72 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 3: Nguyên hàm. Tích phân (Mức độ 3)

Nội dung tài liệu: 72 Câu hỏi ôn tập Toán 12 - Chương 3: Nguyên hàm. Tích phân (Mức độ 3)

1. Câu 1. Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v t 10t t2 , trong đó t là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v t được tính theo đơn vị mét/phút ( m/p ). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là A. v 5 m/p .B. v 7 m/p .C. v 9 m/p .D. v 3 m/p . Lời giải Chọn C Gọi thời điểm khí cầu bắt đầu chuyển động là t 0 , thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất là t1 . Quãng đường khí cầu đi được từ thời điểm t 0 đến thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất là t1 là t1 t3 10t t 2 dt 5t 2 1 162 1 0 3 t 4,93 t 10,93 t 9 Do v t 0 0 t 10 nên chọn t 9 . Vậy khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là v 9 10.9 92 9 m/p Câu 2. Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , y 0 và x 4 quanh trục Ox . Đường thẳng x a 0 a 4 cắt đồ thị hàm y x tại M . Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng V 2V1 . Khi đó 5 A. a 2 . B. a 2 2 . C. a . D. a 3. 2 Lời giải ChọnD. 4 Ta có x 0 x 0 . Khi đó V xdx 8 0 Ta có M a; a Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy: ￿ Hình nón N1 có đỉnh là O, chiều cao h1 OK a , bán kính đáy R MK a ; ￿ Hình nón N2 thứ 2 có đỉnh là H , chiều cao h2 HK 4 a , bán kính đáy R MK a 1 1 1 2 1 2 4 Khi đó V R2h R2h a .a a .(4 a) a 1 3 1 3 2 3 3 3
2. 4 Theo đề bài V 2V 8 2. a a 3 . 1 3 Câu 3. Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này. Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau A. 1070,8 cm3. B. 602,2 cm3. C. 711,6 cm3. D. 6021,3 cm3. Lời giải ChọnA. 2 Ta có thể tích của khối trụ là V1 .13,2.6,6 1806,4 . Đường kính hình cầu là 13,2 2.1 11,2 cm , suy ra thể tích của hai nửa khối cầu là 4 V .5,63 735,619 2 3 Vậy lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ gần nhất với giá trị 1070,8 cm3. Câu 4. Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 16y2 x2 25 x2 như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét. 125 125 250 125 A. S m2 B. S m2 C. S m2 D. S m2 6 4 3 3 Lời giải ChọnD. Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy . 1 Từ giả thuyết bài toán, ta có y x 5 x2 . 4
3. 1 Góc phần tư thứ nhất y x 25 x2 ; x 0;5 4 1 5 125 125 Nên S x 25 x2 dx S (m3 ) (I ) 4 0 12 3 Câu 5. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x, y x , y 0 xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây? 1 2 2 A. V 2 x dx x2dx . B. V 2 x dx . 0 1 0 1 2 1 2 C. V xdx 2 xdx . D. V x2dx 2 x dx . 0 1 0 1 Lời giải ChọnD. y 2 1 H1 H2 -1 O 1 2 x Gọi H1 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y x, y 0, x 1 thể tích khi quay hình H1 1 quanh trục Ox là: V x2dx. 1 0 Gọi H1 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x, y 0, x 1 thể tích khi quay hình 2 H quanh trục Ox là: V 2 x dx . 2 2 1 1 2 V V V x2dx 2 x dx . 1 2 0 1 Câu 6. Ông B có một khu vườn giới hạn bởi một đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình y x2 và đường thẳng là y 25. Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi một đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng một loại hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích 9 mảnh vườn nhỏ bằng . 2 A. OM 2 5 . B. OM 15. C. OM 10 . D. OM 3 10 . Lời giải ChọnD.
