Chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 12 - Phần: Hình học phẳng

Nội dung tài liệu: Chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 12 - Phần: Hình học phẳng

1. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng Đ1. PHƯƠNG TRèNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG A. TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Vectơ phỏp tuyến và phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng : r r a. Định nghĩa : Cho đường thẳng D . Vectơ n ạ 0 gọi là vectơ phỏp tuyến (VTPT) của D r nếu giỏ của n vuụng gúc với D . Nhận xột : r r - Nếu n là VTPT của D thỡ kn(k ạ 0) cũng là VTPT của D . b. Phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng r Cho đường thẳng D đi qua M0 (x0 ; y0 ) và cú VTPT n = (a;b). uuuuur r uuuuur r Khi đú M(x; y) ẻ D Û MM0 ^ n Û MM0 .n = 0 Û a(x- x0 )+ b(y- y0 ) = 0 Û ax + by + c = 0 (c = - ax0 - by0 ) (1) (1) gọi là phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng D . Chỳ ý : r - Nếu đường thẳng D : ax + by + c = 0 thỡ n = (a;b) là VTPT của D . c) Cỏc dạng đặc biệt của phương trỡnh tổng quỏt • D song song hoặc trựng với trục Ox Û D : by + c = 0 • D song song hoặc trựng với trục Oy Û D : ax + c = 0 • D đi qua gốc tọa độ Û D : ax + by = 0 x y • D đi qua hai điểm A(a;0), B(0;b)Û D : + = 1 với (ab ạ 0) a b • Phương trỡnh đường thẳng cú hệ số gúc k là y = kx + m với k = tana , a là gúc hợp bởi tia Mt của D ở phớa trờn trục Ox và tia Mx 2. Vị trớ tương đối của hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = 0; d2 : a2x + b2 y + c2 = 0
2. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng a1 b1 • d1 cắt d2 khi và chỉ khi ạ 0 a2 b2 a1 b1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 • d1 / /d2 khi và chỉ khi = 0 và ạ 0 , hoặc = 0 và ạ 0 a2 b2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 a1 b1 b1 c1 c1 a1 • d1 º d2 khi và chỉ khi = = = 0 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Chỳ ý: Với trường hợp a2 .b2 .c2 ạ 0 khi đú a a + Nếu 1 ạ 2 thỡ hai đường thẳng cắt nhau. b1 b2 a a c + Nếu 1 = 2 ạ 1 thỡ hai đường thẳng song song nhau. b1 b2 c2 a a c + Nếu 1 = 2 = 1 thỡ hai đường thẳng trựng nhau. b1 b2 c2 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1: Viết phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng. 1. Phương phỏp giải: • Để viết phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng D ta cần xỏc định - Điểm A(x0 ; y0 ) ẻ D r - Một vectơ phỏp tuyến n(a;b) của D Khi đú phương trỡnh tổng quỏt của D là a(x- x0 )+ b(y- y0 )= 0 Chỳ ý: o Đường thẳng D cú phương trỡnh tổng quỏt là ax + by + c = 0, a2 + b2 ạ 0 nhận r n(a;b) làm vectơ phỏp tuyến. o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thỡ VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia. o Phương trỡnh đường thẳng D qua điểm M(x0 ; y0 ) cú dạng
3. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng 2 2 D : a(x- x0 )+ b(y- y0 )= 0 với a + b ạ 0 hoặc ta chia làm hai trường hợp + x = x0 : nếu đường thẳng song song với trục Oy + y- y0 = k(x- x0 ) : nếu đường thẳng cắt trục Oy x y o Phương trỡnh đường thẳng đi qua A(a;0),B(0;b) với ab ạ 0 cú dạng + = 1 a b Vớ dụ 1: Cho tam giỏc ABC biết A(2;0), B(0; 4), C(1; 3) . Viết phương trỡnh tổng quỏt của a) Đường cao AH A. x- 2y- 2 = 0 B. x- y- 3 = 0 C. x- y- 4 = 0 D. x- y- 2 = 0 b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC . A. x- y + 6 = 0 B. x- y + 3 = 0 C. x- y + 5 = 0 D. x- y + 4 = 0 c) Đường thẳng AB . A. 2x + y- 14 = 0 B. 2x + y- 3 = 0 C. 2x + y- 5 = 0 D. 2x + y- 4 = 0 d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB . A. 2x + y- 5 = 0 B. 2x + y- 4 = 0 C. 2x + y- 6 = 0 D. 2x + y- 7 = 0 Lời giải: uuur a) Vỡ AH ^ BC nờn BC là vectơ phỏp tuyến của AH uuur uuur Ta cú BC(1;- 1) suy ra đường cao AH đi qua A và nhận BC là vectơ phỏp tuyến cú phương trỡnh tổng quỏt là 1.(x- 2)- 1.(y- 0)= 0 hay x- y- 2 = 0 . uuur b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận vectơ BC làm vectơ phỏp tuyến.
4. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng x + x 1 y + y 7 ổ1 7ử Gọi I là trung điểm BC khi đú x = B C = , y = B C = ị Iỗ ; ữ I 2 2 I 2 2 ốỗ2 2ứữ ổ 1ử ổ 7ử Suy ra phương trỡnh tổng quỏt của đường trung trực BC là 1.ỗx- ữ- 1.ỗy- ữ= 0 hay ốỗ 2ứữ ốỗ 2ứữ x- y + 3 = 0 x y c) Phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng AB cú dạng + = 1 hay 2x + y- 4 = 0 . 2 4 r d) Cỏch 1: Đường thẳng AB cú VTPT là n(2;1) do đú vỡ đường thẳng cần tỡm song song r với đường thẳng AB nờn nhận n(2;1) làm VTPT do đú cú phương trỡnh tổng quỏt là 2.(x- 1)+ 1.(y- 3)= 0 hay 2x + y- 5 = 0 . Cỏch 2: Đường thẳng D song song với đường thẳng AB cú dạng 2x + y + c = 0 . Điểm C thuộc D suy ra 2.1+ 3+ c = 0 ị c = - 5 . Vậy đường thẳng cần tỡm cú phương trỡnh tổng quỏt là 2x + y- 5 = 0 . Vớ dụ 2: Cho đường thẳng d : x- 2y + 3 = 0 và điểm M(- 1; 2). Viết phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng D biết: a) D đi qua điểm M và cú hệ số gúc k = 3 A. 3x- y + 6 = 0 B. 3x- y + 7 = 0 C. 3x- y + 5 = 0 D. 3x- y + 4 = 0 b) D đi qua M và vuụng gúc với đường thẳng d A. 2x + y + 4 = 0 B. 2x + y + 3 = 0 C. 2x + y + 2 = 0 D. 2x + y + 1= 0 c) D đối xứng với đường thẳng d qua M A. x- 2y + 4 = 0 B. x- 2y + 5 = 0 C. 2x- 2y + 7 = 0 D. x- 2y + 7 = 0 Lời giải: a) Đường thẳng D cú hệ số gúc k = 3 cú phương trỡnh dạng y = 3x + m . Mặt khỏc M ẻ D ị 2 = 3.(- 1)+ m ị m = 5
5. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng Suy ra phương trỡnh tổng quỏt đường thẳng D là y = 3x + 5 hay 3x- y + 5 = 0 . 1 3 1 b) Ta cú x- 2y + 3 = 0 Û y = x + do đú hệ số gúc của đường thẳng d là k = . 2 2 d 2 Vỡ D ^ d nờn hệ số gúc của D là kD thỡ F1F2 = 2c(c > 0) Do đú a > c , MF1 + MF2 = 2a Suy ra phương trỡnh tổng quỏt đường thẳng F1 , F2 là F1F2 = 2c hay 2x + y + 2 = 0 . x2 y2 c) Cỏch 1: Ta cú F (- c;0), F (c;0) do đú M(x; y)ẻ (E)Û + = 1 (1) vỡ vậy đường 1 2 a2 b2 2 2 2 thẳng b = a - c đối xứng với đường thẳng F1 (- c;0) qua M sẽ song song với đường thẳng A1 (- a;0), A2 (a;0), B1 (0;- b), B2 (0;b) suy ra đường thẳng A1A2 = 2a cú VTPT là B1B2 = 2b . Ta cú A(1; 2)ẻ d , gọi A' đối xứng với M(xM ; yM ) qua c c MF = a + ex = a + x , MF = a- ex = a- x khi đú a,b 1 M a M 2 M a M Ta cú M là trung điểm của AA' . ùỡ x + x ù = A A' ù xM ùỡ = - = - - = - ù ù xA' 2xM xA 2.( 1) 1 3 ị ớù 2 ị ớ ị A'(- 3; 2) ù y + y ù y = 2y - y = 2.2- 2 = 2 ù y = A A' ợù A' M A ợù M 2 Vậy phương trỡnh tổng quỏt đường thẳng D là 1.(x + 3)- 2(y- 2)= 0 hay x- 2y + 7 = 0 . Cỏch 2: Gọi A(x0 ; y0 ) là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d , A'(x; y) là điểm đối xứng với A qua M . ùỡ x + x ùỡ x + x ù x = 0 ù - 1= 0 ù M ù ùỡ x = - 2- x Khi đú M là trung điểm của AA' suy ra ớù 2 Û ớù 2 Û ớù 0 ù y + y ù y + y ù y = 4- y ù y = 0 ù 2 = 0 ợù 0 ợù M 2 ợù 2
6. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng Ta cú A ẻ d ị x0 - 2y0 + 3 = 0 suy ra (- 2- x)- 2.(4- y)+ 3 = 0 Û x- 2y + 7 = 0 Vậy phương trỡnh tổng quỏt của D đối xứng với đường thẳng d qua M là x- 2y + 7 = 0 . Vớ dụ 3: Biết hai cạnh của một hỡnh bỡnh hành cú phương trỡnh x- y = 0 và x + 3y- 8 = 0 , tọa độ một đỉnh của hỡnh bỡnh hành là (- 2; 2). Viết phương trỡnh cỏc cạnh cũn lại của hỡnh bỡnh hành. A. x- y + 4 = 0 B. x + 3y- 3 = 0 C. x + 3y- 2 = 0 D. x- y- 1= 0 Lời giải: Đặt tờn hỡnh bỡnh hành là ABCD với A(- 2; 2), do tọa độ điểm A khụng là nghiệm của hai phương trỡnh đường thẳng trờn nờn ta giả sử BC : x- y = 0 , CD : x + 3y- 8 = 0 uuur Vỡ AB / /CD nờn cạnh AB nhận nCD (1; 3) làm VTPT do đú cú phương trỡnh là 1.(x + 2)+ 3.(y- 2)= 0 hay x + 3y- 4 = 0 x2 y2 Tương tự cạnh AD nhận + = 1(a > b > 0) làm VTPT do đú cú phương trỡnh là a2 b2 1.(x + 2)- 1.(y- 2)= 0 hay x- y + 4 = 0 Vớ dụ 4: Cho điểm M(1; 4). Viết phương trỡnh đường thẳng qua M lần lượt cắt hai tia x2 y2 + = 1, tia (0; 5) tại A và B sao cho tam giỏc b = 5 cú diện tớch nhỏ nhất . 9 5 A. 4x + y- 6 = 0 B. 4x + y- 2 = 0 C. 4x + y- 4 = 0 D. 4x + y- 8 = 0 Lời giải: ổ ử ỗ4 10 ữ Giả sử A(a;0), B(0;b) với Mỗ ;- 1ữ. Khi đú đường thẳng đi qua A, B cú dạng ốỗ 5 ứữ 160 1 x2 y2 + = 1ị a2 = 8 . Do + = 1 nờn F (- 3;0) 25a2 5 8 5 1
7. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng 1 1 Mặt khỏc S = OA.OB = ab . OAB 2 2 Áp dụng BĐT Cụsi ta cú a2 = b2 + c2 = b2 + 3 4 33 1 528 1 4 1 4 Suy ra M(1; ) ẻ (E) ị + = 1 nhỏ nhất khi = và + = 1 do đú 5 a2 25b2 a b a b a = 2;b = 8 x y Vậy phương trỡnh đường thẳng cần tỡm là + = 1 hay 4x + y- 8 = 0 2 8  DẠNG 2: Xột vị trớ tương đối của hai đường thẳng. 1. Phương phỏp giải: Để xột vị trớ tương đối của hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = 0; d2 : a2x + b2 y + c2 = 0 . ùỡ a x + b y + c = 0 Ta xột hệ ớù 1 1 1 (I) ù + + = ợù a2x b2 y c2 0 + Hệ (I) vụ nghiệm suy ra d1 / /d2 . + Hệ (I) vụ số nghiệm suy ra d1 º d2 + Hệ (I) cú nghiệm duy nhất suy ra d1 và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm. Chỳ ý: Với trường hợp a2 .b2 .c2 ạ 0 khi đú a b + Nếu 1 ạ 1 thỡ hai đường thẳng cắt nhau. a2 b2 a b c + Nếu 1 = 1 ạ 1 thỡ hai đường thẳng song song nhau. a2 b2 c2 a b c + Nếu 1 = 1 = 1 thỡ hai đường thẳng trựng nhau. a2 b2 c2 2. Cỏc vớ dụ:
8. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng Vớ dụ 1: Xột vị trớ tương đối cỏc cặp đường thẳng sau a) D 1 : x + y- 2 = 0; D 2 : 2x + y- 3 = 0 A. D 1 cắt D 2 B. D 1 trựng D 2 C. D 1 / /D 2 D. Khụng xỏc định được b) D 1 :- x- 2y + 5 = 0; D 2 : 2x + 4y- 10 = 0 A. D 1 cắt D 2 B. D 1 trựng D 2 C. D 1 / /D 2 D. Khụng xỏc định được c) D 1 : 2x- 3y + 5 = 0; D 2 : x- 5 = 0 A. D 1 cắt D 2 B. D 1 trựng D 2 C. D 1 / /D 2 D. Khụng xỏc định được d) D 1 : 2x + 3y + 4 = 0; D 2 :- 4x- 6y = 0 A. D 1 cắt D 2 B. D 1 trựng D 2 C. D 1 / /D 2 D. Khụng xỏc định được Lời giải: 1 1 a) Ta cú ạ suy ra D cắt D 2 1 1 2 - 1 - 2 5 b) Ta cú = = suy ra D trựng D 2 4 - 10 1 2 1 0 c) Ta cú ạ suy ra D cắt D 2 - 3 1 2 - 4 - 6 0 d) Ta cú = ạ suy ra D / /D 2 3 4 1 2
9. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng 2 2 3x xM ( M ) 2 5 Vớ dụ 2: Cho tam giỏc + = 1 Û 26xM = 25 Û xM = ± cú phương trỡnh cỏc 25 9 26 ổ 5 15 ử đường thẳng M ỗ ; ữ là 1 ỗ ữ ốỗ 26 26 ứữ AB : 2x- y + 2 = 0 ; BC : 3x + 2y + 1= 0 ; CA : 3x + y + 3 = 0 . Xỏc định vị trớ tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng D : 3x- y- 2 = 0 A. cắtB. trựng C. Song song D. Khụng xỏc định được Lời giải: Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ a = 5, b = 3,c = a2 - b2 = 4 c 4 Ta xỏc định được hai điểm thuộc đường thẳng BC là MF = a + x = 5+ x 1 a M 5 M c 4 Đường cao kẻ từ đỉnh A vuụng gúc với BC nờn nhận vectơ MF = a- x = 5- x 2 a M 5 M làm vectơ phỏp tuyến nờn cú phương trỡnh là 2(x + 1)- 3y = 0 hay 4 ổ 4 ử 5+ x = 2ỗ5- x ữ 5 M ốỗ 5 M ứữ 25 Ta cú Û x = suy ra hai đường thẳng cắt nhau. M 12 25 y2 119 ổ25 119 ữử + M = Û = ± ỗ ữ Vớ dụ 3: Cho hai đường thẳng 1 yM và M1 ỗ ; ữ. 144 9 4 ốỗ12 4 ứữ a) Xỏc định vị trớ tương đối và xỏc định giao điểm (nếu cú) của D 1 và uuuur uuuur F1 (- 4;0), F2 (4;0)ị MF1 (xM + 4; yM ), MF2 (xM - 4; yM ) trong cỏc trường hợp ã 0 F1MF2 = 60 A. D 1 cắt D 2 B. D 1 trựng D 2
10. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng C. D 1 / /D 2 D. Khụng xỏc định được uuuur uuuur MF .MF x2 + y2 - 16 b) Tỡm cos600 = uuuur1 uuu2ur = M M để hai đường thẳng song song với ổ ửổ ử MF . MF ỗ 4 ữỗ 4 ữ 1 2 ỗ5+ x ữỗ5- x ữ ốỗ 5 M ứữốỗ 5 M ứữ nhau. A. m = 2 B. m = 5 C. m = 4 D. m = 3 Lời giải: 1 ổ 16 ử x2 57 y2 a) Với Û x2 + y2 - 16 = ỗ25- x2 ữ xột hệ M = - M suy ra M M 2 ốỗ 25 M ứữ 25 66 33 57 y2 y 2 3 3 5 13 ổ5 13 3 3 ữử - M + M = ị = ± = ± ỗ ữ 1 yM cắt xM tại điểm cú tọa độ M1 ỗ ; ữ 66 33 9 4 4 ốỗ 4 4 ứữ ổ 5 13 3 3 ữử ổ5 13 3 3 ữử ổ 5 13 3 3 ữử ỗ- ữ ỗ - ữ ỗ- - ữ D Với M2 ỗ ; ữ, M3 ỗ ; ữ xột hệ M4 ỗ ; ữ suy ra 1 cắt ốỗ 4 4 ứữ ốỗ 4 4 ứữ ốỗ 4 4 ứữ r n(- 1;1) tại gốc tọa độ 1 1 - xM + yM 1 b) Với - x + y = 0 hoặc SOAM = OA.d(M;OA)= 2 = - xM + yM theo 2 2 2 2 cõu a hai đường thẳng cắt nhau nờn khụng thỏa món 1 x y 1 ổx 2 y 2 ử 34 = - M + M Ê ỗ M + M ữ= ạ Với SOAM 5. 3. .34.ỗ ữ và m 1 hai đường thẳng song 2 5 3 2 ốỗ 25 9 ứữ 2 song khi và chỉ khi m- 3 2 m2 - 1 = ạ Û = 2 m 2 - 1 m (m- 1) ỡ ù 25 ù xM = - ù 34 Vậy với ớù thỡ hai đường thẳng song song với nhau. ù 9 ù y = ù M ợù 34
11. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng ổ25 9 ử Vớ dụ 4: Cho tam giỏc M ỗ ;- ữ, tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc trong trường 1 ỗ ữ ốỗ 34 34 ứữ hợp sau a) Biết A(2; 2) và hai đường cao cú phương trỡnh d1 : x + y- 2 = 0 ; d2 : 9x- 3y + 4 = 0 . ổ 13ử ổ 22ử A. B(- 2; 4) và Cỗ1; ữ B. B(0; 2) và Cỗ2; ữ ốỗ 3 ứữ ốỗ 3 ứữ ổ ử ổ ử ỗ2 4 3 ữ ỗ 31ữ C. B(- 1; 3) và Bỗ ; ữ D. B(1;1) và Cỗ3; ữ ốỗ7 7 ứữ ốỗ 3 ứữ b) Biết A(4;- 1) , phương trỡnh đường cao kẻ từ B là A,B ; phương trỡnh trung tuyến đi qua đỉnh C là ABC ổ 2ử ổ 2ử ổ 4ử A. Bỗ1; ữ và Cỗ1;- ữ.B. Bỗ2; ữ và C(6;- 4). ốỗ 3ứữ ốỗ 3ứữ ốỗ 3ứữ ổ1 1ử ổ 4ử x2 y2 ỗ ữ ỗ - ữ + = > > - C. Bỗ ; ữ và Cỗ2; ữ.D. 2 2 1(a b 0) và C(6; 4). ốỗ2 3ứữ ốỗ 3ứữ a b Lời giải: a) Tọa độ điểm A khụng là nghiệm của phương trỡnh A(x0 ; y0 ) suy ra A,B nờn ta cú thể giả sử B ẻ d1 , C ẻ d2 x2 y2 x2 Ta cú AB đi qua A và vuụng gúc với A ẻ (E) nờn nhận 0 + 0 = 1 Û y2 = 1- 0 làm 4 1 0 4 VTPT nờn cú phương trỡnh là 2 2 2 2 2 2 2 ABC hay AB = AC ị (- 2y0 ) = (2- x0 ) + (- y0 ) ; AC đi qua Û 3y0 = 4- 4x0 + x0 và ộx = 2 ổ x2 ử ờ 0 ỗ - 0 ữ= - + 2 Û 2 - + = Û ờ = vuụng gúc với 3ỗ1 ữ 4 4x0 x0 7x0 16x0 4 0 2 nờn nhận x0 2 ốỗ 4 ứữ ờx = ởờ 0 7 làm VTPT nờn cú phương trỡnh là y0 = 0 hay A º C
12. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng 2 B là giao điểm của x = và AB suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ 0 7 4 3 y = ± 0 7 ổ ử ỗ2 4 3 ữ Tương tự tọa độ C là nghiệm của hệ Aỗ ; ữ ốỗ7 7 ứữ ổ ử ỗ2 4 3 ữ Vậy A(2; 2), B(- 1; 3) và Bỗ ; ữ ốỗ7 7 ứữ 2 2 b) Ta cú AC đi qua Oxy và vuụng gúc với 9x + 25y = 225 nờn nhận F1 làm VTPT nờn cú phương trỡnh là 3(x- 4)+ 2(y + 1)= 0 hay 3x + 2y- 10 = 0 ùỡ 3x + 2y- 10 = 0 ùỡ x = 6 Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ ớù Û ớù ị C(6;- 4) ợù 2x + 3y = 0 ợù y = - 4 Giả sử B(xB ; yB ) suy ra trung điểm A(0; 3) của AB thuộc đường thẳng B, C do đú x2 y2 (E): + = 1 hay 2x + 3y + 5 = 0 (1) 9 3 B B Mặt khỏc B ẻ D suy ra 2xB - 3yB = 0 (2) ổ 5 5ử Từ (1) và (2) suy ra Bỗ- ;- ữ ốỗ 4 6ứữ x2 y2 Vậy A(4;- 1) , + = 1(a > b > 0) và C(6;- 4). a2 b2 Đ2. PHƯƠNG TRèNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương và phương trỡnh tham số của đường thẳng : a. Định nghĩa vectơ chỉ phương :
13. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng r r Cho đường thẳng D . Vectơ u ạ 0 gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng D nếu giỏ của nú song song hoặc trựng với D . Nhận xột : r r - Nếu u là VTCP của D thỡ ku(k ạ 0) cũng là VTCP của D . r r - VTPT và VTCP vuụng gúc với nhau. Do vậy nếu D cú VTCP u = (a;b) thỡ n = (- b; a) là một VTPT của D . b. Phương trỡnh tham số của đường thẳng : r Cho đường thẳng D đi qua M0 (x0 ; y0 ) và u = (a;b) là VTCP. uuuuur r ùỡ x = x + at Khi đú M(x; y) ẻ D . Û MM = tu Û ớù 0 t ẻ R . (1) 0 ù = + ợù y y0 bt Hệ (1) gọi là phương trỡnh tham số của đường thẳng D , t gọi là tham số Nhận xột : Nếu D cú phương trỡnh tham số là (1) khi đú A ẻ D Û A(x0 + at; y0 + bt) 2. Phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng. r Cho đường thẳng D đi qua M0 (x0 ; y0 ) và u = (a;b) (với a ạ 0, b ạ 0 ) là vectơ chỉ x- x y- y phương thỡ phương trỡnh 0 = 0 được gọi là phương trỡnh chớnh tắc của đường a b thẳng D . B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1: Viết phương trỡnh tham số và chớnh tắc của đường thẳng. 1. Phương phỏp giải: 13 • Để viết phương trỡnh tham số của đường thẳng ta cần xỏc định 3 - Điểm A(x0 ; y0 ) ẻ D r - Một vectơ chỉ phương u(a;b) của D
14. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng x2 y2 Khi đú phương trỡnh tham số của D là - = 1 . a2 b2 • Để viết phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng b2 = c2 - a2 ta cần xỏc định - Điểm A(x0 ; y0 ) ẻ D r - Một vectơ chỉ phương u(a;b), ab ạ 0 của D Phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng 2b = 28 ị b2 = 7, a2 = c2 - b2 = 9 là x2 y2 - = 1 9 7 (trường hợp 2c = 10 ị a2 + b2 = 25 thỡ đường thẳng khụng cú phương trỡnh chớnh tắc) Chỳ ý: o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thỡ chỳng cú cựng VTCP và VTPT. o Hai đường thẳng vuụng gúc với nhau thỡ VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại 4 b 4 16 o Nếu y = ± x cú VTCP = thỡ b2 = a2 là một VTPT của 3 a 3 9 16 a2 + a2 = 25 Û a2 = 9 ị b2 = 16 . 