Bài tập Toán 12 - Chương III: Nguyên hàm. Phương pháp tọa độ trong không gian - Đậu Khắc Hà

Nội dung tài liệu: Bài tập Toán 12 - Chương III: Nguyên hàm. Phương pháp tọa độ trong không gian - Đậu Khắc Hà

1. Nguyên hàm – Hệ trục tọa độ Oxyz Đậu Khắc Hà CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản u là hàm số theo biến x, *Trường hợp đặc biệt u ax b,0 a tức là u u() x *Nguyên hàm của các hàm số đơn giản dx x C du u C k.. dx k x C , k là hằng k.. du k u C số x 1 u 1 1 (ax b ) 1 x dx C u du C ()..ax b dx C 1 1 a 1 1 1 11 dx ln x C du ln u C dx ln ax b C x u ()ax b a 11 11 dx C dx C x2 x u2 u 1 1 11 dx 2 x C du 2 u C du .2 ax b C x u ax b a *Nguyên hàm của hàm số mũ xx uu 1 e dx e C e du e C eax b dx e ax b C a e xx dx e C e uu du e C x u mx n x a u a 1 a a dx Ca,0 1 a du C amx n dx . C ,m 0 ln a ln a m ln a *Nguyên hàm của hàm số lượng giác 1 cosx . dx sin x C cosu . du sin u C cos(ax b ) dx sin( ax b ) C a 1 sinx . dx cos x C sinu . du cos u C sin(ax b ) dx cos( ax b ) C a 1 1 11 dx tan x C du tan u C dx tan( ax b ) C cos2 x cos2 u cos2 (ax b ) a 1 1 11 dx cot x C du cot u C dx cot g ( ax b ) C sin2 x sin2 u sin2 (ax b ) a Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt *Trường hợp đặc biệt u ax b Ví dụ 1 1 coskx . dx sin kx C cos2x . dx sin 2 x C,(k 2) k 2 1 1 sinkx . dx cos kx C sin 2x . dx cos2 x C k 2 1 1 ekx dx e kx C e22xx dx e C k 2 21 231 (2x 1) 1 (2x 1) . dx . C .( 2 x 1) C 2 2 1 6 Trang 26
2. Đậu Khắc Hà Nguyên hàm – Hệ trục tọa độ Oxyz 11 dx ln 3 x 1 C 31x 3 11 2 du .2 3 x 5 C 3 x 5 C 35x 33 1 e2xx 1 dx e 2 1 C 2 mx n mx n 1 a 1 521x a du . C ,m 0 5.21x dx C m ln a 2 ln5 1 cos(2x 1) dx sin(2 x 1) C 2 111 sin(3x 1) dx dx cos(3 xln 1) ax C b C ()ax b3 a 11 dx tan(2 x 1) C cos2 (2x 1) 2 11 11 dx cot( ax b ) C dx11 cot(3 x 1) C 2 a 2 du3 .2 ax b C sin (ax b ) sin (3x 1)ax b a *Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm1 vế trái hoặc tính bằng eax b dx e ax b C phương pháp đổi biến số đặt u ax b du .?. dx dx .?. du a 1 Ví dụ: Chứng minh cos(ax b ) dx sin( ax b ) C,0a a 1 Giải: Đặt u ax b du ( ax b)'.. dx a dx dx du a 1 1 1 1 Suy ra cos(axbdx ) cos udu . . cos udu . .sin uC sin( axbC ) 1 a acos( aax b ) dx a sin( ax b ) C a 1 sin(ax b ) dx cos( ax b ) C I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chấta 11 dx tan( ax b ) C A/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 2 a Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm và tính chất cos (ax b ) 11x10 a) f ( x ) 2 x9 - kq: F ( x )= x C 2 5 2 3x x2 b) f ( x ) 3x x 1 kq: F ( x ) x C ln3 2 2 c) f ( x ) +3 kq: F ( x ) 2ln x 3 x C x d) f ( x ) 2sin x kq: F ( x ) 2cos x C cos x 1 e) f ( x ) kq: F ( x ) sin x C 3 3 Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số 1 xx323 a. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = lnx C x 32 Trang 27