4. Gọi điểm H có hoành độ a, a 0 là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox . MH a2 Khi đó ta có pt đường thẳng OM có dạng y tan .x , tan a y ax . OH a Vậy diện tích mảnh vườn cần tính là: a a 2 3 3 3 2 ax x a a 9 S ax x dx a 3 . 2 3 6 6 2 0 0 Suy ra OM 32 92 3 10 . Câu 7. Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn f 1 1, f x f x 3x 1, với mọi x 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4 f 5 5.B. 2 f 5 3.C. 3 f 5 4 .D. 1 f 5 2 . Lời giải ChọnC. f x 1 Ta có: f x f x 3x 1 f x 3x 1 5 f x 5 1 5 1 4 dx dx d f x 1 f x 1 3x 1 1 f x 3 5 4 f 5 4 f 5 4 4 ln f x ln e 3 f 5 e 3 3,8. 1 3 f 1 3 f 1 1 2 Câu 8. Cho f (x) liên tục trên ¡ và f (2) 16, f (2x)dx 2. Tích phân xf x dx bằng. 0 0 A. 30 B. 28 C. 36 D. 16 Lời giải Chọn B 1 1 Đặt 2x t dx dt . Đặt I f (2x)dx . 2 0 Đổi cận: x 0 t 0 và x 1 t 2 . 2 1 2 2 Khi đó I f (t) dt 2 f (t)dt 4 . Hay ta có f (x)dx 4. 0 2 0 0 u x du dx Đặt . dv f x dx v f x 2 2 2 2 Khi đó xf x dx xf x f x dx 2 f 2 f x dx 2.16 4 28. 0 0 0 0 Câu 9. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng
5. Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng 800 400 A. 800cm2 B. cm2 C. cm2 D. 250cm2 3 3 Lời giải Chọn C A B 4 2 10 5 O 5 10 2 4 D C 4 1 16 Diện tích mỗi cánh hoa trong hình là S 2 x x2 dx 0 4 3 400 Diện tích mỗi cánh hoa trên gạch là: 25.S 3 2 Câu 10. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) f (x). f (x) 15x4 12x,x ¡ và f (0) f (0) 1. Giá trị của f 2 (1) bằng ? 9 5 A. B. C. 10 D. 8 2 2 Lời giải Chọn D 2 4 4 Ta có f (x) f (x). f (x) 15x 12x,x ¡ f x . f x 15x 12x f x f x 15x4 12x dx 3x5 6x2 C . Vì f (0) f (0) 1 f 0 . f 0 1 C 1. Suy ra f x . f x 3x5 6x 1. 1 1 1 1 7 Khi đó: f x . f x dx 3x5 6x2 1 dx f 2 x 0 0 2 0 2 f 2 1 f 2 0 7 f 2 1 7 1 8 .
6. Câu 11. Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m , chiều rộng chân đế 12 m . Người ta căng hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba AB phần có diện tích bằng nhau . Tỉ số bằng CD A B 18m C D 12m 1 4 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 5 3 2 1 2 2 Lời giải Chọn C. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. y 6 O x1 x2 x B 18m C D 18 Phương trình Parabol có dạng y a.x2 P . 2 1 1 P đi qua điểm có tọa độ 6; 18 suy ra: 18 a. 6 a P : y x2 . 2 2 AB x Từ hình vẽ ta có: 1 . CD x2 1 Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng AB : y x2 là 2 1 x1 x1 3 1 2 1 2 1 x 1 2 2 3 S1 2 x x1 dx 2 . x1 x x1 . 2 2 2 3 2 3 0 0 1 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng CD y x2 là 2
