Đề cương ôn tập môn Toán 12 - Chuyên đề: Mũ và Logarit - Trần Ngọc Tân

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán 12 - Chuyên đề: Mũ và Logarit - Trần Ngọc Tân

1. Chuyên đề: MŨ VÀ LOGARIT Trần Ngọc Tân PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG COÙ CHÖÙA MUÕ VAØ LOGARÍT I. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VEÀ HAØM SOÁ MUÕ 1. Caùc ñònh nghóa: n a a .a ...a (n Z , n 1, a R ) n th u a so 1 aa  a 0 a1  a0 n 1 a (n Z ,n 1,a R/0)  n a m n m aan ( a 0; m , n N ) m 11 a n m n m a a n 2. Caùc tính chaát : m n m n a .a a m a mn a n a m n n m m .n (a ) (a ) a n n n (a.b ) a .b n aan () n b b x 3. Haøm soá muõ: Daïng : ya ( a > 0 , a 1 ) Taäp xaùc ñònh : DR x Taäp giaù trò : TR ( a 0  x R ) Tính ñôn ñieäu: * a > 1 : ñoàng bieán treân R x * 0 < a < 1 : ya nghòch bieán treân R Ñoà thò haøm soá muõ : y x x y=a y=a 1 1 x x Minh hoïa: a>1 0<a<1 1
2. Chuyên đề: MŨ VÀ LOGARIT Trần Ngọc Tân 2
3. Chuyên đề: MŨ VÀ LOGARIT Trần Ngọc Tân II. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VEÀ HAØM SOÁ LOÂGARÍT 1. Ñònh nghóa: Vôùi a > 0 , a 1 vaø N > 0 dn M lo ga N M a N a 0 Ñieàu kieän coù nghóa: log a N coù nghóa khi a 1 N 0 2. Caùc tính chaát : N 1 log( ) log N log N lo ga 1 0 a a 1 a 2 N 2 lo g a 1 a lo g N . lo g N Ñaëc bieät : M aa loga a M 2 lo gaa N 2 . lo g N lo ga N aN loga (N 1 .N 2 ) log a N 1 log a N 2 3. Coâng thöùc ñoåi cô soá : loga N log a b.log b N lo ga N lo gb N lo ga b * Heä quaû: 1 1 lo ga b vaø lo gka N lo g N a lo gb a k log c log a * Coâng thöùc ñaëc bieät: a b c b 4. Haøm soá logarít: Daïng y lo ga x ( a > 0 , a 1 ) Taäp xaùc ñònh : DR Taäp giaù trò TR Tính ñôn ñieäu: * a > 1 : ñoàng bieán treân R * 0 < a < 1 : nghòch bieán treân R Ñoà thò cuûa haøm soá loâgarít: y y y=logax y=log x a x x 1 O Minh hoïa: a>1 0<a<1 5. CAÙC ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN: 3
4. Chuyên đề: MŨ VÀ LOGARIT Trần Ngọc Tân M N 1. Ñònh lyù 1: Vôùi 0 0;N > 0 thì : loga M = loga M = N N M = N M N 2. Ñònh lyù 2: Vôùi 0 < a <1 thì : a < a M 5. Ñònh lyù 5: Vôùi 0 < a <1 thì : loga M < loga N M > N (nghòch bieán) >N (nghòch bieán) M N 3. Ñònh lyù 3: Vôùi a > 1 thì : a 1 thì : loga M < loga N M < N (ñoàng bieán ) < N (ñoàng bieán) III. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG: M N 1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : a = a Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : x 1 0 x 5 x 1 0 x 1 5 1 6 0 , 1 2 5 .8 2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 2 2 2 x 8 x 5 x x 2 x x 1) 3 4 .3 2 7 0 4) 2 2 3 x x x x x x x 2) 6.9 13.6 6.4 0 5) 3 .8 4 .12 18 2 .27 0 xx 2 x x 2 x 3) ( 2 3 ) ( 2 3 ) 4 6) 2 .2 9 .14 7 .7 0 3. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng tích soá A.B = 0 ... Ví duï : Giaûi phöông trình sau : x x x 1) 8.3 + 3.2 = 24 + 6 2 2 x x x x 2 x 2) 2 4 .2 2 4 0 x x x 1 3) 12 .3 3 .15 5 20 ( 4. Phöông phaùp 4: Nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh nghieäm duy nhaát (thöôøng laø söû duïng coâng cuï ñaïo haøm) * Ta thöôøng söû duïng caùc tính chaát sau: Tính chaát 1: Neáu haøm soá f taêng ( hoaëc giaûm ) trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = C coù khoâng quaù moät nghieäm trong khoûang (a;b). ( do ñoù neáu toàn taïi x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = C) Tính chaát 2 : Neáu haøm f taêng trong khoûang (a;b) vaø haøm g laø haøm moät haøm giaûm trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm trong khoûang (a;b) . ( do ñoù neáu toàn taïi x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = g(x)) Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : x 1 x 1) 3x + 4x = 5x 2) 2x = 1+ 3 2 3) ( ) 2 x 1 3 IV. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG: 1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : lo gaa M lo g N Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : x x 1 1 2 1) lo gx ( x 6 ) 3 2) log(4 4) x log (2 3) 3) log 2 ( x 1) log 1 ( x 4 ) log 2 (3 x ) ) 212 2 2 2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá. Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 4 3 3 2 2 1) lo g22 x lo g x 2) log 3 x log 3 x 1 5 0 3 3. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng tích soá A.B = 0 ... Ví duï : Giaûi phöông trình sau : 20
5. Chuyên đề: MŨ VÀ LOGARIT Trần Ngọc Tân log2 x 2.log 7 x 2 log 2 x.log 7 x 4. Phöông phaùp 4: Nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh nghieäm duy nhaát. (thöôøng laø söû duïng coâng cuï ñaïo haøm) * Ta thöôøng söû duïng caùc tính chaát sau: Tính chaát 1: Neáu haøm soá f taêng ( hoaëc giaûm ) trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = C coù khoâng quaù moät nghieäm trong khoûang (a;b). ( do ñoù neáu toàn taïi x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = C) Tính chaát 2 : Neáu haøm f taêng trong khoûang (a;b) vaø haøm g laø haøm moät haøm giaûm trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm trong khoûang (a;b) . ( do ñoù neáu toàn taïi x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = g(x)) Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 2 log(x22 x 6) x log(x 2) 4 V. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG: 1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : aM < aN ( ,, ) Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : 2 x 2 x 1 x x 1 1) 3 ( ) 3 1 x1 2) 2 2 2 x 2 x 2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá. Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 2 x x 2 1 x x 1 x 1) 2 3 .( 2 ) 3 2 0 4) 8 2 4 2 5 x 3 x x 1 x x 1 2) 2 2 9 5) 15 .2 1 2 1 2 21 1 11 x x x 3) ( )xx 3 .