3. Nguyên hàm – Hệ trục tọa độ Oxyz Đậu Khắc Hà 23x4 2x3 3 b f(x) = ĐS. F(x) = C x2 3 x x 1 1 c. f(x) = ĐS. F(x) = ln x C x2 x (x22 1) x3 1 d. f(x) = ĐS. F(x) = 2xC x2 3 x 354 234x24 x3 x e. f(x) = x 3 x4 x ĐS. F(x) = C 3 4 5 12 3 f. f(x) = ĐS. F(x) = 23x x2 C x 3 x (x 1)2 g. f(x) = ĐS. F(x) = x 4 x ln x C x 52 x 1 h. f(x) = ĐS. F(x) = x33 x C 3 x x6 ifxxx) ( ) 5 3 2 4 kqFx : ( ) xxC 3 4 6 x3 15 jfx) ( ) 5 xx2 2 1 kqFxxxxxC : ( ) 4 3 2 2 83 2 21 k) f ( x ) x6 3 x 5 3 x 2 2 kq : F ( x ) x7 x 6 x 3 2 x C 3 21 2 11 lfx) ( ) (2 xxx 3 2 )( 2 ) 3 x 3 kqFxxxC : ( ) 4 x 2 * HD: nếu gặp hằng đẳng thức thì khai triễn hằng đẳng thức, ví dụ: (a b )2 a 2 2 ab b 2 Bài 3 : Tìm 1 32 a) ( x 2)( x 4) dx kq: F ( x ) x x 8 x C 3 21 3 1 2 3 2 b) ( x 3)( x 1) dx kq: F ( x ) x x x 3 x C 3 2 2 2 32 c) 3( x 3) dx kq: F ( x ) x 9 x 27 x C 2 xx 512 g) dx kq: F ( x ) x 5 x C x 2 32 2xx 5 1 2532 h) dx kq: F ( x ) x x ln x C x 32 32 2xx 5 12 1 g) dx kq: F ( x ) x 5 x C x2 x 2 (x 2) 1 2 h) dx kq: F ( x ) x 4 x 4ln x C x 2 (x 4)2 16 i) dx kq: F ( x ) x 8lnx C x2 x Trang 28
4. Đậu Khắc Hà Nguyên hàm – Hệ trục tọa độ Oxyz Bài 4 Tìm 3 1 7 1 4 a) ( x4 x 2 5) dx kq: F ( x ) x 4 2 x 2 5 x C 7 3 212 2 b) ( x 2 x 4 x 1) dx kq: F ( x ) 2 x x C 2 x 2x x3 1 c) x ( x 2 x )( x 1) dx kq: F ( x ) 2 x C 3 x 1 2 d) (2 x 1)(1 ) dx kq: F ( x ) x ln x x C x Bài 5: Tìm xx xx 2.3 4 a) (2.3 4 ) dx kq: F ( x ) C ln3 ln 4 xx xx 2.a 5 b) (2. a 5 ) dx kq: F ( x ) C lna ln5 x 1 x c) (3 e 5sin x ) dx kq: F ( x ) 3 e 5cos x ln x C x x xxe d) e (2 ) dx kq: F ( x ) 2. e tan x C cxos2 x xx 6 e) 2 .3 dx kq: F()xC ln3 x x2 x x 90 f) 2 .3 .5 dx kq: F ( x ) C ln90 x x x g) e (2 e ) kq: 2 e x C ex ex h) dx kq: C 2x (1 ln 2)2x Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết rằng a) f '( x ) 2 x 1; f (1) 5 kq: f ( x ) x2 x 3 7 x3 b) f '( x ) 2 x2 ; f (2) kq: f ( x ) 2 x 1 33 1 x2 13 c) f '( x ) x 2; f (1) 2 kq: f ( x ) 2x x2 22x 8x x x2 40 d) f '( x ) 4 x x ; f (4) 0 kq: f ( x ) 3 2 3 e) f '( x ) 4 x3 3 x 2 2; f ( 1) 3 kq: f ( x) x 4 x 3 2 x 3 4 3 x4 f) f '( x ) 3 x x3 1; f (1) 2 kq: f (x ) x3 x 44 x3 g) f '( x ) ( x 1)( x 1) 1; f (0) 1 kq: f ( x ) 1 3 h) f '( x ) 3( x 2)23 ; f (0) 8 kq: f ( x ) ( x 2) Trang 29