7. x2 x2 3 1 2 1 2 1 x 1 2 2 3 S2 2 x x2 dx 2 . x2 x x2 2 2 2 3 2 3 0 0 x 1 AB x 1 Từ giả thiết suy ra S 2S x3 2x3 1 . Vậy 1 . 2 1 2 1 3 3 x2 2 CD x2 2 Câu 12. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 1;2 thỏa mãn f 1 4 và f x xf x 2x3 3x2 . Tính f 2 A. 5 . B. 20 . C. 10. D. 15. Lời giải Chọn B. xf x f x f x 3 2 Do x 1;2 nên f x xf x 2x 3x 2 2x 3 2x 3 x x f x x2 3x C . x Do f 1 4 nên C 0 f x x3 3x2 . Vậy f 2 20 . ln x 3 Câu 13. Giả sử F x là một nguyên hàm của f x sao cho F 2 F 1 0 . Giá trị của x2 F 1 F 2 bằng 10 5 7 2 3 A. ln 2 ln 5 .B. 0 .C. ln 2 .D. ln 2 ln 5 . 3 6 3 3 6 Lời giải Chọn A ln x 3 Tính dx . x2 dx u ln x 3 du x 3 Đặt dx 1 dv 2 x v x ln x 3 1 dx 1 1 x Ta có dx ln x 3 ln x 3 ln C F x,C . x2 x x x 3 x 3 x 3 1 1 1 7 Lại có F 2 F 1 0 ln 2 C ln 4 ln C 0 2C ln 2 . 3 3 4 3 1 1 1 2 10 5 Suy ra F 1 F 2 ln 2 ln 2 ln 5 ln 2C ln 2 ln 5. 3 2 3 5 3 6 1 1 2 Câu 14. Cho y f x là hàm số chẵn và liên tục trên ¡ . Biết f x dx f x dx 1. Giá trị của 0 2 1 2 f x dx bằng x 2 3 1 A. 1. B. 6 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn D
8. 1 1 2 1 2 Do f x dx f x dx 1 f x dx 1và f x dx 2 0 2 1 0 1 1 2 2 f x dx f x dx f x dx 3 . 0 1 0 2 f x 0 f x 2 f x Mặt khác dx dx dx và y f x là hàm số chẵn, liên tục trên ¡ x x x 2 3 1 2 3 1 0 3 1 f x f x x ¡ . 0 f x Xét I dx . Đặtt x dx dt x 2 3 1 0 f x 0 f t 2 f t 2 3t f t 2 3x f x I dx dt = dt = dt = dx 3x 1 3 t 1 1 3t 1 3x 1 2 2 0 1 0 0 3t 2 f x 0 f x 2 f x 2 3x f x 2 f x 2 3x 1 f x dx dx dx dx dx dx x x x x x x 2 3 1 2 3 1 0 3 1 0 3 1 0 3 1 0 3 1 2 f x dx 3. 0 π Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f x f x sin x.cos x , với 2 π 2 mọi x R và f 0 0. Giá trị của tích phân x. f x dx bằng 0 π 1 π 1 A. .B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn D π π Theo giả thiết, f 0 0 và f x f x sin x.cos x nên f 0 f 0 hay 2 2 π f 0 . 2 π π π π 2 2 π 2 2 Mặt khác, I x. f x dx xd f x xf x 2 f x dx hay I f x dx . 0 0 0 0 0 π π π 2 2 π 1 2 π Mà f x dx f x dx nên I f x f x dx . 0 0 2 2 0 2 π π 1 2 1 2 1 Suy ra I sin x.cos xdx cos 2x . 2 0 8 0 4 f x f x f x e x ,x f 0 2 Câu 16. Cho hàm số thỏa mãn ¡ và . Tất cả các nguyên hàm f x e2x của là A. x 2 ex ex C B. x 2 e2x ex C C. x 1 ex C D. x 1 ex C Lời giải
9. Chọn D x x x x x Ta có f x f x e f x e f x e 1 f x e 1 f x e x C1 . Vì f 0 2 C 2 f x e2x x 2 ex f x e2xdx x 2 exdx . 1 u x 2 du dx Đặt x x dv e dx v e f x e2xdx x 2 exdx x 2 ex exdx x 2 ex ex C x 1 ex C . Câu 17. Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng OO 5 cm, OA 10 cm, OB 20 cm, đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểm A . Thể tích của chiếc mũ bằng 2750 3 2500 3 2050 3 2250 3 A. cm B. cm C. cm D. cm 3 3 3 3 Lời giải Chọn B Ta gọi thể tích của chiếc mũ là V . Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng OA 10 cm và đường cao OO 5 cm là V1 . Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong AB và hai trục tọa độ quanh trục Oy là V2 . Ta có V V1 V2 2 3 V1 5.10 500 cm . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Do parabol có đỉnh A nên nó có phương trình dạng (P) : y a(x 10)2 .