( ) 1 2 6) 2 .14 3 .49 4 0 33 VI. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG: 1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : lo g M lo g N aa ( ) Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : log(5x2 8x 3) 2 1) x 2) lo g23 lo g x 3 1 3 x 3) lo g2 ( 3 x ) 1 4) log (log (3 9)) 1 3 x x x9 x x 2 5) log 5 ( 4 144 ) 4 log 5 2 1 log 5 ( 2 1) 2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá. Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : x 1) log(3 2) 2.logx 2 3 0 2 32 2) log 64 log2 16 3 2x x VII. BAØI TAÄP: Bµi 1: Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 2 x x 8 1 3 x a. 24 2 5 x 6 x b. 22 1 6 2 21
6. Chuyên đề: MŨ VÀ LOGARIT Trần Ngọc Tân x x 1 x 2 x x 1 x 2 c. 2 2 2 3 3 3 x x 1 x 2 d. 2 .3 .5 1 2 2 2 x 1 e. ( x x 1) 1 2 x 2 f. ( x x ) 1 2 2 4 x g. ( x 2 x 2 ) 1 Bµi 2:Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 4 x 8 2 x 5 a. 3 4 .3 2 7 0 2 x 6 x 7 b. 2 2 1 7 0 xx c. (2 3 ) (2 3 ) 4 0 xx d. 2 .1 6 1 5 .4 8 0 x x x 3 e. (3 5) 16(3 5) 2 xx f. (7 43) 3(2 3) 2 0 x x x g. 3.16 2.8 5.36 1 1 1 h. 2 .4x 6 x 9 x 2 3 x 3 i. 8xx 2 1 2 0 x x 1 x 2 x x 1 x 2 j. 5 5 5 3 3 3 x3 k. (x 1) 1 Bµi 3:Gi¶i ph•¬ng tr×nh: x x x a. 3 4 5 x b. 3 x 4 0 2 x x c. x (3 2)x 2(1 2) 0 2x1 2x 2x1 x x1 x2 d. 2 3 5 2 3 5 Bµi 4:Gi¶i c¸c hÖ ph•¬ng tr×nh: xy xy 4 1 2 8 5 1 2 5 a. b. 2 3 x 2 y 3 ( x y ) 1 51 41 2 x y xy 3 2 7 7 2 2 1 2 b. d. xy 3 2 7 x y 5 x y x y 2 m24 m m m e . víi m, n > 1. x y x y 362 n n n n Bµi 5: Gi¶i vµ biÖn luËn ph•¬ng tr×nh: xx a . (m 2).2 m.2 m 0 . xx b . m .3 m .3 8 Bµi 6: T×m m ®Ó ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm: 22
7. Chuyên đề: MŨ VÀ LOGARIT Trần Ngọc Tân xx (m 4).9 2(m 2).3 m 1 0 Bµi 7: Gi¶i c¸c bÊt ph•¬ng tr×nh sau: 6 1 1 x 2 x 1 a. 93 x2 b. 22 3 x 1 2 xx 2x c.1 5 2 5 d. (x x 1) 1 x1 2 3 2 2 x 2 x 2 e. ( x 2 x 3 )x1 1 f. (x 1) x 1 Bµi 8: Gi¶i c¸c bÊt ph•¬ng tr×nh sau: xx xxx a. 3 9 .3 1 0 0 b. 5.4 2.25 7.10 0 11 2 x x 1 x c. d. 5 5 5 5 3x 1 1 1 3 x x x x x x 2 x e. 2 5 .2 1 0 5 2 5 f. 9 3 3 9 21 x 1 2 x Bµi 9: Gi¶i bÊt ph•¬ng tr×nh sau: 0 21x x 1 x Bµi 10: Cho bÊt ph•¬ng tr×nh: 4 m .(2 1) 0 16 a. Gi¶i bÊt ph•¬ng tr×nh khi m= . 9 b. §Þnh m ®Ó bÊt ph•¬ng tr×nh tháa  xR. 21 2 11 xx Bµi 11: a. Gi¶i bÊt ph•¬ng tr×nh: 9 . 1 2 (*) 33 b.§Þnh m ®Ó mäi nghiÖm cña (*) ®Òu lµ nghiÖm cña bÊt ph•¬ng tr×nh: 2 2 x m 2 x 2 3 m 0 Bµi 12: Gi¶i c¸c ph•¬ng tr×nh: a. logx5 log 5 x 6 log 5 x 2 b. logx5 log 2 5 x log 0 ,2 3 2 c. lo gx 2 x 5 x 4 2 2 x3 d. lg(x 2x 3) lg 0 x1 1 e. .lg(5x 4) lg x 1 2 lg0,18 2 Bµi 13: Gi¶i c¸c ph•¬ng tr×nh sau: 12 a. 1 4 lg x 2 lg x b. logx22 10logx 6 0 c. log0 ,0 4 x1 log 0 ,2 x 3 1 d. 3logx 16 4log 1 6 x 2log 2 x 23