9 2. Cỏc vớ dụ: x2 y2 13 Vớ dụ 1: Cho điểm - = 1 và . Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng 9 16 3 trong mỗi trường hợp sau: c 13 a2 + b2 13 r a) = Û = đi qua A và nhận vectơ n(1; 2) làm vectơ phỏp tuyến a 3 a 3 ùỡ x = - 2- 2t ùỡ x = 1- 1t A. D :ớù B. D :ớù ợù y = 3+ t ợù y = - 3+ 2t ùỡ x = 1- 2t ùỡ x = 1- 2t C. D :ớù D. D :ớù ợù y = - 3- t ợù y = - 3+ t
15. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng b) D đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB ùỡ x = 1- t ùỡ x = - 2t ùỡ x = - 4t ùỡ x = - t A. D :ớù B. D :ớù C. D :ớù D. D :ớù ợù y = 2t ợù y = 2t ợù y = 2t ợù y = 2t c) D là đường trung trực của đoạn thẳng AB ùỡ 1 ùỡ 1 ù x = - - 2t ù x = - - t A. D :ớ 2 B. D :ớ 2 ù ù ợù y = 2t ợù y = 1+ 2t ùỡ 1 ùỡ 1 ù x = - - t ù x = - - t C. D :ớ 2 D. D :ớ 2 ù ù ợù y = 3+ 2t ợù y = 2t Lời giải: r r a) Vỡ D nhận vectơ n(1; 2) làm vectơ phỏp tuyến nờn VTCP của D là u(- 2;1). ùỡ x = 1- 2t Vậy phương trỡnh tham số của đường thẳng D là D :ớù ợù y = - 3+ t uuur r b) Ta cú AB(- 3;6) mà D song song với đường thẳng AB nờn nhận u(- 1; 2) làm VTCP ùỡ x = - t Vậy phương trỡnh tham số của đường thẳng D là D :ớù ợù y = 2t uuur c) Vỡ D là đường trung trực của đoạn thẳng AB nờn nhận AB(- 3;6) làm VTPT và đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB . ổ 1 ử r Ta cú Iỗ- ;0ữ và D nhận u(- 1; 2) làm VTCP nờn phương trỡnh tham số của đường ốỗ 2 ứữ ùỡ 1 ù x = - - t thẳng D là D :ớ 2 . ù ợù y = 2t Vớ dụ 2: Viết phương trỡnh tổng quỏt, tham số, chớnh tắc (nếu cú) của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
16. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng a) đi qua điểm A(3;0) và B(1; 3) A. 3x + 2y- 6 = 0 B. 3x + 2y- 7 = 0 C. 3x + 2y- 9 = 0 D. 3x + 2y- 8 = 0 ùỡ x = 1- 3t b) đi qua N(3; 4) và vuụng gúc với đường thẳng d' :ớù . ợù y = 4 + 5t x- 3 y + 4 x + 3 y- 4 x + 3 y- 4 x- 3 y- 4 A. = B. = C. = D. = 5 - 3 - 5 - 3 5 - 3 - 5 - 3 Lời giải: uuur a) Đường thẳng đi qua hai điểm A và B nờn nhận AB = (- 2; 3) làm vectơ chỉ phương do đú ùỡ x = 3- 2t x- 3 y phương trỡnh tham số là ớù ; phương trỡnh chớnh tắc là = ; phương trỡnh ợù y = 3t - 2 3 tổng quỏt là 3(x- 3)= - 2y hay 3x + 2y- 9 = 0 r b) D ^ d' nờn VTCP của d' cũng là VTPT của D nờn đường thẳng D nhận u(- 3; 5) r làm VTPT và v(- 5;- 3) làm VTCP do đú đú phương trỡnh tổng quỏt là ùỡ x = 3- 5t - 3(x- 3)+ 5(y- 4)= 0 hay 3x- 5y + 11= 0 ; phương trỡnh tham số là ớù ; ợù y = 4- 3t x- 3 y- 4 phương trỡnh chớnh tắc là = - 5 - 3 Vớ dụ 3: Cho tam giỏc ABC cú A(- 2;1), B(2; 3) và C(1;- 5). a) Viết phương trỡnh đường thẳng chứa cạnh BC của tam giỏc. ùỡ x = 2- 3t ùỡ x = 2- 4t ùỡ x = 2- t ùỡ x = 2- t A. ớù B. ớù C. ớù D. ớù ợù y = 3- 8t ợù y = 3- 8t ợù y = 3- 2t ợù y = 3- 8t b) Viết phương trỡnh đường thẳng chứa đường trung tuyến AM.
17. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng ùỡ 7 ùỡ 7 ùỡ 7 ùỡ 7 ù x = - 3+ t ù x = - 2- t ù x = - 2 + t ù x = - 2 + t A. ớ 2 B. ớ 2 C. ớ 2 D. ớ 2 ù ù ù ù ợù y = 1- 2t ợù y = 1+ 2t ợù y = - 1- 2t ợù y = 1- 2t c) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chõn đường phõn giỏc trong gúc A và G là trọng tõm của DABC . ùỡ 1 ùỡ 1 ùỡ 1 ù x = - + 9t ù x = - + 19t ù x = + 19t ù ùỡ x = 1+ 9t ù ù A. ớù 3 B. ớù C. ớù 3 D. ớù 3 ù 1 ù y = - 1+ 2t ù 1 ù 1 ù y = - + 2t ợù ù y = - + 2t ù y = - + 2t ợù 3 ợù 3 ợù 3 Lời giải: uuur 24 2 a) Ta cú BC(- 1;- 8) suy ra đường thẳng chứa cạnh BC cú phương trỡnh là 5 ổ3 ử b) M là trung điểm của BC nờn Mỗ ;- 1ữ do đú đường thẳng chứa đường trung tuyến ốỗ2 ứữ ùỡ 7 uuuur ổ7 ử ù x = - 2 + t ỗ - ữ ù AM nhận AMỗ ; 2ữ làm VTCP nờn cú phương trỡnh là ớ 2 ố2 ứ ù ợù y = 1- 2t c) Gọi D(xD ; yD ) là chõn đường phõn giỏc hạ từ A của tam giỏc ABC uuur AB uuur Ta cú BD = DC AC Mà a2 = 9, b2 = 6 và a = 3, b = 6,c = a2 + b2 = 15 suy ra ùỡ 2 ùỡ 8 uuur uuur uuur ù x - 2 = (1- x ) ù x = AB 2 ù D 3 D ù D 5 8 1 ổ1 1ử BD = DC = DC Û ớ Û ớ ị D( ;- ) Gỗ ;- ữ là AC 3 ù 2 ù - 1 5 5 ốỗ3 3ứữ ù y - 3 = (- 5- y ) ù y = ợù D 3 D ợù D 5 trọng tõm của tam giỏc ABC
18. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng uuur ổ 19 2 ử 12 Ta cú DGỗ- ;- ữ suy ra đường thẳng DG nhận y = ± làm VTCP nờn cú ốỗ 15 15ứữ M 5 ổ ử ỗ 63 12 ữ phương trỡnh là M1 ỗ ; ữ. ốỗ 5 5 ứữ ổ 63 12 ữử ổ 63 12 ữử ỗ- ữ ỗ - ữ - + = Vớ dụ 4: Cho tam giỏc M2 ỗ ; ữ biết M3 ỗ ; ữ, AC : x y 3 0 và trọng ốỗ 5 5 ứữ ốỗ 5 5 ứữ tõm G(1; 2). Viết phương trỡnh đường thẳng chứa cạnh BC. ùỡ x = 2 ùỡ x = 4 ùỡ x = 2 ùỡ x = 2 A. ớù B. ớù C. ớù D. ớù ợù y = - 1- 6t ợù y = - 1+ 6t ợù y = - 1+ 5t ợù y = - 1+ 6t Lời giải: ộ x = 0(l) 15 ờ M = + Û ờ Ta cú tọa độ điểm 3 3 xM ờ - 18 210 là nghiệm của hệ 3 ờxM = ị yM = ± ởờ 15 5 ổ 18 210 ữử ổ 18 210 ữử ỗ- ữ ỗ- - ữ M1 ỗ ; ữ M2 ỗ ; ữ ốỗ 15 5 ứữ ốỗ 15 5 ứữ 6 6 24 2 Gọi d : y = x;d : y = - x là trung điểm của 1 3 2 3 5 6 6 xM - yM xM + yM 3 3 24 2 + = 2 2 5 Vỡ G là trọng tõm nờn 1+ 1+ , 3 3 24 30 Û 6x - 3y + 6x + 3y = (* *) M M M M 5 Û - + = > (*) ( 6xM 3yM )( 6xM 3yM ) 54 0 suy ra 24 30 12 Û 6xM - 3yM + 6xM + 3yM = Û xM = ± 5 5
19. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng 330 ổ12 330 ữử ị = ± ỗ ữ yM do đú M1 ỗ ; ữ 5 ốỗ 5 5 ứữ ổ12 330 ữử ỗ - ữ + M2 ỗ ; ữ do đú C(xC ; xC 3) ốỗ 5 5 ứữ x2 y2 Mà M là trung điểm của - = 1 nờn ta cú A(3; 2), B(0;1) 7 4 x2 y2 Vậy C ẻ (H) suy ra phương trỡnh đường thẳng DABC là - = 1 . 4 12  DẠNG 2. Xỏc định tọa độ điểm thuộc đường thẳng. 1. Phương phỏp giải. Để xỏc định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xột sau: • Điểm A thuộc đường thẳng 4x2 + 6y2 = 24 ( hoặc AB = 2 ) cú dạng y2 = 2px 2 • Điểm A thuộc đường thẳng M(xM ; yM )(ĐK: M ẻ (P)Û yM = 2pxM ) cú dạng ổ- bt - c ử x , y với Oxy hoặc Aỗ ;tữ với a ạ 0 M M ốỗ a ứữ 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1: Cho đường thẳng D : 4x- 3y + 5 = 0 a) Tỡm tọa độ điểm A thuộc M(xM ; yM )ẻ (P) và cỏch gốc tọa độ một khoảng bằng bốn ổ- 28 - 96ử A. A (4;0) B. A ỗ ; ữ 1 2 ốỗ 25 25 ứữ ổ- 28 - 96ử C. A (4;0) và A ỗ ; ữ D. A (0;- 3) 1 2 ốỗ 25 25 ứữ 1 2 b) Tỡm điểm B thuộc yM = 8xM và cỏch đều hai điểm E(5;0), F(3;- 2) ổ- 28 - 96ử ổ24 3ử A. B(4;0) B. B(0;- 3) C. Bỗ ; ữ D. Bỗ ;- ữ ốỗ 25 25 ứữ ốỗ 7 7ứữ
20. Chuyờn đề: Hỡnh học phẳng c) Tỡm tọa độ hỡnh chiếu của điểm M(1; 2) lờn đường thẳng D ổ- 28 - 96ử ổ76 18ử A. H(4;0) B. H(0;- 3) C. Hỗ ; ữ D. Hỗ ;- ữ ốỗ 25 25 ứữ ốỗ25 25ứữ Lời giải: r - - a) Dễ thấy M(0; 3) thuộc đường thẳng M1 (1; 2 2), M2 (1; 2 2) và u(4; 3) là một ùỡ x = 4t vectơ chỉ phương của D nờn cú phương trỡnh tham số là ớù . ợù y = - 3+ 3t Điểm A thuộc D nờn tọa độ của điểm A cú dạng A(4t;- 3+ 3t) suy ra ộ t = 1 2 2 2 ờ OA = 4 Û (4t) + (- 3+ 3t) = 4 Û 25t - 18t - 7 = 0 Û ờ - 7 ờt = ởờ 25 ổ- 28 - 96ử Vậy ta tỡm được hai điểm là A (4;0) và A ỗ ; ữ 1 2 ốỗ 25 25 ứữ b) Vỡ B ẻ D nờn B(4t;- 3+ 3t) Điểm B cỏch đều hai điểm E(5;0), F(3;- 2) suy ra 2 2 2 2 6 EB2 = FB2 Û (4t - 5) + (3t - 3) = (4t - 3) + (3t - 1) Û t = 7 ổ24 3ử Suy ra Bỗ ;- ữ ốỗ 7 7ứữ c) Gọi H là hỡnh chiếu của M lờn D khi đú H ẻ D nờn H(4t;- 3+ 3t) r uuuur Ta cú u(4; 3)là vectơ chỉ phương của D và vuụng gúc với HM(4t - 1; 3t - 5) nờn uuuur r 19 HM.u = 0 Û 4(4t - 1)+ 3(3t - 5)= 0 Û t = 25 ổ76 18ử Suy ra Hỗ ;- ữ ốỗ25 25ứữ