10. 1 Vì P qua điểm B 0;20 nên a . 5 1 2 Do đó, P : y x 10 . Từ đó suy ra x 10 5y (do x 10). 5 20 2 8000 1000 3 Suy ra V 10 5y dy 3000 cm . 2 0 3 3 1000 2500 3 Do đó V V1 V2 500 cm . 3 3 3 cos2 x sin x.cosx 1 Câu 18. Cho dx a bln 2 c ln 1 3 , với a ,b ,c là các số hữu tỉ. Giá trị abc 4 3 cos x sin x.cos x 4 bằng A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6. Lời giải Cách 1 : Ta có 3 cos2 x sin x.cosx 1 3 2cos2 x sin x.cosx sin2 x 3 2 tan x tan2 x dx dx dx 4 3 2 2 2 cos x sin x.cos x cos x cos x sin x.cosx cos x 1 tan x 4 4 4 3 2 tan x tan2 x 3 2 dtanx tan x dtanx 1 tan x 1 tan x 4 4 2 3 tan x 3 2ln tan x 1 1 2ln 2 2ln 3 1 2 4 4 Giá trị abc 4 Cách 2: 1 tan x 1 3 2 3 cos x sin x cos x 1 2 2 4 Ta có: dx cos x cos x cos x dx 4 3 cos x sin x cos x 1 tan x 4 4 2 3 1 tan2 x tan x 1 tan2 x 1 tan2 x dx 1 tan x 4 3 1 tan x 1 tan2 x 1 tan2 x dx 1 tan x 4 3 1 tan x 2 1 1 tan2 x dx 1 tan x 4 Đặt t 1 tan x ta được dt 1 tan2 x dx , đổi cận x t 2, x t 1 3 4 3
11. 2 1 3 1 3 1 t 1 1 3 2 t 2 Ta được 1 dt t 1 dt t 2ln t 1 2ln 2 2ln 1 3 t t 2 2 2 2 Từ đây ta suy ra a bln 2 c ln 1 3 1 2ln 2 2ln 1 3 . Do đó a 1,b 2,c 2 suy ra abc 4. Câu 19. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ thỏa mãn f 0 3 và 2 f x f 2 x x2 2x 2, x ¡ . Tích phân xf x dx bằng? 0 4 2 5 10 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Ta có : f x f 2 x x2 2x 2. Chọn x 0 thay vào ta có: f 0 f 2 2 f 2 2 3 1 Đặt x 2 t thì dx dt . Đổi cận : x 2 t 0, x 0 t 2. 2 0 2 Do đó: I f x dx f 2 t dt f 2 x dx 1 0 2 0 Khi đó f x f 2 x x2 2x 2, x ¡ 2 2 2 8 f x f 2 x dx x 2x 2 dx 0 0 3 2 4 Suy ra: f x dx 0 3 u x du dx Đặt . dv f x dx v f x 2 2 2 4 10 Do đó xf x dx f x .x f x dx 2 . 0 0 0 3 3 Câu 20. Sân của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm như hình vẽ. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình 4x2 = y4 và 3 4(x - 1) = y2 để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây? A. 506(cm2 ). B. 747(cm2 ). C. 507(cm2 ). D. 746(cm2 ). Lời giải: Cách 1
12. Dễ thấy phần tô đậm gồm bốn phần đối xứng nhau qua 2 trục tọa độ (gốc tọa độ) nên có diện tích bằng nhau. Xét phần tô đậm ở góc phần tư thứ nhất của hệ trục, phần này giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau 3 y = 2x , y = 2 (x - 1) và y = 0 . (Xét theo đơn vị đề-xi-mét). 1 2 é 3 ù Diện tích phần này bằng S = 2xdx + ê 2x - 2 x - 1 údx » 1,87 dm2 . 1 ò ò ê ( ) ú ( ) 0 1 ë û 2 Vậy diện tích toàn bộ phần tô đậm bằng 4.S1.100 = 747(cm ). Cách 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là tâm của viên gạch hình vuông ABCD, cạnh bằng 4 dm . Gọi S là diện tích phần được tô đậm, S1 là diện tích phần đô đậm trong góc phần tư thứ nhất. Khi đó, S1 là phần hình phẳng D1 giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x 2x và y g x 2 x 1 3 và đường thẳng y 0. Có f x g x x 2; f x 0 x 0 ; g x 0 x 1. Diện tích của hình phẳng D1 là 2 2 2 2 3 1 3 2 5 28 S 2xdx 2 x 1 dx 2x 2. x 1 dm2 . 