5. Nguyên hàm – Hệ trục tọa độ Oxyz Đậu Khắc Hà Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết rằng bx2 15 a) f '( x ) ax ; f ( 1) 2, f (1) 4 kq: f ( x ) x2 22x 15xx 53 23 b) f '( x ) ; f (1) 4, f (4) 9 kq: f ( x) 14 7 7 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = f [u(x)].u'(x)dx bằng cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) dt u'(x)dx I = f [u(x)].u'(x)dx f (t)dt Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx 1. (5x 1)dx 2. 3. 5 2xdx 4. (3 2x)5 2x 1 x 5. (2x 2 1)7 xdx 6. (x3 5)4 x 2dx 7. x 2 1.xdx 8. dx x 2 5 2 3 3x dx ln x 2 9. dx 10. 11. dx 12. x.e x 1dx 3 2 5 2x x(1 x) x sin x tgxdx 13. sin 4 xcos xdx 14. dx 15. cot gxdx 16. cos 5 x cos 2 x 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx Hay udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. x.sin xdx 2. xcos xdx 3. (x 2 5)sin xdx 4 (x 2 2x 3)cos xdx 5. xsin 2xdx 6. xcos 2xdx 7. x.e x dx 8. ln xdx ln xdx 9. xln xdx 10. ln 2 xdx 11. 12. e x dx x x 13. dx 14. xtg 2 xdx 15. sin x dx 16. ln(x 2 1)dx cos 2 x 2 17. e x .cos xdx 18. x3e x dx 19. xln(1 x 2 )dx 20. 2 x xdx ln(1 x) 21. xlg xdx 22. 2xln(1 x)dx 23. dx 24. x 2 cos 2xdx x 2 Trang 30
6. Đậu Khắc Hà Nguyên hàm – Hệ trục tọa độ Oxyz CHÖÔNG III PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN I. VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN 1. Ñònh nghóa vaø caùc pheùp toaùn Ñònh nghóa, tính chaát, caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian ñöôïc xaây döïng hoaøn toaøn töông töï nhö trong maët phaúng. Löu yù: + Qui taéc ba ñieåm: Cho ba ñieåm A, B, C baát kyø, ta coù: AB BC AC + Qui taéc hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD, ta coù: AB AD AC + Qui taéc hình hoäp: Cho hình hoäp ABCD.A B C D , ta coù: AB AD AA'' AC + Heâï thöùc trung ñieåm ñoaïn thaúng: Cho I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB, O tuyø yù. Ta coù: IA IB 0 ; OA OB2 OI + Heä thöùc troïng taâm tam giaùc: Cho G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC, O tuyø yù. Ta coù: GA GB GC 0; OA OB OC 3 OG + Heä thöùc troïng taâm töù dieän: Cho G laø troïng taâm cuûa töù dieän ABCD, O tuyø yù. Ta coù: GA GB GC GD 0; OA OB OC OD 4 OG + Ñieàu kieän hai vectô cuøng phöông: a vaø b cuøng phöông( a 0)  ! k R : b ka + Ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k (k 1), O tuyø yù. OA kOB Ta coù: MA kMB; OM 1 k 2. Söï ñoàng phaúng cuûa ba vectô Ba vectô ñöôïc goïi laø ñoàng phaúng neáu caùc giaù cuûa chuùng cuøng song song vôùi moät maët phaúng. Ñieàu kieän ñeå ba vectô ñoàng phaúng: Cho ba vectô a,, b c , trong ñoù a vaø b khoâng cuøng phöông. Khi ñoù: a,, b c ñoàng phaúng ! m, n R: c ma nb Cho ba vectô a,, b c khoâng ñoàng phaúng, x tuyø yù. Khi ñoù: ! m, n, p R: x ma nb pc 3. Tích voâ höôùng cuûa hai vectô Goùc giöõa hai vectô trong khoâng gian: AB u, AC v ( u , v ) BAC (000 BAC 180 ) Tích voâ höôùng cuûa hai vectô trong khoâng gian: + Cho uv,0 . Khi ñoù: u. v u . v .cos( u , v ) + Vôùi u 00 hoaëc v . Qui öôùc: uv.0 + u v u.0 v + uu 2 Trang 31
