Đề cương ôn tập môn Toán 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Trường THPT Thống Nhất

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Trường THPT Thống Nhất

1. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất I. NGUYÊN HÀM. 1. Khái niệm: Định nghĩa. Cho hàm số f (x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K, nếu F '(x) f (x) , với mọi x K . Định lý. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K. Khi đó a. Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) F(x) C cũng là một nguyên hàm của f (x) . b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f (x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C. c. Họ tất cả các nguyên hàm của f (x) là f (x)dx F(x) C , trong đó F(x) là một nguyên hàm của f (x) , C là hằng số bất kỳ. d. Bảng các nguyên hàm cơ bản. 2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp u u(x) kdx kx C,k R kdu ku C,k R 1 1 x dx .x 1 C ( 1) u du .u 1 C ( 1) 1 1 dx du ln x C ( x 0 ) ln u C ( x 0 ) x u dx du 2 x C 2 u C x u exdx ex C eu du eu C a x au a xdx C (0 a 1). au du C (0 a 1). ln a ln a cos xdx sin x C cosudu sin u C sin xdx cos x C sin udu cosu C dx dx du du tan x C ; cot x C . tan u C ; cot u C cos2 x sin2 x cos2 u sin2 u 1
2. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất 3. Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là. 1 (ax b)k 1 1 1 (ax b)k dx C ,(a 0,k 1); dx ln ax b C,a 0. a k 1 ax b a 1 1 eax bdx eax b C ; cos(ax b)dx sin(ax b) C a a 1 sin(ax b)dx cos(ax b) C a 1 amx n 1 1 amx ndx . C dx tan(ax b) C a ln a cos2 (ax b) a 1 1 dx cot(ax b) C sin2 (ax b) a 4. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm . Định lý. Nếu F(x),G(x) tương ứng là một nguyên hàm của f (x), g(x) thì a. f '(x)dx f (x) C b. [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx F(x) G(x) C ; c. a.f(x)dx a f (x)dx aF(x) C (a 0) . 5. Một số phương pháp tìm nguyên hàm. a. Phương pháp đổi biến số Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y f (u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là f (u)du F(u) C thì f [u(x)]dx=F[u(x)]+C . b. Phương pháp tích phân từng phần Một số dạng thường gặp: + Dạng 1. P(x).eax bdx, P(x)sin(ax b)dx, P(x)cos(ax b)dx Cách giải: Đặt u P(x),dv eax bdx (hoaëc dv sin(ax b)dx, dv cos(ax b)dx) + Dạng 2. P(x)ln(ax b)dx Cách giải: Đặt u ln(ax b),dv P(x)dx. II. TÍCH PHÂN : 2
3. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất 1. Định nghĩa. Cho hàm f (x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) thì hiệu số F(b) F(a) được gọi là tích phân b b của f (x) từ a đến b và ký hiệu là f (x)dx . Trong trường hợp a b thì f (x)dx là a a tích phân của f trên a;b . 2. Tính chất của tích phân . Cho các hàm số f (x), g(x) liên tục trên K và a,b,c là ba số thuộc K. a b a f (x)dx 0 f (x)dx f (x)dx a a b b c b b b f (x)dx f (x)dx f (x)dx k. f (x)dx k f (x)dx a a c a a b b b [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx a a a 3. Một số phương pháp tính tích phân b u(b) Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số f [u(x)]u '(x)dx f (u)du . Trong a u(a) đó f (x) là hàm số liên tục và u(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp f [u(x)] xác định trên J; a,b J . Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách Cách 1. Đặt ẩn phụ u u(x) ( u là một hàm của x) Cách 2. Đặt ẩn phụ x x(t) ( x là một hàm số của t). Phương pháp tích phân từng phần. Định lý. Nếu u(x),v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a,b là hai số b b thuộc K thì u(x)v '(x)dx u(x)v(x) b v(x)u '(x)dx a a a 4. Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng Nếu hàm số y f (x) liên tục trên a; b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ b thị hàm số y f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b là S f (x) dx . a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f (x) , y g(x) và hai đường thẳng x a, x b là 3
4. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất b S f (x) g(x) dx a Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với b trục Ox tại các điểm a,b là V S(x)dx . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của a vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x a;b và S(x) là một hàm liên tục. Tính thể tích khối tròn xoay. Hàm số y f (x) liên tục và không âm trên a;b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b quay quanh trục hoành tạo nên b một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức V f 2 (x)dx . a Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x g(y) , trục tung và hai đường thẳng y c, y d quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi d công thức V g 2 (y)dy . c Chú ý : 1. Xét chuyển động có quãng đường là một hàm số theo thời gian t : s s(t) . Ta có +)Vận tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là v(t) s (t) s(t) v(t)dt +)Gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là: a(t) v (t) s (t) v(t) a(t)dt . 2. Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(t), khi đó quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b là : b f (t)dt a A. BÀI TẬP TỰ LUẬN. I. NGUYÊN HÀM. Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số 1 1 1. (x 2)(x2 2x 4)dx 2. ( x3 )dx 3. e3 2xdx 2 x x 4
5. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất 4. x3 (x4 2)5 dx 5. x x2 2dx 6. x2 x3 4dx x3 x2 7. sin(2 3x)dx 8. (2 5x)9 dx 9. dx x4 x3 2x 1 sin x 10. dx l1. dx 12. (1 2x2 )10 xdx x 1 cos x 1 ln x 2 13. dx 14. 2xex dx 15. sin5 x. cos xdx x 2x2 3x 2 3x 2 16. dx 17. dx x 1 x 2 Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số 1 ln x 1. dx 2. cos3 x. sin xdx 3. esin x. cos xdx x 4. sin2 xdx 5. cos(5x 2)dx 6. cos3 x. sin xdx 1 7. dx 8. 73x 1 dx 9. 2x sin xdx 5x 2 10. 3x.exdx 11. x. cos 3xdx 12. ln xdx 1 13. 2x. ln xdx 14. ln xdx 15. x.(1 cos x)dx x 16. (ex 1).xdx 17. x. cos 3xdx 18. x2(x 1)2 dx . Bài 3. x 2 1. Tìm một nguyên hàm của : f(x) = sin , biết F( ) 2 2 6 3 2x2 5x 2 2. Tìm một nguyên hàm của : f(x) = , biết F(4) 1 x 3 3. Tìm hàm số f(x) biết f/(x) = 3 – 5 sin x và f(0) = `10 (THPT Quốc gia 2017) 4. Cho F(x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x). e2x . Hãy tìm nguyên hàm của của hàm số f / (x).e2x .(THPT Quốc gia 2017) 1 f (x) 5. Cho F(x) = là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 3x3 x f / (x).ln x ..(THPT Quốc gia 2017). 5
6. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất ln x 6. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Tính I = F(e) – F(1). x 3 7. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số : f (x) ex 2x . Tìm F(x) biết F(0) = . 2 8. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx + cosx thõa mãn F( ) 2 . 2 9. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f/(x). e2x . II. TÍCH PHÂN. Bài 1. Tính các tích phân sau: 2 3 1 4 1 1. (x3 3x2 1)dx 2. (x )2 dx 3. (x )dx 2 1 x 2 x 3 1 4 4. x2 4x 3 dx 5. x2 (x 1)2 dx 6. tan2 xdx 1 0 0 2 1 x2 x 1 1 7. sin2 x.cos xdx 8. dx 9. (1 ex )xdx 0 0 x 1 0 e 4 5ln x ln 2 10. x(1 cos x)dx 11. dx 12. (ex 1)2.exdx 0 1 x 0 2 2 2 x2 13. (1 x)cos xdx 14. (2x3 ln x)dx 15. dx 3 3 0 1 0 1 x 2 sin x 1 2 16. dx 17. ln(1 x)dx 18. x.sin xdx 0 1 3cos x 0 0 Bài 2: 3 3 1. Cho f (x)dx 2 và g(x)dx 3 Hãy tính . 1 1 3 3 a. 3 f (x) g(x)dx b. 5 4 f (x)dx . 1 1 2 5 5 2. Cho f (x)dx 4, f (x)dx 6 . Tính f (x)dx . 1 1 2 6
7. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất 6 2 3. Cho f (x)dx 12 . Tính I f (3x)dx 0 0 2 2 2 4. Cho f (x)dx 2 và g(x)dx 1. Tính I = x 2 f (x) 3g(x)dx 1 1 1 1 1 1 5. Cho dx a ln 2 bln 3 với a , b là các số nguyên. Hãy tính P = 2a -3b. 0 x 1 x 2 2 2 6. Cho f (x)dx 5. Tính I =  f (x) 2sin xdx . 0 0 3 4 4 7. Cho f (u)du 5 và f (x)dx 10 . Tính I = f (t)dt . 0 0 3 2 2 2 8. Cho f (x)dx 2 và g(x)dx 1. Tính I = x 2 f (x) 3g(x)dx. 1 1 1 Bài 3. 1. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 1 – 2sin2t (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển 3 trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm t = (s). 4 2. Một vật di chuyển chậm dần đều với vận tốc v(t) = 160 – 10 t (m/s). Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm mà vật dừng lại. 1 3.. Một vật chuyển động theo quy luật s t3 6t 2 với t ( giây) là khoảng thời gian tính từ 2 khi vật bắt đầu chuyển động và s ( mét) là quãng đường vật di chuyển được trong thời gian đó. Hỏi trong thời gian 6 giây, kể từ khi vật bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật là bao nhiêu. 4. Một ô tô đang chảy với vận tốc 20m/s thì đạp phanh ( đạp thắng), sau khi đạp phanh thì ô tô chuyển động chậm đều với vận tốc v(t) = -40t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ khi đạp phanh. Hỏi từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được bao nhiêu mét. 5. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t 2 (m/s2). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. 6. Một vật chất điểm đang chuyển động với vận tốc v(t) ( m/s), có gia tốc a(t) 3t2 2t 1(m / s2 ) . Vận tốc ban đầu của chất điểm là 5(m / s) . Hỏi vận tốc của chất điểm sau 3 giây. III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN. Bài 1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số sau. 1. y 2x2 x4 và trục hoành. 2. y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = -1 và x = 2. 7
8. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất 3. y = x3 – x và y = x – x2. 4. y = x3 -1, đường thẳng x = 2,trục tung và trục hoành. 5. y = 4 – x2, đường thẳng x = 3, trục tung, trục hoành. 6. y = 2 – x2 và y = -x. 7. y = x2 + x + 2 và x – y + 2 = 0 8. y x3 3x2 4 và đường thẳng x y 1 0 9. y sin x cos3 x ; y 0 và x 0; x 2 10. y x2 2x; y 3x 11. y = x , trục hoành và đường thẳng y = x – 2. 7 12. y = sinx +1 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = x . 6 13. y2 2y x 0, x y 0 14. y 3 x x2 , y 2x 1. 3 15. y 0, y s inx, x , x . 2 2 Bài 2. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi. 1. y = 1 – x2 , y = 0 2. y = cosx, y = 0, x = 0, x = 3. y = tanx, y = 0, x = 0, x = 4 4. y = 0 , x = 4, y = x 1. 4. y = sin x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 5. y ln x ; trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 2 . 6. y = x2 1 , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1. 7. y = 2 cos x , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = . 2 8. y = 2 sin x trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = . B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. BÀI TẬP NGUYÊN HÀM Câu 1:Nếu u x và v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b . Mệnh đề nào sau đây đúng 8
9. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất b b b b b A. udv uv b vdv .B. u v dx udx vdx . a a a a a a b b b b b C. uvdx udx . vdx . D. udv uv b vdu . a a a a a a Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số f x x sin 2x là x2 x2 1 1 A. cos 2x C .B. cos 2x C . C. x2 cos 2x C . D. 2 2 2 2 x2 1 cos 2x C . 2 2 Câu 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x x cos x . x2 A. f x dx sin x C . B. f x dx 1 sin x C . 2 x2 C. f x dx xsin x cos x C . D. f x dx sin x C . 2 Câu 4: Cho f x dx F x C . Khi đó với a 0 , a , b là hằng số ta có f ax b dx bằng. 1 1 A. f ax b dx F ax b C . B. f ax b dx F ax b C . a a b C. f ax b dx F ax b C . D. f ax b dx aF ax b C . Câu 5: Phát biểu nào sau đây là đúng? A. cos2xdx 2sin 2x C B. cos2xdx 2sin2x C 1 1 C. cos2xdx sin2x C D. cos2xdx sin2x C 2 2 Câu 6: Mệnh đề nào dưới đây sai? A. f x dx f x C với mọi hàm f x có đạo hàm trên ¡ . B. f x g x dx f x dx g x dx với mọi hàm f x , g x có đạo hàm trên ¡ . C. kf x dx k f x dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f x có đạo hàm trên ¡ . D. f x g x dx f x dx g x dx với mọi hàm f x , g x có đạo hàm trên ¡ . Câu 7: Cho hai hàm số f x , g x liên tục trên ¡ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f x g x dx f x dx g x dx . B. f x .g x dx f x dx. g x dx . 9
10. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất C. f x g x dx f x dx g x dx . D. kf x dx k f x dx k 0;k ¡ . Câu 8: Cho hai hàm số f x , g x là hàm số liên tục, có F x , G x lần lượt là nguyên hàm của f x , g x . Xét các mệnh đề sau: I . F x G x là một nguyên hàm của f x g x . II . k.F x là một nguyên hàm của k. f x với k ¡ . III . F x .G x là một nguyên hàm của f x .g x . Các mệnh đề đúng là A. II và III .B. Cả 3 mệnh đề.C. I và III .D. I và II . Câu 9: Cho hàm số f x xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K . B. Nếu f x liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số F x được gọi là một nguyên hàm của f x trên K nếu F x f x với mọi x K . D. Nếu hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên K thì hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên K . Câu 10: Cho f x là hàm số liên tục trên a;b (với a b ) và F x là một nguyên hàm của f x trên a;b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? b b A. f 2x 3 dx F 2x 3 . a a b B. k. f x dx k F b F a . a a C. f x dx F b F a . b D. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x a,x b , đồ thị hàm số y f x và trục hoành được tính theo công thức S F b F a . Câu 11: Cho hàm số f x xác định trên K và F x là một nguyên hàm của f x trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? 10
11. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất A. f x F x , x K .B. F x f x , x K . C. F x f x , x K .D. F x f x , x K . Câu 12: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. kf x dx f x dx với k ¡ . B. f x g x dx f x dx g x dx với f x ; g x liên tục trên ¡ . 1 C. x dx x 1 với 1. 1 D. f x dx f x . dx Câu 13: Tìm 2 3x 1 1 A. ln 2 3x C . B. C . 3 2 3x 2 1 3 C. ln 3x 2 C . D. C . 3 2 3x 2 Câu 14: Cho biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên ¡ . Tìm I 2 f x 1 dx A. I 2F x 1 C . B. I 2F x x C . C. I 2xF x x C .D. I 2xF x 1 C . Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f x eex . A. f x dx eex 2 C .B. f x dx eex 1 C . C. f x dx eex 1 C . D. f x dx eex C . b Câu 16. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x ax x 0 biết rằng F 1 1; x2 F 1 4 ; f 1 0. 3x2 3 7 3x2 3 7 A. F x . B. F x . 4 2x 4 4 2x 4 3x2 3 7 3x2 3 1 C. F x . D. F x . 2 4x 4 2 2x 2 . Câu 17. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu f x dx F x C thì f u du F u C . B. kf x dx k f x dx ( k là hằng số và k 0 ). C. Nếu F x và G x đều là nguyên hàm của hàm số f x thì F x G x . D. f x f x dx f x dx f x dx . 1 2 1 2 11
12. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất Câu 18: Cho hàm số y f x có f x dx xsin x C . Tính f . 2 A. 1 .B. 0 .C. 1. D. 1 . 2 2 Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2x 1. x2 A. 2x 1 dx x C .B. 2x 1 dx x2 x C . 2 C. 2x 1 dx 2x2 1 C . D. 2x 1 dx x2 C . Câu 20: Biết f x dx sin 3x C . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? cos3x cos3x A. f x 3cos3x . B. f x 3cos3x . C. f x . D. f x 3 3 Câu 21. Hàm số F x x cos x là một nguyên hàm của hàm số nào? x2 x2 A. y 1 sin x . B. y sin x . C. y sin x . D. y 1 sin x . 2 2 Câu 22: Công thức nào sau đây sai? 1 1 A. ln xdx C .B. dx ln x C . x x 1 1 C. dx tan x C . D. sin 2xdx cos2x C . cos2 x 2 Câu 23: Cho biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x . Tìm I 3 f x 1 dx . A. I 3F x 1 C . B. I 3F x x C . C. I 3xF x 1 C . D. I 3xF x x C . Câu 24: giá trị của m để hàm số F x m2 x3 3m 2 x2 4x 3 là một nguyên hàm của hàm số f x 3x2 10x 4. A. m 2 . B. m 1. C. m 1. D. m 1. Câu 25: Biết một nguyên hàm của hàm số y f x là F x x2 4x 1 . Khi đó, giá trị của hàm số y f x tại x 3 là. A. f 3 30 . B. f 3 22 . C. f 3 10 . D. f 3 6 . . 2 Câu 26: Hàm số F x ex là một nguyên hàm của hàm số: x2 2 e 2 A. f x x2ex 1. B. f x . C. f x e2x . D. f x 2xex . 2x Câu 27: Hàm số F x 2sin x 3cos x là một nguyên hàm của hàm số. 12
13. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất A. f x 2cos x 3sin x .B. f x 2cos x 3sin x . C. f x 2cos x 3sin x . D. f x 2cos x 3sin x . Câu 28: Hàm số F x sin 2017x là nguyên hàm của hàm số. A. f x 2017cos 2017x .B. f x cos 2017x . 1 C. f x 2017cos 2017x .D. f x cos 2017x . 2017 x3 Câu 29: Nếu f x dx ex C thì f x bằng : 3 x4 x4 A. f x x2 ex . B. f x ex . C. f x ex . D. f x 3x2 ex 3 12 . 1 Câu 30: Hàm số y ln x là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? x 1 1 1 1 1 1 A. y ln x 1 B. y ln2 x C. y ln2 x D. y 2 x2 2 x x x2 Câu 31. Cho hàm số f x thỏa mãn f x 3 5cos x và f 0 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f x 3x 5sin x 2 .B. f x 3x 5sin x 5 . C. f x 3x 5sin x 5 .D. f x 3x 5sin x 5. 1 Câu 32. Nếu f x dx ln x C thì f x là x 1 A. f x x ln x C .B. f x x ln x C . x 1 x 1 C. f x ln x C .D. f x . x2 x2 Câu 33: Biết f x dx x2 2x C . Tính f x dx . A. x2 2x C .B. x2 . 2x CC. x2 . 2x CD. x2 . 2x C Câu 34. Cho F x cos 2x sin x C là nguyên hàm của hàm số f x . Tính f π . A. f π 3 .B. . f π 1 C. f . π 1D. . f π 0 Câu 35: Cho f x dx x2 4 C . Tìm f 2x dx . A. . f 2x dx x2 1 C B. . f 2x dx x2 4 C x2 4 C. . f 2x dx C D. . f 2x dx 4x2 4 C 2 13
14. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất 1 Câu36: Biết F x là nguyên hàm của hàm số f x và F 2 1 . Khi đó F 3 bằng x 1 1 3 A..lB.n 2.C..D.. ln 2 1 ln 2 2 Câu37: Nếu f x dx ex sin x C thì f x bằng. A..eB.x . cos x C.. ex D.si.n x ex sin x ex cos x Câu 38: Tìm nguyên hàm I x cos xdx . x A. I x2 sin C .B. . I xsin x cosx C 2 x C. I xsin x cosx C .D. . I x2cos C 2 b Câu 39: Biết 2x 1 dx 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? a A. b a 1 .B. a2 b . 2 C.a b 1 b2 a . 2 D.b a 1 . a b 1 1 e 1 3 Câu 39: Nguyên hàm F x của hàm số f x , biết F là: 2x 1 2 2 1 A. F x 2ln 2x 1 . B. F x 2ln 2x 1 1 . 2 1 1 C. F x ln 2x 1 1 .D. . F x ln 2x 1 2 2 Câu 40. Để hàm số F x mx3 3m 2 x2 4x 3 là một nguyên hàm của hàm số f x 3x2 10x 4 thì giá trị của tham số m là A. m 1 .B. . m 2 C. . m 0 D. . m 1 Câu 41: Cho hai hàm số F x x2 ax b e x và f x x2 3x 6 e x . Tìm a và b để F x là một nguyên hàm của hàm số f x . A. ,.a 1 b 7 B. ,.a 1 bC. ,. 7 aD. ,. 1 b 7 a 1 b 7 Câu 42: Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 sin x là A..xB.3 cos x C .C. x3 sin x . D.C x3 c . os x C 3x3 sin x C 1 Câu 43. Tất cả nguyên hàm của hàm số f x là 2x 3 1 1 A. ln 2x 3 C .B. ln 2x 3 .C. C ln 2x .D. 3 C 2 2 1 ln 2x 3 C . ln 2 Câu 44: Cho hàm số f x cos3 .x Mệnh đề nào sau đây đúng 14
15. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất 1 1 A. f x dx sin3x C . B. f x dx sin3x C . 3 3 C. f x dx 3sin3x C .D. f x .dx 3sin3x C x Câu 45: Cho hàm số f x e 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng x x 1 A. f x dx e 2 C . B. f x dx 2e 2 C . 2 x x 1 C. f x dx e 2 C .D. . f x dx 2e 2 C 2 2 Câu 46: Một nguyên hàm của hàm số f x x 3 trên ¡ là: x 3 3 A. F x x . B. F x 2 x 3 . 3 3 x 3 3 C. F x 2017 .D. . F x 3 x 3 3 Câu 47: Cho biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x . Tìm I 2 f x 1 dx . A. I 2F x 1 C . B. I 2xF x 1 C . C. I 2xF x x C .D. . I 2F x x C Câu 48: Tìm họ nguyên hàm F x của hàm số y f x sin 2x 2x cos 2x cos 2x A. F x x2 C B. F x x2 C 2 2 C. D.F x cos 2x 2 C F x cos 2x x2 C Câu 49: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 3x2 8sin x . A. . f x dx 6x 8B.co s. x C f x dx 6x 8cos x C C. . D.f . x dx x3 8cos x C f x dx x3 8cos x C Câu 50: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f (x) 3x 1 5 ? 3x 1 6 3x 1 6 A. .F B.(x ). 8 F(x) 2 18 18 3x 1 6 3x 1 6 C. .F (x)D. . F(x) 18 6 3 Câu 51: Cho F(x là) một nguyên hàm của hàm số f x ex 2 xthỏa mãn F 0 . Tìm F(x) 2 15
16. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất . 5 1 A. F x ex x2 B. F x 2ex x2 2 2 3 1 C. F x ex x2 D. F x ex x2 2 2 Câu 52: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x sin3x thỏa mãn F 2 . 2 cos3x 5 cos3x A. F x B. F x 2 3 3 3 C. F x cos3x 2 D. F x cos3x 2 1 Câu 53: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x tan2 2x . 2 2 1 2 1 x A.. tan 2B.x . dx 2tan 2x 2x C tan 2x dx tan 2x C 2 2 2 2 1 2 1 tan 2x x C. . tan 2x D. . dx tan 2x x C tan 2x dx C 2 2 2 2 Câu 54: Trong các khẳng định sau, khẳng đinh nào sai? 1 A. exdx ex C .B. 0d .x C C. dx ln . x D.C dx .x C x 1 Câu 55: Cho hàm số f x có đạo hàm f x và f 0 1 . Tính f 5 . 1 x A. . f 5 2B.ln .2 C. . D. .f 5 ln 4 1 f 5 2ln 2 1 f 5 2ln 2 Câu 56: Tìm nguyên hàm F x 2dx . 3 A. .F x B. . 2 x C. C . D. F x 2 x C F x C 3 2 x2 F x C . 2 Câu 57: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x sin x cos x . A. . f x dx siB.n x. cos x C f x dx sin x cos x C C. . f x dx sinD.x . cos x C f x dx sin x cos x C 1 Câu 58: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 3x . x2 1 3x 1 A. . f x dx 3x C B. . f x dx C x ln 3 x 16
17. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất 1 3x 1 C. . f x dx 3x C D. . f x dx C x ln 3 x Câu 59: Họ nguyên hàm của hàm số f x ex cos x là ex 1 ex 1 A. .e x sin xB. .C C. . D. sin x C ex sin x C sin x C x 1 x 1 . 1 Câu 60: Tìm tất cả nguyên hàm F x của hàm số f x x . x 1 1 A. .F x x2 ln x C B. . F x x2 ln x 2 2 1 C. .F x 1 ln x C D. . F x x2 ln x C 2 Câu 61: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x thì F x 1 cũng là một nguyên hàm của hàm số f x . B. Nếu F x , G x là hai nguyên hàm của hàm số f x thì F x G x C , với C là một hằng số. C. Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x thì f x dx F x C , với C là một hằng số. D. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . Câu 62: Tìm nguyên hàm của hàm số f x .x 1 2 A. f x dx x C . B. f x dx x C . 2 3 3 2 C. f x dx x x C .D. . f x dx x x C 2 3 Câu 63: Chỉ ra công thức sai trong các công thức nguyên hàm sau: 1 1 A. . dx cot x C B. . dx tan x C sin2 x cos2 x C. . sinxdx cos x C D. . cos xdx sin x C Câu 64: Nguyên hàm của hàm số f x x 2x là: x2 2x 2x A. . f x dx B. .C f x dx 1 C 2 ln 2 ln 2 x2 x2 C. . f x dx 2x D.C . f x dx 2x ln 2 C 2 2 17
18. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất Câu 65: Nguyên hàm F x của hàm số f x 4x3 3x2 2 thõa điều kiện F 1 3 là: A. .x 4 x3B. .2 x 3 C. . xD.4 . x3 2x x4 x3 2x 4 x4 x3 2x 3 Câu 66: Nguyên hàm F x của hàm số thỏaf x mãn x sin x là. F 0 19 x2 x2 x2 x2 A. . cosB.x 2 cos x 20 C. . D.co s. x 20 cos x 2 2 . 2 2 2x4 3 Câu 67: Cho hàm số f x . Chọn phương án đúng: x2 2x3 3 2x3 3 A. . f x dx B. .C f x dx C 3 2x 3 x 3 2x3 3 C. . f x dx 2x3 D.C . f x dx C x 3 x 3 Câu 68: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x ex 2x thỏa mãn F 0 . Tìm 2 F x . 