1 0 1 2 0 5 1 15 28 112 2 2 2 Diện tích phần tô đậm là S 4S1 4. dm 7,47 dm 747 cm . 15 15 Câu 21. Giả sử F x x2 là một nguyên hàm của f x sin2 x và G x là một nguyên hàm của 2 2 f x cos x trên khoảng 0; . Biết rằng G 0 , G a b c ln 2 với a , b , c là các số 2 4 hữu tỉ. Tổng a b c bằng 27 11 21 5 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 Lời giải 2 Ta có G x f x cos2 x dx nên f x cos2 x dx G x 2 G G 4 2 4 4
13. 2 2 2 2 Lại có I f x cos2 x dx f x 1 sin2 x dx f x dx f x sin2 x dx 4 4 4 4 2x Mà F x f x sin2 x 2x f x sin2 x f x sin2 x 2 2x 2 2x 2 2 2 2x 3 2 Do đó I dx x2 2 dx dx 2 2 2 sin x 4 sin x 4 16 sin x 16 4 4 4 u 2x 2 2x du 2dx Xét D dx , đặt dx sin2 x v cot x dv 2 4 sin x 2 Suy ra D 2x.cot x 2 2 cot x dx 2x.cot x 2 2ln sin x 2 ln 2 4 4 4 2 4 3 2 1 3 Khi đó I ln 2 a b 2 c ln 2 a , b , c 1. 2 16 2 16 1 3 21 Vậy a b c 1 . 2 16 16 Câu 22. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm, nhận giá trị dương trên (0; + ¥ ) và thoả mãn æ ö 2 2 ç2÷ 2 1 2f ¢(x ) = 9x f (x ) với mọi x Î (0; + ¥ ). Biết f ç ÷= , tính giá trị f èç3ø÷ 3 3 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 12 6 Lời giải Chọn C 2 2xf x 9 f x 9 9 Ta có 2f ¢(x2) = 9x f (x2) x2 x2 f x2 x2 2 f x2 2 2 f x2 2 2 9 3 Do đó f x2 x2dx x3 C . 2 2 æ ö ç2÷ 2 2 3 2 2 Mà f ç ÷= Þ = . . + C Û C = 0 . èç3ø÷ 3 3 2 3 3 3 2 9 6 9 3 1 9 1 1 Suy ra f x .x f x x f . . 4 4 3 4 3 12 Câu 23. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0; . Biết x2 là một nguyên hàm của x2 f ' x trên 0; và f 1 1. Tính f e . A. 2 . B. 3. C. 2e 1.D. e . Lời giải Vì x2 là một nguyên hàm của x2 f ' x trên 0; nên ta có 2 x2 f ' x x2 ' 2x f ' x . x
14. e e 2 e Ta có f ' x dx dx 2ln x 2ln e 2ln1 2 f e f 1 . 1 1 x 1 2 f e 1 f e 2 1 3. Câu 24. Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A 1;1 như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y x2 và y ax3 bx . 1 Tính giá trị ab biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm diện tích mặt sàn. 3 A. 2 . B. 3 .C. 2 . D. 3 . Lời giải Vì đường cong OA có phương trình y ax3 bx đi qua điểm A 1;1 nên a b 1 b 1 a y ax3 1 a x 2 2 Diện tích mặt sàn hình vuông là: SABCD 2 4 m 1 1 Diện tích hình một cánh màu sẫm là: S x2 ax3 1 a x dx x2 ax3 ax x dx 0 0 1 x3 ax4 ax2 x2 1 a a 1 a 1 3 4 2 2 3 4 2 2 4 6 0 1 a 1 Theo đề bài, ta có: 4S SABCD 12S SABCD 12 4 a 2 b 1 3 4 6 Do đó: ab 2. Câu 25. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như trong hình bên. Tích phân 1 f (2x 1) dx bằng 0