7. Nguyên hàm – Hệ trục tọa độ Oxyz Đậu Khắc Hà II. HEÄ TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN 1. Heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc trong khoâng gian: Cho ba truïc Ox, Oy, Oz vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät vaø chung moät ñieåm goác O. Goïi i,, j k laø caùc vectô ñôn vò, töông öùng treân caùc truïc Ox, Oy, Oz. Heä ba truïc nhö vaäy goïi laø heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz hoaëc ñôn giaûn laø heä toïa ñoä Oxyz. 2 2 2 Chuù yù: i j k 1 vaø i. j i . k k . j 0 . 2. Toïa ñoä cuûa vectô: a) Ñònh nghóa: u xyz;; u xiyjzk b) Tính chaát: Cho a a1;;,;;, a 2 a 3 b b 1 b 2 b 3 k R a b (;;) a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ka (;;) ka1 ka 2 ka 3 ab 11 a b a22 b ab33 0 (0;0;0),i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1) a cuøng phöông bb( 0) a kb() k R a11 kb aa12a3 a2 kb 2 , ( b 1 , b 2 , b 3 0) b1 b 2 b 3 a33 kb a.... b a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a b a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 2 2 2 2 222 a a1 a 2 a 3 a a1 a 2 a 2 ab. a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 cos(ab , ) (vôùi ab,0 ) 2 2 2 2 2 2 ab. a1 a 2 a 3. b 1 b 2 b 3 3. Toïa ñoä cuûa ñieåm: a) Ñònh nghóa: M(;;)(;;) x y z OM x y z (x : hoaønh ñoä, y : tung ñoä, z : cao ñoä) Chuù yù: M (Oxy) z = 0; M (Oyz) x = 0; M (Oxz) y = 0 M Ox y = z = 0; M Oy x = z = 0; M Oz x = y = 0 b) Tính chaát: Cho A( xAAABBB ; y ; z ), B ( x ; y ; z ) 2 2 2 AB (;;) xBABABA x y y z z AB ()()() xBABABA x y y z z x kx y ky z kz Toaï ñoä ñieåm M chia ñoaïn AB theo tæ soá k (k≠1): M ABABAB;; 1 k 1 k 1 k x x y y z z Toaï ñoä trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng AB: M ABABAB;; 2 2 2 Toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC: x x x y y y z z z G ABCABCABC;; 3 3 3 Toaï ñoä troïng taâm G cuûa töù dieän ABCD: xxxxyyyyzzzz G ABCDABCDABCC;; 4 4 4 Trang 32
8. Đậu Khắc Hà Nguyên hàm – Hệ trục tọa độ Oxyz 4. Tích coù höôùng cuûa hai vectô: (Chöông trình naâng cao) a) Ñònh nghóa: Cho a (,,) a1 a 2 a 3 , b (,,) b1 b 2 b 3 . a2 a 3 a 3 a 1 aa12 abab,;;;;  abababababab23 3231 1312 21 b2 b 3 b 3 b 1 bb12 Chuù yù: Tích coù höôùng cuûa hai vectô laø moät vectô, tích voâ höôùng cuûa hai vectô laø moät soá. b) Tính chaát: i,;,;, j k j k i k i j [,];[,]a b a a b b [a , b ] a . b .sin a , b ab, cuøng phöông [ab , ] 0 c) ÖÙng duïng cuûa tích coù höôùng: Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô: ab, vaø c ñoàng phaúng [a , b ]. c 0 Dieän tích hình bình haønh ABCD: SABCD AB, AD 1 Dieän tích tam giaùc ABC: S ABC AB, AC 2 Theå tích khoái hoäp ABCD.A B C D : VABCD.'''' A B C D [ AB , AD ]. AA ' 1 Theå tích töù dieän ABCD: V [ AB , AC ]. AD ABCD 6 Chuù yù: – Tích voâ höôùng cuûa hai vectô thöôøng söû duïng ñeå chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc, tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng. – Tích coù höôùng cuûa hai vectô thöôøng söû duïng ñeå tính dieän tích tam giaùc; tính theå tích khoái töù dieän, theå tích hình hoäp; chöùng minh caùc vectô ñoàng phaúng – khoâng ñoàng phaúng, chöùng minh caùc vectô cuøng phöông. a b a.0 b a vaø b cuøng phöông  a,0 b a, b , c ñoàng phaúng  a , b . c 0 5. Phöông trình maët caàu: Phöông trình maët caàu (S) taâm I(a; b; c), baùn kính R: ()()()x a2 y b 2 z c 2 R 2 Phöông trình x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 cz d 0 vôùi a2 b 2 c 2 d 0 laø phöông trình maët caàu taâm I(–a; –b; –c) vaø baùn kính R = a2 b 2 c 2 d . VAÁN ÑEÀ 1: Caùc pheùp toaùn veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm – Söû duïng caùc coâng thöùc veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm trong khoâng gian. – Söû duïng caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian. Trang 33
9. Nguyên hàm – Hệ trục tọa độ Oxyz Đậu Khắc Hà Baøi 1. Vieát toïa ñoä cuûa caùc vectô sau ñaây: a 2 i j ; b 78 i k ; ck 9 ; d 3 i 4 j 5 k Baøi 2. Vieát döôùi daïng xi yj zk moãi vectô sau ñaây: 1 41 11 a 0; ;2 ; b (4; 5;0) ; c ;0; ; d ;; 2 3 3 3 5 Baøi 3. Cho: a 2; 5;3 ,, b 0;2; 1 c 1;7;2 . Tìm toaï ñoä cuûa caùc vectô u vôùi: 1 2 a) u 43 a b c b) u a 42 b c c) u 4 b c 2 3 14 32 d) u 35 a b c e) u a b 2 c f) u a b c 23 43 Baøi 4. Tìm toïa ñoä cuûa vectô x , bieát raèng: a) ax 0 vôùi a 1; 2;1 b) a x4 a vôùi a 0; 2;1 c) a 2 x b vôùi a 5;4; 1 , b 2; 5;3 Baøi 5. Cho a (1; 3;4) . a) Tìm y vaø z ñeå b (2; y ; z ) cuøng phöông vôùi a . b) Tìm toaï ñoä cuûa vectô c , bieát raèng acvaø ngöôïc höôùng vaø ca 2 . Baøi 6. Cho ba vectô a 1; 1;1 , b 4;0; 1 , c 3;2; 1 . Tìm: a) a. b c b) a2 b. c c) a2 b b 2 c c 2 a d) 3a 2 a . b b c2 b e) 4a . c b22 5 c Baøi 7. Tính goùc giöõa hai vectô a vaø b : a) ab 4;3;1 , 1;2;3 b) ab 2;5;4 , 6;0; 3 c) ab (2;1; 2), (0; 2; 2) d) ab (3;2;2 3), ( 3;2 3; 1) e) ab ( 4;2;4), (2 2; 2 2;0) f) ab (3; 2;1), (2;1; 1) Baøi 8. Tìm vectô u , bieát raèng: a (2; 1;3), b (1; 3;2), c (3;2; 4) a (2;3; 1), b (1; 2;3), c (2; 1;1) a) b) a. u 5, u . b 11, u . c 20 u a, u  b , u . c 6 a (2;3;1), b (1; 2; 1), c ( 2;4;3) a (5; 3;2), b (1;4; 3), c ( 3;2;4) c) d) a. u 3, b . u 4, c . u 2 a. u 16, b . u 9, c . u 4 a (7;2;3), b (4;3; 5), c (1;1; 1) e) a. u 5, b . u 7, c  u Baøi 9. Cho hai vectô ab, . Tìm m ñeå: ab (2;1; 2), (0; 2; 2) a) u 23 a mb vaø v ma b vuoâng goùc ab (3; 2;1), (2;1; 1) b) u ma 3 b vaø v 3 a 2 mb vuoâng goùc ab (3; 2;1), (2;1; 1) c) u ma 3 b vaø v 3 a 2 mb cuøng phöông Baøi 10. Cho hai vectô ab, . Tính X, Y khi bieát: Trang 34
