 1 Câu 29. Cho f x mà đồ thị hàm số y f x như hình bên. Hàm số y f x 1 x2 2x đồng biến trên khoảng A. 1;2 . B. 1;0 . C. 0;1 . D. 2; 1 . Lời giải Ta có y f x 1 x2 2x Khi đó y f x 1 2x 2 . Hàm số đồng biến khi y 0 f x 1 2 x 1 0 1 Đặt t x 1 thì 1 trở thành: f t 2t 0 f t 2t . Quan sát đồ thị hàm số y f t và y 2t trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ.
18. Khi đó ta thấy với t 0;1 thì đồ thị hàm số y f t luôn nằm trên đường thẳng y 2t . Suy ra f t 2t 0,t 0;1 . Do đó x 1;2 thì hàm số y f x 1 x2 2x đồng biến. x Câu 30. Hàm số f (x) = - m , với m là số thực, có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị? x2 + 1 A. 2. B. 3. C. 5. D. 4. Lời giải: Cách 1: x x2 1 2x2 1 x2 Xét hàm g x 2 m , có g x 2 2 x 1 x2 1 x2 1 x 1 g x 0 . x 1 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên của g x ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị, đồng thời phương trình g x 0 có tối đa 2 nghiệm, tức đồ thị hàm số cắt g x tại tối đa 2 điểm. Như vậy hàm số f x g x có tối đa 4 điểm cực trị. Cách 2: x - x2 + 1 Xét hàm số g x = có g¢ x = và g¢ x = 0 Û x = ± 1. ( ) 2 ( ) 2 ( ) x + 1 (x2 + 1) Bảng biến thiên của g(x) như sau
19. Xét các trường hợp: 1 1) m > : đồ thị hàm số g(x)- m không có điểm chung với trục hoành. Nên đồ thị hàm số 2 f (x) = g(x)- m có đúng 2 điểm cực trị. 1 2) m = : đồ thị hàm số g(x)- m không có 1 điểm chung với trục hoành và phần còn lại 2 nằm trên hoặc dưới trục hoành. Nên đồ thị hàm số f (x) = g(x)- m có đúng 2 điểm cực trị. 1 3) m < và m ¹ 0 : đồ thị hàm số g(x)- m cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Đồ thị 2 hàm số f (x) = g(x)- m có đúng 4 điểm cực trị. 4) m = 0 : đồ thị hàm số g(x)- m không có 1 điểm chung với trục hoành. Đồ thị hàm số f (x) = g(x)- m có đúng 3 điểm cực trị. Vậy đồ thị hàm số f (x) có nhiều nhất 4 điểm cực trị. Câu 31. Cho f (x) mà đồ thị hàm số y f '(x) như hình vẽ bên . Bất phương trình y 1 2 O 1 2 x 1 x f (x) sin m nghiệm đúng với mọi x 1;3 khi và chỉ khi 2 A. m f (0) . B. m f (1) 1. C. m f ( 1) 1. D. m f (2) . Lời giải Cách 1 : x x Xét g x f x sin g ' x f ' x cos 2 2 2 x x • Với x  1;1 ; cos 0 (1) 2 2 2 2 Đồng thời dựa vào đồ thị f ' x ta thấy f ' x 0,x  1;1 (2) Từ (1), (2) ta suy ra g ' x 0,x  1;1 . x 3 x • Với x 1;3 ; cos 0 (3) 2 2 2 2 Đồng thời dựa vào đồ thị ta thấy f ' x 0,x 1;3 (4) Từ (3), (4) ta suy ra g ' x 0 , x 1;3 .
20. f ' 1 0 Tại x 1: g ' 1 0. Ta có bảng biến thiên của g x như sau: cos 0 2 x Để bất phương trình f x sin m nghiệm đúng với mọi x  1;3 2 g x m min g x m g 1 f 1 1.  1;3 Cách 2 x Xét bất phương trình f (x) sin m (1) với x 1;3 , ta có: 2 x x f (x) sin m f (x) sin m (2) 2 2 x Xét f (x) sin với x 1;3 2 + Từ đồ thị của hàm số y f '(x) đã cho ta suy ra BBT của f (x) như sau: x 1 1 3 f '(x) 0 f (x) f ( 1) f (3) f (1) Từ BBT ta suy ra: f (x) f (1),x 1;3 (*) x 3 + Do x 1;3 nên: 1 x 3 2 2 2 x x Suy ra: 1 sin 1 1 sin 1 (**) 2 2 x + Từ (*) và (**) cho ta: f (x) sin f (1) 1,x 1;3 . Dấu " " xảy ra khi x 1 2 x Do đó: Bất phương trình f (x) sin m nghiệm đúng với mọi x 1;3 2 m f (1) 1 . Câu 32. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình bên dưới. Tìm m để bất phương x 1 trình f x m nghiệm đúng với mọi x 0;1. x 2