15. A. 8.B. 4 .C. 2 .D. 1. Lời giải Chọn B + Dựa vào đồ thị hàm số ta có nhận xét f x 0,x  1;0 và f x 0,x 0;1. 1 + Xét f (2x 1) dx . 0 1 Đặt t 2x 1 dt dx . 2 Đổi cận: 1 1 1 1 0 1 1 0 1 + Khi đó f (2x 1) dx f (t) dt f (t) dt f (t) dt f (t)dt f (t)dt 0 2 1 2 1 0 2 1 0 1 0 1 1 1 f t f t f 0 f 1 f 1 f 0 2 1 3 2 4 2 1 0 2 2 Câu 26. Biết đồ thị C của hàm số f x x4 bx2 c b,c ¡ có điểm cực trị là A 1;0 . Gọi P là parabol có đỉnh I 0; 1 và đi qua điểm B 2;3 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và P thuộc khoảng nào sau đây? A. 3;4 .B. 2;3 . C. 1;2 .D. 0;1 . Lời giải Chọn B Ta có: P là parabol có đỉnh I 0; 1 P : y a x 0 2 1 Mà B 2;3 P nên 3 a 2 0 2 1 a 1 P : y x2 1 f 1 0 1 b c 0 b 2 Ta có: C có điểm cực trị là A 1;0 (kiểm tra lại f 1 0 4 2b 0 c 1 thấy thỏa) C : f x x4 2x2 1
16. Phương trình hoành độ giao điểm của P và C là: x 1 4 2 2 4 2 x 2x 1 x 1 x 3x 2 0 x 2 2 1 1 2 S x4 3x2 2 dx x4 3x2 2 dx x4 3x2 2 dx x4 3x2 2 dx 2 2 1 1 1 1 2 x4 3x2 2 dx x4 3x2 2 dx x4 3x2 2 dx 2,54 2 1 1 Câu 27. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 5t 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m. B. 2m. C. 10m. D. 20m. Lời giải Chọn C Xét phương trình 5t 10 0 t 2. Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tô dừng hẳn. Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là 2 5 2 2 s 5t 10 dt t 10t 10m. 0 2 0 4 2 f (x)dx 16 I f (2x)dx Câu 28. Cho 0 . Tính 0 A. I 32 . B. I 8 . C. I 16 . D. I 4 Lời giải Chọn B dt Đặt t 2x =dx . Đổi cận x 0 t 2 ; x 2 t 4 2 2 1 4 1 4 Khi đó ta có I f (2x)dx f (t)dt f (x)dx 8 0 0 0 2 2 Câu 29. Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.) 8m
17. A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng C. 7.128.000 đồng D. 7.826.000 đồng Lời giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ x2 y2 Giả sử elip có phương trình 1. a2 b2 Từ giả thiết ta có 2a 16 a 8 và 2b 10 b 5 5 y 64 x2 (E ) x2 y2 8 1 Vậy phương trình của elip là 1 64 25 5 y 64 x2 (E ) 8 2 Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường (E1); (E2 ); x 4; x 4 và diện tích 4 5 5 4 của dải vườn là S 2 64 x2 dx 64 x2 dx 4 8 2 0 40 Tính tích phân này bằng phép đổi biến x 8sint , ta được S 20 3 3 40 Khi đó số tiền là T 20 3 .100000 7652891,82 ; 7.653.000 . 3 1 dx 1 e Câu 30. Cho a bln , với a, b là các số hữu tỉ. Tính S a3 b3 . x 0 e 1 2 A. S 2 .B. S 2 .C. S 0 .D. S 1. Lời giải Chọn C Cách 1. Đặt t ex dt exdx . Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t e
18. 1 1 x e e dx e dx dt 1 1 e dt ln t ln t 1 1 ln 1 e ( ln 2) x x x 1 0 e 1 0 e e 1 1 t t 1 1 t t 1 2 1 e a 1 3 3 1 ln 1 ln S a b 0 . 1 e 2 b 1 1 1 x x 1 1 x dx e 1 e d e 1 1 1 1 e Cách 2. dx dx x ln ex 1 1 ln . x x x 0 0 0 e 1 0 e 1 0 0 e 1 2 Suy ra a 1 và b 1. Vậy S a3 b3 0 . Câu 31. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 x 3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x2 2 . 124 A. V 32 2 15 B. V 3 124 C. V D. V (32 2 15) 3 Lời giải Chọn C Diện tích thiết diện là: S(x) 3x. 3x2 2 3 124 Thể tích vật thể là: V 3x. 3x2 2dx 1 3 1 1 Câu 32. Cho hàm số f x thỏa mãn x 1 f x dx 10 và 2 f 1 f 0 2 . Tính f x dx . 