10. Đậu Khắc Hà Nguyên hàm – Hệ trục tọa độ Oxyz ab 4, 6 a (2; 1; 2), b 6, a b 4 a) b) X a b Y a b a 4, b 6, a , b 1200 a (2; 1; 2), b 6, a , b 600 c) d) X a b, Y a b X a b, Y a b Baøi 11. Cho ba vectô a,, b c . Tìm m, n ñeå c a, b : a) a 3; 1; 2 , b 1;2; m , c 5;1;7 b) a 6; 2; m , b 5; n ; 3 , c 6;33;10 c) a 2;3;1 , b 5;6;4 , c m ; n ;1 VAÁN ÑEÀ 2: Xaùc ñònh ñieåm trong khoâng gian. Chöùng minh tính chaát hình hoïc. Dieän tích – Theå tích. – Söû duïng caùc coâng thöùc veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm trong khoâng gian. – Söû duïng caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian. – Coâng thöùc xaùc ñònh toaï ñoä cuûa caùc ñieåm ñaëc bieät. – Tính chaát hình hoïc cuûa caùc ñieåm ñaëc bieät: A, B, C thaúng haøng AB, AC cuøng phöông AB k AC ABCD laø hình bình haønh AB DC Baøi 1. Cho ñieåm M. Tìm toïa ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm M: Treân caùc maët phaúng toïa ñoä: Oxy, Oxz, Oyz Treân caùc truïc toïa ñoä: Ox, Oy, Oz a) M(1;2;3) b) M(3; 1;2) Baøi 2. Cho ñieåm M. Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm M ñoái xöùng vôùi ñieåm M: Qua goác toaï ñoä Qua mp(Oxy) Qua truïc Oy a) M(1;2;3) Baøi 3. Xeùt tính thaúng haøng cuûa caùc boä ba ñieåm sau: a) ABC(1;3;1), (0;1;2), (0;0;1) b) ABC(1;1;1), ( 4;3;1), ( 9;5;1) Baøi 4. Cho tam giac ABC. Tìm toaï ñoä troïng taâm G cuûa ABC. Xaùc ñònh ñieåm D sao cho ABCD laø hình bình haønh. a) ABC(1;2; 3), (0;3;7), (12;5;0) b) ABC(0;13;21), (11; 23;17), (1;0;19) Baøi 5. Treân truïc Oy (Ox), tìm ñieåm caùch ñeàu hai ñieåm: a) A(3;1;0) , B( 2;4;1) b) AB(1; 2;1), (11;0;7) c) AB(4;1;4), (0;7; 4) Baøi 6. Treân maët phaúng Oxy (Oxz, Oyz), tìm ñieåm caùch ñeàu ba ñieåm: a) ABC(1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1) b) ABC( 3;2;4), (0;0;7), ( 5;3;3) Baøi 7. Cho hai ñieåm A, B. Ñöôøng thaúng AB caét maët phaúng (Oyz) taïi ñieåm M. Tìm toïa ñoä ñieåm M. a) AB 2; 1;7 , 4;5; 2 b) AB(4;3; 2), (2; 1;1) c) AB(10;9;12), ( 20;3;4) Baøi 8. Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D'. Tìm toaï ñoä caùc ñænh coøn laïi. a) ABDC 1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , ' 4;5; 5 b) ABCA(;;253 ),(;;),(;; 100 302 ), '( 312 ; ;) Trang 35
11. Nguyên hàm – Hệ trục tọa độ Oxyz Đậu Khắc Hà VAÁN ÑEÀ 3: Phöông trình maët caàu Ñeå vieát phöông trình maët caàu (S), ta caàn xaùc ñònh taâm I vaø baùn kính R cuûa maët caàu. Daïng 1: (S) coù taâm I(a; b; c) vaø baùn kính R: (S): ()()()x a2 y b 2 z c 2 R 2 Daïng 2: (S) coù taâm I(a; b; c) vaø ñi qua ñieåm A: Khi ñoù baùn kính R = IA. Daïng 3: (S) nhaän ñoaïn thaúng AB cho tröôùc laøm ñöôøng kính: x x y y z z – Taâm I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB: x ABABAB;; y z . III2 2 2 AB – Baùn kính R = IA = . 