8. Chuyên đề: MŨ VÀ LOGARIT Trần Ngọc Tân e. log2 16 log 64 3 x 2x 3 f. lg(lgx) lg(lgx 2) 0 Bµi 14: Gi¶i c¸c ph•¬ng tr×nh sau: 1 x a. lo g39 lo g x 9 2 x 2 xx b. log22 4.3 6 log 9 6 1 x 1 x 1 c. log 4 4.log 4 1 log 2 2 1 8 2 xx d. lg6.5 25.20 x lg25 x 1 x e. 2lg21 lg5 1 lg5 5 x f. x lg4 5 xlg2 lg3 lg x lg 5 g. 5 5 0 x 22 lg x lg x 3 h. x 1 x 1 2 lo g x lo g x i. 333 x 162 Bµi 15: Gi¶i c¸c ph•¬ng tr×nh: 2 a. xlgx x6 4lgx2 b. log35 x 1 log 2x 1 2 2 c. x 2log 33 x 1 4x 1log x 1 16 0 lo g x 3 d. 2x5 Bµi 15: Gi¶i c¸c hÖ ph•¬ng tr×nh: lg x lg y 1 log3 x log 3 y 1 log2 3 a. b. 22 x y 2 9 x y 5 lg x22 y 1 3 lg 2 lo g42 x lo g y 0 c. d. 22 x 5 y 4 0 lgx y lgx y lg3 xy 2 lo g x y lo g x 4yx 3 2 xy e. f. 2 lo gy x log x y 1 log x y y 4 y 3 33 Bµi 16: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph•¬ng tr×nh: 2 a. lgmx 2m 3x m 3 lg2 x b. log3 a log x a log x a 3 c. lo g 2 . lo g2 a 1 sin x sin x 24
9. Chuyên đề: MŨ VÀ LOGARIT Trần Ngọc Tân 2 2 a4 d. lo g a . lo ga 1 x 2 a x Bµi 17 : T×m m ®Ó ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt: 2 a. log x 4ax log 2x 2a 1 0 31 3 lg a x b. 2 lg x 1 Bµi 18: T×m a ®Ó ph•¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. 2 2logx33 logx a 0 Bµi 19: Gi¶i bÊt ph•¬ng tr×nh: 2 a. lo g8 x 4 x 3 1 b. lo g33 x lo g x 3 0 2 c. lo g lo g x 5 0 14 3 2 d. log x 6x 8 2log x 4 0 15 5 5 e. lo g1x x lo g 3 2 3 x f. lo g lo g 3 9 1 x9 g. logx 2.log 2 x 2.log 2 4x 1 4 x 6 h. lo g1 0 x 3 i. log22 x 3 1 log x 1 2 j. 2log(x81 2) log (x 3) 3 8 k. lo g lo g x 0 31 2 l. log5x 3x 4.log 5 1 x2 4 x 3 m. lo g3 0 x2 x 5 n. lo g13 x lo g x 1 2 2 o. lo g2x x 5 x 6 1 p. lo g2 3 x 1 3 x x 25
10. Chuyên đề: MŨ VÀ LOGARIT Trần Ngọc Tân 2 5 q. lo g x x 1 0 3x 2 2 x1 x1 lo g lo g 0 r. x 6 2 x2 3 2 s. lo g22 x lo g x 0 1 t. lo gxx 2 . lo g 2 lo g x 6 16 2 2 u. log3 x 4logx 3 9 2logx 3 3 24 v. logx1 4log 2 x 24 log 1 6 x 2 Bµi 20: Gi¶i bÊt ph•¬ng tr×nh: 2 log x log x a. 666 x 12 3 2 lo g 2 x lo g x 1 b. x 22 x x x 1 c. log 2 1.log 2 2 2 21 2 23 22 log5 x 4x 11 log 1 1 x 4x 11 d. 0 2 5 x 3 x 2 Bµi 21: Gi¶i hÖ bÊt ph•¬ng tr×nh: x42 0 2 a. x 1 6 x 6 4 lg x 7 lg(x 5) 2lg2 x 1 x x 1lg2 lg2 1 lg7.2 12 b. lo g x 2 2 x lo g 2 y 0 2x c. lo g 2 x 2 0 4y Bµi 22: Gi¶i vµ biÖ luËn c¸c bÊt ph•¬ng tr×nh( 0 a 1 ): lo ga x 1 2 a. x a x 2 1 lo ga x b. 1 1 lo ga x 12 c. 1 5 lo gaa x 1 lo g x 1 d. logxa 100 log 100 0 2 26
11. Chuyên đề: MŨ VÀ LOGARIT Trần Ngọc Tân Bµi 23: Cho bÊt ph•¬ng tr×nh: 9 22 x logxaa x 2 log x 2x 3 tháa m·n víi: . Gi¶i bÊt ph•¬ng tr×nh. 4 Bµi 24: T×m m ®Ó hÖ bÊt ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm: lg2 x m lg x m 3 0 x1 Bµi 25: Cho bÊt ph•¬ng tr×nh: 2 x m 3x 3m x mlogx 1 2 a. Gi¶i bÊt ph•¬ng tr×nh khi m = 2. b. Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph•¬ng tr×nh. Bµi 26: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph•¬ng tr×nh: x lo ga 1 8 a 2 1 x 27