0 0 A. I 12 B. I 8 C. I 1 D. I 8 Lời giải Chọn D 1 u x 1 du dx 1 Đặt . Khi đó I x 1 f x f x dx . 0 dv f x dx v f x 0 1 1 Suy ra 10 2 f 1 f 0 f x dx f x dx 10 2 8 0 0 1 Vậy f x dx 8. 0 Câu 33. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 cos x , trục hoành và các đường thẳng x 0, x . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ? 2 A. V 1 B. V ( 1) C. V ( 1) D. V 1 Lời giải. Chọn C. 2 V 2 2 cos x dx 2 2 cos x dx 2x sin x 2 1 0 0 0
19. 6 2 Câu 34. Cho f (x)dx 12 . Tính I f (3x)dx . 0 0 A. I 6 B. I 36 C. I 2 D. I 4 Lời giải. Chọn D. Đặt t 3x dt 3dx x 0 2 t 0 6 6 1 1 6 1 6 I f t . dt f t dt f x dx 4 0 3 3 0 3 0 Câu 35. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) 3 5sin x và f (0) 10 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? A. f (x) 3x 5cos x 5 B. f (x) 3x 5cos x 2 C. f (x) 3x 5cos x 2 D. f (x) 3x 5 cos x 15 Lời giải. Chọn A. f x f x dx 3 5sin x dx 3x 5cos x C Mà f 0 10 5 C 10 C 5. Vậy f x 3x 5cos x 5 Câu 36. Cho F(x) x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . A. f (x)e2x dx x2 2x C B. f (x)e2x dx x2 x C C. f (x)e2x dx 2x2 2x C D. f (x)e2x dx 2x2 2x C Lời giải. Chọn D. Theo đề cho, ta có: f x e2 xdx x2 C 2 x 2 x 2 u e du 2e dx I f x e xdx ? Đặt dv f x dx v f x I f x e2 x 2 f x e2 xdx f x e2 x 2 f x e2 xdx 2x 2 x2 C 2x2 2x C Câu 37. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v km/h phụ thuộc thời gian t h có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I 2;9 và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. A. s 24,25 km B. s 26,75 km C. s 24,75 km D. s 25,25 km
20. Lời giải Chọn C Gọi v t a.t2 bt c. Đồ thị v t là một phần parabol có đỉnh I 2;9 và đi qua điểm A 0;6 nên b 3 2 a 2a 4 2 3 a.2 b.2 c 9 b 3 . Tìm được v t t 2 3t 6 4 2 c 6 a.0 b.0 c 6 3 3 2 Vậy S t 3t 6 dt 24,75 (km) 0 4 Câu 38. Cho F x x 1 ex là một nguyên hàm của hàm số f x e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f x e2x . 2 x A. f x e2xdx 4 2x ex C B. f x e2xdx ex C 2 C. f x e2xdx 2 x ex C D. f x e2xdx x 2 ex C Lời giải Chọn C 2x x 2x x x x Theo đề bài ta có f x .e dx x 1 e C , suy ra f x .e x 1 e e x 1 .e f x e x x 1 .e x x.e x f x 1 x .e x Suy ra K f x e2xdx 1 x exdx 1 x d ex ex 1 x exdx 2 x ex C . Câu 39. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y ex , trục hoành và các đường thẳng x 0 , x 1 . Khối tròn xoay tạo thanh khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 2 2 e2 e 1 e2 1 e 1 A. V . B. V .C. V .D. V . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D. 2 1 1 1 e 1 V e2xdx e2x . 0 2 0 2 1 f (x) Câu 40. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 3x3 x f '(x)ln x . ln x 1 ln x 1 A. f '(x)ln xdx C .B. f '(x)ln xdx . C x3 5x5 x3 5x5 ln x 1 ln x 1 C. f '(x)ln xdx C . D. f '(x)ln xdx C . x3 3x3 x3 3x3 Lời giải Chọn C. 1 3x2 1 f (x) 1 Ta có : F '(x) . f (x) . 3 x6 x4 x x3