2 Daïng 4: (S) ñi qua boán ñieåm A, B, C, D (maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD): – Giaû söû phöông trình maët caàu (S) coù daïng: x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 cz d 0 (*). – Thay laàn löôït toaï ñoä cuûa caùc ñieåm A, B, C, D vaøo (*), ta ñöôïc 4 phöông trình. – Giaûi heä phöông trình ñoù, ta tìm ñöôïc a, b, c, d Phöông trình maët caàu (S). Daïng 5: (S) ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm I naèm treân maët phaúng (P) cho tröôùc: Giaûi töông töï nhö daïng 4. Daïng 6: (S) coù taâm I vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (T) cho tröôùc: – Xaùc ñònh taâm J vaø baùn kính R cuûa maët caàu (T). – Söû duïng ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa hai maët caàu ñeå tính baùn kính R cuûa maët caàu (S). (Xeùt hai tröôøng hôïp tieáp xuùc trong vaø tieáp xuùc ngoaøi) Chuù yù: Vôùi phöông trình maët caàu (S): x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 cz d 0 vôùi a2 b 2 c 2 d 0 thì (S) coù taâm I(–a; –b; –c) vaø baùn kính R = a2 b 2 c 2 d . Baøi 1. Tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc maët caàu sau: a) x2 y 2 z 2 8 x 2 y 1 0 b) x2 y 2 z 2 4 x 8 y 2 z 4 0 c) x2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 0 d) x2 y 2 z 2 6 x 4 y 2 z 86 0 e) x2 y 2 z 2 12 x 4 y 6 z 24 0 f) x2 y 2 z 2 6 x 12 y 12 z 72 0 g) x2 y 2 z 2 8 x 4 y 2 z 4 0 h) x2 y 2 z 2 3 x 4 y 0 i) 3x2 3 y 2 3 z 2 6 x 3 y 15 z 2 0 k) x2 y 2 z 2 6 x 2 y 2 z 10 0 Baøi 2. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm I vaø baùn kính R: a) IR(1; 3;5), 3 b) IR(5; 3;7), 2 c) IR(1; 3;2), 5 d) IR(2;4; 3), 3 Baøi 3. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm I vaø ñi qua ñieåm A: a) IA(2;4; 1), (5;2;3) b) IA(0;3; 2), (0;0;0) c) IA(3; 2;1), (2;1; 3) d) IA(4; 4; 2), (0;0;0) e) IA(4; 1;2), (1; 2; 4) Baøi 4. Vieát phöông trình maët caàu coù ñöôøng kính AB, vôùi: a) AB(2;4; 1), (5;2;3) b) AB(0;3; 2), (2;4; 1) c) AB(3; 2;1), (2;1; 3) d) AB(4; 3; 3), (2;1;5) e) AB(2; 3;5), (4;1; 3) f) AB(6;2; 5), ( 4;0;7) Baøi 5. Vieát phöông trình maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD, vôùi: a) ABCD 1;1;0 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;1;1 b) ABCD 2;0;0 , 0;4;0 , 0;0;6 , 2;4;6 Trang 36
12. Đậu Khắc Hà Nguyên hàm – Hệ trục tọa độ Oxyz Baøi 6. Vieát phöông trình maët caàu ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm naèm trong maët phaúng (P) cho tröôùc, vôùi: ABC(1;2;0), ( 1;1;3), (2;0; 1) ABC(2;0;1), (1;3;2), (3;2;0) a) b) ()()P Oxz ()()P Oxy Baøi 7. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù taâm I vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (T), vôùi: I( 5;1;1) I( 3;2;2) a) 2 2 2 b) 2 2 2 (T ) : x y z 2 x 4 y 6 z 5 0 (T ) : x y z 2 x 4 y 8 z 5 0 Trang 37