1 5 A. .F x 2ex x2 B. . F x ex x2 2 2 1 3 C. .F x ex x2 D. . F x ex x2 2 2 Câu 69: F x là nguyên hàm của hàm số f x 2x 1 . Khi đó, F x là hàm số 1 1 A.. f x dx 2x 1B. .C f x dx 2x 1 C 2 3 1 2 C..D.f.(x)dx 2x 1 2x 1 C f x dx 2x 1 2x 1 C 3 3 Câu 70: Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 3x . 6 1 A. f x dx 3sin 3x C B. f x dx sin 3x C 6 3 6 1 C. f x dx 6sin 3x C D. f x dx sin 3x C 6 3 6 Câu 71: F x là một nguyên hàm của hàm số y 2sin x cos3x và F 0 0 , khi đó cos 2x cos 4x 1 A. F x cos 4x cos 2x . B. F x . 4 8 8 cos 2x cos 4x 1 cos 4x cos 2x 1 C. F x .D. F x . 2 4 4 4 2 4 18
19. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất Câu 72. Cho hàm số f x thỏa mãn f x 3 2sin x và f 0 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f x 3x 2cos x 5 . B. f x 3x 2cos x 3 . C. f x 3x 2cos x 3 .D. f . x 3x 2cos x 5 1 Câu 73: Biết F(x là) một nguyên hàm của của hàm số f (x) và F( 3) .1 Tính F(0 .) x 2 A. F(0) ln 2 1 .B. F(0) l .nC.2 3 .D.F( 0) ln 2 . F(0) ln 2 1 Câu 74: Hàm số F x ln x x2 a C a 0 là nguyên hàm của hàm số nào sau? 1 1 A. x x2 a .B. . C. . x2 a D. . x2 a x x2 a .Câu 75: Tìm họ của nguyên hàm f x tan 2x . A. . tan2x dx 2 1B. .tan2 2x C tan 2x dx ln cos2x C 1 1 C. . tan 2x dx D.1 .tan2 2x C tan 2x dx ln cos 2x C 2 2 1 Câu 76: Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x 3x , biết F 0 . Tính F log 7 . ln 3 3 6 A. .F lB.og . 7 C. .5 lnD.3 F log 7 6ln 3 F log 7 3 3 3 ln 3 5 F log 7 . 3 ln 3 Câu 77: Xác định a,b để hàm số F x ax b e x là một nguyên hàm của hàm số f x 3x 2 e x . a 3 a 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . b 5 b 1 b 1 b 5 Câu 78. Tìm nguyên hàm F x x sin x dx biết F 0 19 . A. .F x x2 cos x 20B. . F x x2 cos x 20 1 1 C. .F x x2 cos x D.20 . F x x2 cos x 20 2 2 Câu 79. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x cos 2x , biết rằng F 2 2 3 A. .F x sin x 2 B. . F x x sin 2x 2 1 C. .F x sin 2x 2 D. . F x 2x 2 2 19
20. Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Tổ Toán – tin học : THPT Thống Nhất 1 Câu 80: F x là một nguyên hàm của hàm số f x 3x2 . Biết F 0 0, 2x 1 b b F 1 a ln 3 trong đó a,b,c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó c c giá trị biểu thức a b c bằng. A. 4 .B. .C. .D. . 9 3 12 . BÀI TẬP TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 1: Cho hàm số f x liên tục trên a;b và F x là một nguyên hàm của f x . Tìm khẳng định sai. b a A. f x dx F a F b .B. f x dx 0 . a a b a b C. f x dx f x dx .D. f x dx F b F a . a b a 3 Câu 2: Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn: f x 3g x dx 10 , 1 3 3 2 f x g x dx 6 . Tính f x g x dx 1 1 A. .7 B. . 9 C. . 8 D. 6 . 3 1 m m Câu 3: Biết dx ln (với m, n là những số thực dương và tối giản), khi đó, tổng 2 x 1 n n m n bằng A. 12 .B. . 7 C. .D. . 1 5 Câu 4. Cho các số thực a , b và các mệnh đề: b a b a 1. f x dx f x dx . 2 . 2 f x dx 2 f x dx . a b a b b b 2 b b 2 3 . f x dx f x dx . 4 . f x dx f u du . a a a a Số mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề trên là: A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1. Câu 5: Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng định nào sau đây sai? a b a A. f x dx 1 B. f x dx f x dx a a b 20